Опять про элементарные функции

[Dmitriy40]

Lia: Отделено от «Решение уравнения sin(x)=x-a, где a=const»
Тег оффтопа местами снят.

Меня вот смущает почему для степенной функции одна из обратных (корень) считается элементарной, а другая (логарифм) нет.
Вообще же, похоже с разделением функций на элементарные и нет вышло наложение двух условий: так исторически сложилось; функции из решений полиномов. Вот не нужен был логарифм для решений полиномов - его и не изучали и не вводили долгое время, вот и не причисляют к элементарным. А корень был нужен и для полиномов и для простых задач геометрии. Короче бардак.

[Aritaborian]

Dmitriy40 в сообщении #1196243 писал(а):

а другая (логарифм) нет

Почему нет? Вполне себе да.

[Anton_Peplov]

Munin в сообщении #1196237 писал(а):

Многие безымянные функции тоже.

Ну так я дальше и говорю, что

Anton_Peplov в сообщении #1196131 писал(а):

Другое дело, что класс "хороших" функций при любом критерии "хорошести" (непрерывность, дифференцируемость, аналитичность, etc.) много шире класса элементарных функций. То, что одни считаются "элементарными", а другие "специальными" - факт, скорее всего, внематематический. Функции, которые чаще всего нужны в приложениях, раньше всего изучили и назначили "элементарными", другие - "специальными", а те, которые нужны реже, может, даже не исследовали еще.

[wrest]

Dmitriy40 в сообщении #1196243 писал(а):

Меня вот смущает почему для степенной функции одна из обратных (корень) считается элементарной, а другая (логарифм) нет.

Логарифм тоже, см. Фихтенгольц, том 1, параграф 48.

Перед этим Фихтенгольц говорит об аналитическом способе задания функции (там же, параграф 46) и поясняет что в первую очередь аналитические -- это арифметические операции, возведение в степень (и извлечение корня), логарифмирование, тригонометрические и обратные тригонометрические операции, но это не полный список. Например предельный переход Фихтенгольц тоже относит к аналитическим операциям\действиям.

[Someone]

Dmitriy40 в сообщении #1196243 писал(а):

Меня вот смущает почему для степенной функции одна из обратных (корень) считается элементарной,

Вообще-то, корень — частный случай степенной функции.

Dmitriy40 в сообщении #1196243 писал(а):

а другая (логарифм) нет.

Это неправда. Во-первых, логарифм является обратной функцией не для степенной, а для показательной функции. Во-вторых, логарифм считается элементарной функцией.

Dmitriy40 в сообщении #1196243 писал(а):

Вообще же, похоже с разделением функций на элементарные и нет вышло наложение двух условий: так исторически сложилось; функции из решений полиномов.

Функция $y(x)$, задаваемая уравнением $P(x,y)=0$, где $P(x,y)$ — полином, называется алгебраической, а не элементарной (хотя в некоторых случаях может быть элементарной).

Определение класса элементарных функций:
1) основными элементарными функциями являются степенные ($x^{\alpha}$ с любым действительным показателем), показательные ($a^x$ с основанием $a>0$), логарифмические ($\log_ax$ с основанием $a>0$, $a\neq 1$), тригонометрические и обратные к ним;
2) каждая элементарная функция получается из основных элементарных функций и констант с помощью конечной последовательности арифметических операций и операций суперпозиции функций (подстановки функции в функцию).

Например, абсолютная величина (модуль) является элементарной функцией, а сигнум — нет.

[Munin]

Someone в сообщении #1196354 писал(а):

Вообще-то, корень — частный случай степенной функции.

А в степенной что такого хорошего? Особенно если показатель иррационален.

Someone в сообщении #1196354 писал(а):

Например, абсолютная величина (модуль) является элементарной функцией, а сигнум — нет.

Пожалуйста, покажите и то и другое.

[Dmitriy40]

Ну первое-то легко: $|x|=\sqrt{x^2}$. Вот со знаком не знаю, непрерывность ведь не является признаком элементарности.

