Опять про элементарные функции

[Anton_Peplov]

Someone в сообщении #1196901 писал(а):

А неэлементарные функции там надо искать очень старательно, хотя, скорее всего, что-нибудь найдётся.

Ну, если раздербанивать как я предложил - только по арифметическим операциям и суперпозициям - то неэлементарных функций будет куча в виде интегралов от элементарных функций, сумм рядов и прочего. Что не отменяет факта, что это все-таки операции над элементарными функциями. Функции, не сводящиеся с интегралам и рядам от элементарных, тоже, конечно, будут. Мне представляется, что относительно редко.

Someone в сообщении #1196901 писал(а):

Элементарные функции совсем изучать не будем, только указанный Вами класс. Надеюсь, ни одной элементарной функции в нём не будет

Мне думается, мысль Munin состоит в том, что это, напротив, слишком узкий класс. То есть про логарифмы, степени и синусы знать, конечно, нужно, но собирать их в какой-то класс и уже этим противопоставлять другим функциям, которые, видите ли, "неэлементарные" и уже этим, как полубессознательно считает каждый первый студент, плохи - не лучшая практика.

[Munin]

Anton_Peplov в сообщении #1196898 писал(а):

Любопытно было бы проделать такую работу. Берем стопку учебников физики - скажем, полный курс ЛЛ. Раздербаниваем все формулы на предмет того, из каких функций они составлены с помощью суперпозиции и арифметических операций. Составляем рейтинг получившихся функций по частоте упоминания. Интересно, какое место займет $x^n$, какое $e^x$, какое синусы-косинусы, какое логарифмы?

Видите ли, в вопросе "из каких функций они составлены" ответ не однозначен. Композиции спецфункций могут быть элементарными функциями, не говоря уже об арифметических операциях.

-- 04.03.2017 00:00:41 --

Someone в сообщении #1196901 писал(а):

Вы ему завидуете, что-ли?

Нет.

Someone в сообщении #1196901 писал(а):

А какой класс функций Вы порекомендуете для изучения вместо элементарных?

А зачем выделять какой-то класс?

Ну я бы подумал насчёт $L_2$ или $C^\infty.$

Someone в сообщении #1196901 писал(а):

В школе, в технических ВУЗах?

Только не надо делать вид, что понятие элементарной функции в математике ограничено только преподаванием.

Someone в сообщении #1196901 писал(а):

Собственно, сначала обсуждалось само понятие элементарной функции. Потом речь зашла о происхождении.

Не знаю, у кого "зашла речь", я избегал этого поворота обсуждения, и придерживался изначальной темы.

Someone в сообщении #1196901 писал(а):

Вопрос "чем интересен этот класс" мне непонятен

А жаль.

Someone в сообщении #1196901 писал(а):

эти функции возникают чуть ли не насильно и лезут во все щели, и обойти их никак нельзя.

А может быть, всё-таки не эти?

Сами по себе логарифмы и тригонометрические - да, лезут. А что там с композициями? Часто ли вам встречались синусы от синусов?

[Anton_Peplov]

Munin в сообщении #1196917 писал(а):

Видите ли, в вопросе "из каких функций они составлены" ответ не однозначен. Композиции спецфункций могут быть элементарными функциями, не говоря уже об арифметических операциях.

Я имел в виду - составлены в символьной записи этой конкретной формулы. Например, в записи $h = \Gamma (x) - \Gamma (x)$ ни одна элементарная функция не встречается, хотя, конечно, $h$ равно вполне элементарной константе.

Munin в сообщении #1196917 писал(а):

А может быть, всё-таки не эти?

Сами по себе логарифмы и тригонометрические - да, лезут. А что там с композициями? Часто ли вам встречались синусы от синусов?

Да, это интересное замечание. Из практики лезут простейшие элементарные функции, список которых здесь неоднократно приводился. Выделение в отдельный класс замыкания класса простейших элементарных функций по арифметическим операциям и композиции выглядит как произвол в угоду кем-то как-то понимаемой эстетике.

[mihailm]

Munin в сообщении #1196917 писал(а):

...Ну я бы подумал насчёт $L_2$ или $C^\infty.$...

Это что за глупость? Как можно изучать что то абстрактное, не имея никаких примеров? А примеры, притом вполне содержательные, как раз можно получить из элементарных функций (и их склеек).

-- Сб мар 04, 2017 00:30:30 --

Anton_Peplov в сообщении #1196929 писал(а):

...Выделение в отдельный класс замыкания класса простейших элементарных функций по арифметическим операциям и композиции выглядит как произвол в угоду кем-то как-то понимаемой эстетике.

