Поскольку "теория категорий" --- это некая надстройка над теоретико-множественным языком
Вот на счет этого, насколько я знаю, мнение у спецов по ТК как раз противоположное. Причем Манин, кажется, даже подчеркивал этот момент. Она принципиально не сводима к ТМ. Кстати меня интересует этот момент всегда в первую очередь, когда туда залетаю. Но, к сожалению, до сих пор не нащупал центральный стержень. Это трудно объяснить, что надо нащупать. Вопрос видимо очень быстро перейдет в околофилософский на тему структуры человеческого мышления и, боюсь, он не банально наивный или, от незнания, как может показаться. В конечном счете некие аксиоматические стержни у всех homosapiens'ов, подозреваю, одинаковые, поэтому, скажем перекройка мозга с теоретико-множественного склада мелькания нейронов в мозге к новому категорному пока, для меня, под вопросом. Было бы интересно почитать развернутое мнение пристрастного к ТК человека, который, скажем, стал бы доказывать/переубеждать, что действительно надо на нее переходить. Я отмечу еще раз, что попытка переделать наш мозг, который от рождения складывался на опыте как задачки по складыванию яблок и долек, мне кажется не так легко. Что скажет предполагаемый рассказчик, например, по поводу возникновения, аксиоматики и роли банальных чисел. Более того, я думаю здесь можно ударить тяжеловесной "категорией" физики по вопросу обоснования категорного подхода. Попробуйте например перекроить квантовую механику и многообразия на этот лад. Или теорию вероятностей. Копий ломали и ломают много, но все аксиоматики ведут "в Рим" частотностей. Или может я отстал от жизни и имеется утверждение, что мол вероятностный фундамент в КМ не столь примитивен? Пока я считаю, что он в сущности очень простой; на частотностях. Может себя и можно с годами переделать, но человеческий опыт...? Я тут как-то высказывался на счет "физика все равно спустит вас/нас до количества штук чего-то (первичное)", но математик смотрит на это как на чушь. К сожалению/счастью, и однозначно, не чушь. Вопрос по-моему не риторический. Так что с категориями вопрос пока открытый. Кстати, в arXiv'е есть статья с названием (почти точно) "почему теория категорий должна быть рабочим инструментом для теор физики". Как-то видел, не сгрузил, но потом не нашел. Кто подсобит? А то лень упираться рогом и копать полдня.
На теоретико-категорном языке очень удобно давать определения
Ну здесь припоминается стандартное и мной неодобряемое Маниновское "теоремы важнее доказательств, а определения - теорем". Здесь я четко вижу желание подменить ценности. Определения ведь, в сущности, это ярлыки на те сущности, которые мелькают у человека в голове и каждый за ними, при каждом употреблении, подразумевает свой образ (мгновенный, быстрый, четкий, но свой собственный). Поэтому я и не люблю определений, а предпочитаю то, что за ними стоит ("понять немотивированное определение невозможно" В.Арнольд). При стократном употреблении все внутренние образы и примеры просто отвердевают в словесные фразы-определения. Но это уже совсем не то, что воспринималось в начале. Простой пример, вспомните как начинающий не понимает, что такое группа или многообразие, хотя уже знает определения и примеры. В мозгу что-то должно окаменеть в незыблемую глыбу, чтобы размышления были на ней уже как на фундаменте. Все через это проходили; исключений нет.