Спасибо всем за напоминание элементарности функций, как-то сбилось понятие в голове.

[Munin]

Dmitriy40 в сообщении #1196390 писал(а):

Ну первое-то легко: $|x|=\sqrt{x^2}$.

Вот только если задуматься... Корень должен быть арифметическим, иначе никакого модуля. Арифметический корень определён только на неотрицательной полуоси. Но тогда, ради единообразия, и возведение в квадрат должно быть определено там же.

А вот насчёт сигнума... вы так уверены, что сочетанием арктангенсов и тому подобного нельзя добиться нужного эффекта?

[mihaild]

Munin в сообщении #1196398 писал(а):

А вот насчёт сигнума... вы так уверены, что сочетанием арктангенсов и тому подобного нельзя добиться нужного эффекта?

Все перечисленные функции непрерывны на своей области определения, так что нельзя.
Если сказать, что сигнум в нуле не определен - то легко, $\frac{x}{|x|}$.

[Anton_Peplov]

Munin в сообщении #1196398 писал(а):

Арифметический корень определён только на неотрицательной полуоси.

А $\ln x$ - на положительной.

Munin в сообщении #1196398 писал(а):

Но тогда, ради единообразия, и возведение в квадрат должно быть определено там же.

А кто требует такого единообразия? Композиция $f \circ g$ определена, если $f$ определена всюду в области значения $g$. Области определения совпадать не обязаны.

[Dmitriy40]

После объявления тригонометрии элементарной я уже ни в чём не уверен.
Раз уж в пургаторий не отправляют, интересно, а факториал будет элементарной функцией (над натуральными числами)? Вроде бы сводится к конечному числу умножений, но само это количество не фиксировано. Что-то не соображу. Наверное нет?

[Anton_Peplov]

Dmitriy40 в сообщении #1196415 писал(а):

Вроде бы сводится к конечному числу умножений, но само это количество не фиксировано.

Функция $f(n) = n!$ не является композицией функций $g_k(x) = kx$.

[Someone]

Munin в сообщении #1196385 писал(а):

А в степенной что такого хорошего? Особенно если показатель иррационален.

А какое это имеет значение?

Термин "элементарная функция" не предполагает, что функция в каком-то смысле "хорошая" или "простая". Это просто исторически сложившийся класс функций. Который, конечно, совершенно недостаточен для удовлетворения потребностей математики и её приложений.

Dmitriy40 в сообщении #1196415 писал(а):

факториал будет элементарной функцией (над натуральными числами)?

А нет понятия "элементарная функция над натуральными числами".

Dmitriy40 в сообщении #1196390 писал(а):

непрерывность ведь не является признаком элементарности.

Есть теорема, что элементарная функция непрерывна в своей области определения (в изолированных точках области определения функция считается непрерывной). Сигнум не является непрерывным в нуле, хотя и определён.

[mihaild]

(Оффтоп)

Лекция по матану на первом курсе. Лектор:
-[...] элементарные функции. Определение: элементарные функции - это функции, которые проходят в школе.
Хоровой шепот СУНЦов:
-Гамма-функция..

[wrest]

Someone в сообщении #1196427 писал(а):

Есть теорема, что элементарная функция непрерывна в своей области определения (в изолированных точках области определения функция считается непрерывной). Сигнум не является непрерывным в нуле, хотя и определён.

Посмотрим опять же в Фихтенгольца (том 1, параграф 46).
Для чем-то похожей на $sgn(x)$ функции $f(x)$ такой, что $f(x)=1$, если $|x|>1$, $f(x)=-1$, если $|x|<1$ и $f(x)=0$ если $|x|=1$, дается такая формула
$f(x)=\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{x^{2n}-1}{x^{2n}+1}$
То есть функция записана формулой, содержащей только аналитические операции (а предельный переход Фихтенгольц к таковым относит), да и деления на ноль нет.