Вобще то в математике все есть произвол)), так как практические аналоги отсутствуют. Разве что к натуральным числам и некоторым простым геометрическими формам можно некие аналогии притянуть.
А почему кстати предел это не произвол??? Да любой студент первого курса скажет что произвол и притом человеконенавистнический антиэстетический произвол!

[Munin]

Anton_Peplov в сообщении #1196929 писал(а):

Я имел в виду - составлены в символьной записи этой конкретной формулы.

А, ну это ровно проблема языка.

Anton_Peplov в сообщении #1196929 писал(а):

Выделение в отдельный класс замыкания класса простейших элементарных функций по арифметическим операциям и композиции выглядит как произвол в угоду кем-то как-то понимаемой эстетике.

Ну наконец-то! Join the Dark Side, we have cookies!

-- 04.03.2017 00:32:48 --

mihailm в сообщении #1196930 писал(а):

Как можно изучать что то абстрактное, не имея никаких примеров?

Никто не против примеров.

mihailm в сообщении #1196930 писал(а):

(и их склеек)

Кстати, вот ещё один гвоздь в эцих...

[Someone]

Munin в сообщении #1196917 писал(а):

Сами по себе логарифмы и тригонометрические - да, лезут. А что там с композициями? Часто ли вам встречались синусы от синусов?

Как ни странно, встречаются. Даже вне "чистой" математики. Например, при решении задачи двух тел. Причём, это привело Бесселя к функциям его имени:

$$J_n(z)=\frac 1{\pi}\int_0^{\pi}\cos(z\sin\varphi-n\varphi)d\varphi,\qquad n=0,1,2,\ldots$$

И вообще, откуда мы можем заранее знать, какие композиции функций нам понадобятся, а какие — нет? Если мы взялись это изучать, то уж надо изучать.

Anton_Peplov в сообщении #1196929 писал(а):

Да, это интересное замечание. Из практики лезут простейшие элементарные функции, список которых здесь неоднократно приводился. Выделение в отдельный класс замыкания класса простейших элементарных функций по арифметическим операциям и композиции выглядит как произвол в угоду кем-то как-то понимаемой эстетике.

Дело не в эстетике. Поскольку "композиция функций" — это высокоучёные слова, а на практике это выглядит как подстановка одного выражения в другое. И законодательно ограничивать возможности подстановки — не наш путь. Как Вы себе это представляете? "Разрешается сделать не более чем три последовательных подстановки…" Раз уж мы начали подставлять одни выражения в другие, то причин ограничивать эту процедуру нет.

Munin в сообщении #1196917 писал(а):

Только не надо делать вид, что понятие элементарной функции в математике ограничено только преподаванием.

Разумеется, нет. А что, оно где-нибудь кому-нибудь мешает?

Anton_Peplov в сообщении #1196912 писал(а):

Мне думается, мысль Munin состоит в том, что это, напротив, слишком узкий класс.

Э-э-э… А я говорил, что достаточно широкий?

Someone в сообщении #1196427 писал(а):

Термин "элементарная функция" не предполагает, что функция в каком-то смысле "хорошая" или "простая". Это просто исторически сложившийся класс функций. Который, конечно, совершенно недостаточен для удовлетворения потребностей математики и её приложений.

Элементарные функции — это функции, возникшие очень давно, когда самого понятия функции не было, и математика сильно отличалась от современной. И возникли они не потому, что их кто-то придумал по причине больной фантазии, они были нужны для практических потребностей. А для появления неэлементарных функций нужна уже гораздо более развитая математика. И прежде всего нужно было разобраться с элементарными функциями, раз уж они объявились явочным порядком. А те функции, которые стали появляться позже, имели более сложную природу, были связаны с новой, более сложной математикой, поэтому они "не элементарные".

Кстати, "склейки" функций, как я понимаю, появились существенно позже, чем понятие функции , а современное понятие функции (отображения) — вообще в конце XIX — начале XX века (для числовых функций — Лобачевский в 1834 году и Дирихле в 1837).

[Anton_Peplov]

Someone в сообщении #1196968 писал(а):

Поскольку "композиция функций" — это высокоучёные слова, а на практике это выглядит как подстановка одного выражения в другое. И законодательно ограничивать возможности подстановки — не наш путь. Как Вы себе это представляете? "Разрешается сделать не более чем три последовательных подстановки…" Раз уж мы начали подставлять одни выражения в другие, то причин ограничивать эту процедуру нет.

