Написал учебник теории категорий

[george66]

Точнее, дописал, это уже девятая версия

https://github.com/George66/Textbook

[warlock66613]

А почему третья версия готическая, а все последующие - не готические?

-- 21.02.2017, 17:34 --

george66, если вам интересно мнение нематематика, пытающегося понять теорию категорий, то ответьте, пожалуйста, на следующий вопрос.

В разделе про диаграммы непонятно, должна ли диаграмма в обязательном порядке включать в себя все объекты некоторой категории, и должна ли она включать в себя все морфизмы между объектами. Так должна или нет?

[george66]

Я там пробовал что-то обозначать готическими буквами -- не понравилось. К некоторым версиям есть комментарии (если нажать на ver3, там это написано).
Нет, не обязана, объектов и морфизмов может быть сколько угодно любых. Спрашивайте, я буду отвечать.

[warlock66613]

george66, что ж, похоже ваш учебник только что помог мне продвинуться в изучении теории категорий (в прошлый раз я застрял как раз на диаграммах и их сермяжном смысле)!

[Munin]

Скачал, но ещё не открывал. Интересно, спасибо!

[Aritaborian]

Эта версия тоже местами готическая.

[Anton_Peplov]

В учебнике указано, что категория, все стрелки которой образуют множество, называется малой, и что все объекты малой категории тоже образуют множество. Верно ли обратное утверждение - что если все объекты категории образуют множество, то категория малая?
Если такое утверждение неверно, то есть ли общепринятый термин для категории, все объекты которой образуют множество?

[Geen]

Как-то с самого начала возник вопрос, а что подразумевается под равенством стрелок?

-- 13.04.2017, 14:17 --

Anton_Peplov в сообщении #1209161 писал(а):

Верно ли обратное утверждение - что если все объекты категории образуют множество, то категория малая?

Вроде бы очевидно что нет - объектов может быть всего два (даже одного достаточно), но это ничего не говорит о стрелках между ними.

-- 13.04.2017, 14:48 --

Наверное оффтоп, но всё-таки не до конца понятно почему объекты малой категории образуют множество...

[Geen]

Цитата:

Подчёркиваю, единственное отличие от определения 1.1 в том, что
по протоморфизму его начало и конец не обязаны определяться одно-
значно.

В частности, может не быть начала/конца?

[Geen]

В примере 5.7 разве стрелки, соответствующие единичным морфизмам, не должны быть пунктирные?

-- 13.04.2017, 18:47 --

Определение 6.1 - не очень понятно "что делать" если стрелки между $F(A)$ и $G(A)$ никакой нет.

[george66]

Anton_Peplov в сообщении #1209161 писал(а):

В учебнике указано, что категория, все стрелки которой образуют множество, называется малой, и что все объекты малой категории тоже образуют множество. Верно ли обратное утверждение - что если все объекты категории образуют множество, то категория малая?
Если такое утверждение неверно, то есть ли общепринятый термин для категории, все объекты которой образуют множество?

Нет, неверно, контрпример есть на странице 216. Общепринятого названия нет, потому что пользы нет.

-- 13.04.2017, 19:53 --

Geen в сообщении #1209228 писал(а):

В примере 5.7 разве стрелки, соответствующие единичным морфизмам, не должны быть пунктирные?

Нет, не должны. Пунктирная стрелка означала бы "$id_A$ - единственная стрелка такая, что $f\circ id_A=f$", а это не утверждается и может быть неверным (бывают, например, стрелки со свойством $f\circ f=f$).

-- 13.04.2017, 19:56 --

Geen в сообщении #1209228 писал(а):

Определение 6.1 - не очень понятно "что делать" если стрелки между $F(A)$ и $G(A)$ никакой нет.

Если нет стрелки, то нет и естественного преобразования. Далеко не между любыми функторами есть хоть одно естественное преобразование (как не между любыми объектами есть хоть один морфизм)

-- 13.04.2017, 20:07 --

Geen в сообщении #1209181 писал(а):

Цитата:

Подчёркиваю, единственное отличие от определения 1.1 в том, что
по протоморфизму его начало и конец не обязаны определяться одно-
значно.

В частности, может не быть начала/конца?