Я говорил не об этом. Разумеется, еще неандертальцы умели подставлять функции в другие функции и таким образом получили класс элементарных функций (правда, какие еще бывают функции и что такое функция вообще, в ту пору не знал даже самый грибной шаман). Вопрос был в другом: должен ли сегодняшний лектор по матану говорить студентам, что функции бывают элементарные и не-? Есть ли от такой классификации какая-то польза?

Мне вот что интересно в связи с этим вопросом: не знаю, как в других странах, а "от Кореи до Карелии" студентов натаскивают брать интегралы от элементарных функций в элементарных же функциях. Таблицу эту неудобозапоминаемую зубрят. Подстановки учат придумывать. Внушают, что если не можешь взять целиком - бери по частям, это не стыдно. И, наконец, сделав мужественное лицо, говорят: сынок, ты становишься взрослым и должен знать о некоторых аспектах отношений мужчины с функцией $e^{-x^2}$...
И вот прилетел брандашмыг из другой галактики и спрашивает: для чего это все? На кой вам сдались эти первообразные в элементарных функциях? В формулу Ньютона-Лейбница подставлять? Определенный интеграл и так вычислить можно, методом прямоугольников. Это численно и неточно? А вычитать друг из друга синусы логарифмов - это точно и не численно? Еще лет пятнадцать назад студент мог сказать: у меня на калькуляторе кнопочка для логарифма есть, и для синуса есть, а для "вычислить определенный интеграл" нету. Но сейчас-то все знают калькулятор, где такая кнопочка есть.
Нам есть что ответить брандашмыгу? Это я серьезно спрашиваю. Я матан и смежные области толком не изучал, многого не понимаю. Единственное, что я могу придумать - наверное, есть задачи, где надо исследовать первообразную. Вот, скажем, найти не только абсциссу локального максимума (для чего достаточно подынтегральной функции, которая есть производная от), но и его ординату, положив $C$ равным чему-нибудь. Для элементарной функции как-никак есть алгоритм ее вычисления в любой рациональной точке - он элементарно собирается из алгоритмов вычисления простейших элементарных функций, вычислять которые сегодня умеет даже канцелярская скрепка, не то что целый утюг. А если первообразная в элементарных функциях не выражается, как найти ее численное значение в точке при известном $C$? Понятно, что если эта первообразная встречается так же часто, как интегралы Френеля или Гаусса, то все уже украдено до нас. А ну как она безвестная, дикая, на жизнь зарабатывает мытьем машин? Вот тут-то мы и пожалеем, что она не элементарная.

[atlakatl]

Anton_Peplov
А если в скором времени на калькуляторе появится кнопка "ВППВ" - "Выразить первообразную в полиномиальном виде" - Вы перестанете жалеть?
Конечно, вместе с полиномом можно добавлять в аппроксимацию и другие "элементарные" тригонометрию и прочие логарифмы.

[grizzly]

Anton_Peplov в сообщении #1196975 писал(а):

Нам есть что ответить брандашмыгу?

Я бы посоветовал им для начала посмотреть эту ссылку (да и вообще про теорию разрешимости и, шире, про дифференциальные алгебры -- там, кстати, дифференцирование определяется алгебраически, без предельных переходов). Вот цитата по ссылке:

Цитата:

Обобщение его [Лиувилля] идей, предпринятое в начале XIX века, и привело к созданию дифференциальной теории Галуа, которая, в частности, позволяет выяснить, имеет ли функция первообразную, которая выражается через элементарные функции. Дифференциальная теория Галуа основана на теории Галуа. Алгебраическая теория Галуа исследует расширения алгебраических полей, а дифференциальная теория Галуа — расширения дифференциальных полей, то есть полей, для которых введено дифференцирование, ${\displaystyle {\mathcal {D}}} $. В дифференциальной теории Галуа много похожего на алгебраическую теорию Галуа.

Если же они не увидят никаких связей и не поймут исторических корней, тогда просто процитировать какую-нибудь смачную цитату Munin'а насчёт того, кто может решать, чем должны заниматься земные математики.

-- 04.03.2017, 13:35 --

Несколько первых страниц по этой ссылке могут быть, пожалуй, намного полезнее для понимания.

[Anton_Peplov]

grizzly
Из этой ссылки я уяснил, что есть область математики, которая выясняет, есть ли у функции первообразная в элементарных функциях. Как и всякая другая область математики, она имеет право быть. И, наверное, человеку, который собирается изучать эту самую дифференциальную теорию Галуа, надо уметь брать интегралы в элементарных функциях.
А вот зачем это умение всем тем, от кого требуют им овладеть - физикам, инженерам, экономистам? Тем математикам, которые не занимаются дифференциальной теорией Галуа? Ведь умение взять интеграл считается настолько must have для владения математикой, что таблицу интегралов в школе проходят.

[grizzly]

Anton_Peplov в сообщении #1197037 писал(а):

А вот зачем это умение всем тем, от кого требуют им овладеть - физикам, инженерам, экономистам?

А зачем эти физики, инженеры, экономисты регулярно приходят на форум и спрашивают, как решить в элементарных функциях (или в квадратурах) какое-нибудь уравнение? Значит, оно им нужно (если не обманывают). Значит, они могли лучше учиться и сами знать ответы на свои вопросы.

[Anton_Peplov]

Из второй ссылки я не понял ничего. Разрешимость в квадратурах - не то же, что разрешимость в элементарных функциях. В частности, в квадратурах допускаются интегралы от элементарных функций, которые не обязательно сами являются элементарными функциями. А мой вопрос как раз о том, почему мы так жаждем, чтобы интеграл от элементарной функции оказался элементарной же функцией, и огорчаемся, когда этого не происходит.

-- 04.03.2017, 13:45 --

grizzly в сообщении #1197039 писал(а):

А зачем эти физики, инженеры, экономисты регулярно приходят на форум и спрашивают, как решить в элементарных функциях (или в квадратурах) какое-нибудь уравнение?

А это точно физики, инженеры, экономисты, занимающиеся самостоятельными исследованиями, а не студенты, которых преподаватель заставил?

grizzly в сообщении #1197039 писал(а):

Значит, оно им нужно

Допускаю. Но мой вопрос состоит в том, для чего оно им нужно. Я ничего не отрицаю, я пытаюсь понять.

[grizzly]

Anton_Peplov в сообщении #1197040 писал(а):

Из второй ссылки я не понял ничего.

Там очень прозрачно описана логика обобщений. И показано, как в современном виде это всё формулируется (что просил Munin выше). Не слишком ли бегло Вы пролистали эти страницы? (Я сам в математику не вникал, только в историю вопроса.)

Anton_Peplov в сообщении #1197040 писал(а):

Но мой вопрос состоит в том, для чего оно им нужно. Я ничего не отрицаю, я пытаюсь понять.

Мне лень доказательства искать по форуму. Но я сам не инженер, чтоб настаивать. Скажем так: мне лично всё равно, я просто пытался помочь с идеями, как искать / разбираться.

[Munin]

Someone в сообщении #1196968 писал(а):

Если мы взялись это изучать, то уж надо изучать.

Вопрос именно в этом: почему и зачем "мы" (вы) взялись это изучать, и принесло ли это какие-то полезные плоды.

У меня пока впечатление, что никаких. Мучений много: какие-то интегралы "берущиеся", какие-то "неберущиеся", какие-то дифуры "решаются в квадратурах", какие-то - нет. А в практической работе, никто не смущается использовать функции Бесселя столь же легко, как и арктангенсы.

Someone в сообщении #1196968 писал(а):

И возникли они не потому, что их кто-то придумал по причине больной фантазии, они были нужны для практических потребностей.

Напоминаю, что потребности с тех пор изменились, а вот этот класс - как застыл, так и не сдвинулся с места. То есть, его адекватность исчезла.

grizzly в сообщении #1197039 писал(а):

А зачем эти физики, инженеры, экономисты регулярно приходят на форум и спрашивают, как решить в элементарных функциях (или в квадратурах) какое-нибудь уравнение?

А я вам скажу, зачем. Затем, что это им обычно задают в вузе. А когда они переходят к реальной работе по специальности, эти вопросы у них исчезают. У них чаще всего возникает вопрос, как решить уравнение численно. На втором месте - как решить уравнение аналитически, не важно, в каких функциях, главное - в известных. (Потому что такое аналитическое решение - снова используется дальше для численных расчётов, является просто экономной формой записи алгоритма вычисления.)

А вот чтобы реально физику или инженеру нужна была именно элементарная функция - этого я не видел никогда. Это бывает приятно, когда случается, но не более того.

Так что извините, "элементарные функции" - это фантом, и в образовании он своё место занимает незаслуженно.

[grizzly]

Munin в сообщении #1197061 писал(а):

Так что извините, "элементарные функции" - это фантом, и в образовании он своё место занимает незаслуженно.

Надеюсь, Вас в этом вопросе не поддержит ни один математик. А свою личную точку зрения Вы вполне вправе иметь.