Да, вот это хороший вопрос. Посмотрел в книгу Фрейда-Щедрова, действительно, может не быть начала-конца! Но когда мы строим морфизмы в виде троек $(A,f,B)$ , протоморфизмы без начала и конца исчезают за ненадобностью.

-- 13.04.2017, 20:12 --

Geen в сообщении #1209167 писал(а):

Как-то с самого начала возник вопрос, а что подразумевается под равенством стрелок?

Равенство стрелок - это просто равенство без всяких затей. Например, что понимается под равенством действительных чисел? Вот так же и со стрелками. Проблемы равенства нас на данном этапе не волнуют.

Хорошо, что стали спрашивать. Спрашивайте, я отвечаю.

[warlock66613]

Geen в сообщении #1209167 писал(а):

всё-таки не до конца понятно почему объекты малой категории образуют множество...

Объектов же никак не может быть больше, чем морфизмов, поскольку у каждого объекта есть тождественный морфизм.

[Geen]

warlock66613 в сообщении #1209270 писал(а):

Geen в сообщении #1209167 писал(а):

всё-таки не до конца понятно почему объекты малой категории образуют множество...

Объектов же никак не может быть больше, чем морфизмов, поскольку у каждого объекта есть тождественный морфизм.

Мне слово "больше" очень не нравится
Впрочем, дело наверное в том, что я плохо теорию множеств знаю (но это, как бы, оффтоп будет).

-- 13.04.2017, 21:48 --

george66 в сообщении #1209252 писал(а):

Нет, не должны. Пунктирная стрелка означала бы "$id_A$ - единственная стрелка такая, что $f\circ id_A=f$", а это не утверждается и может быть неверным (бывают, например, стрелки со свойством $f\circ f=f$).

Да, действительно.
На самом деле в том вопросе подразумевалось аж три вопроса, но задан оказался четвёртый
Вопросы были такие: 1. Вроде бы не было упоминаний, что единица единственна; 2. диаграмма всегда подразумевает конкретные объекты или может быть "параметризована"; 3. таки всё равно плохо понимаю про пунктирную стрелку...

george66 в сообщении #1209252 писал(а):

Если нет стрелки, то нет и естественного преобразования.

Я так и подумал, но оставалось чувство, что мог что-то и упустить...

george66 в сообщении #1209252 писал(а):

Но когда мы строим морфизмы в виде троек $(A,f,B)$ , протоморфизмы без начала и конца исчезают за ненадобностью.

Это понятно. Правда, попутно возник ещё один вопрос - один протоморфизм может "породить" несколько морфизмов?

george66 в сообщении #1209252 писал(а):

Хорошо, что стали спрашивать. Спрашивайте, я отвечаю.

Вы главное не обижайтесь если вопросы окажутся глупыми

[arseniiv]

Geen в сообщении #1209274 писал(а):

Мне слово "больше" очень не нравится

Для каждого объекта $A$ существует как минимум один морфизм — $\mathrm{id}_A$, так что отображения $\mathrm{dom}, \mathrm{cod}$ — сюръекции.

-- Чт апр 13, 2017 23:58:16 --

Geen в сообщении #1209274 писал(а):

1. Вроде бы не было упоминаний, что единица единственна;

Тут должно пройти рассуждение как для моноидов и единственности их нейтрального элемента: $\mathrm{id}_A = \mathrm{id}_A\circ\mathrm{id}'_A = \mathrm{id}'_A$ для любого объекта. Вообще, категории с единственным объектом взаимно однозначно соответствуют моноидам (чем пользуются в ТК для определения моноида как такой категории).

[warlock66613]

Geen в сообщении #1209274 писал(а):

Впрочем, дело наверное в том, что я плохо теорию множеств знаю

В простейшем аксиоматическом изложении теории категорий (тут или в смежной теме давали ссылку) "объекты" вообще отсутствуют, есть только морфизмы (в самом деле, зачем нужны объекты, если есть тождественные морфизмы). Тогда утверждение, что "морфизмов больше (не меньше, точнее), чем объектов", означает просто, что класс тождественных морфизмов является подклассом класса всех морфизмов, а раз класс всех морфизмов является множеством, то и класс тождественных морфизмов является множеством.