Теорема антикосинусов

[shwedka]

Yarkin

Цитата:

Из определения элемента $n$ - го измерения следует, что он не может быть отрицательным.

повторяю определение

Цитата:

“Определение. Выражение, содержащее основные элементы треугольника называется элементом $n$-го
измерения этого треугольника, если оно является положительно-однородной функцией$n$-го измерения от
длин сторон.

Объясните, как отсюда следует запрет отрицательности элемента треугольника (не $n$, а элемента), или как в моем примере, запрет элементу треугольника менять знзк.

[Yarkin]

shwedka писал(а):

Yarkin

Цитата:

Из определения элемента $n$ - го измерения следует, что он не может быть отрицательным.

повторяю определение

Цитата:

“Определение. Выражение, содержащее основные элементы треугольника называется элементом $n$-го
измерения этого треугольника, если оно является положительно-однородной функцией$n$-го измерения от
длин сторон.

Объясните, как отсюда следует запрет отрицательности элемента треугольника (не $n$, а элемента), или как в моем примере, запрет элементу треугольника менять знзк.

Требование положительности. Причем это естественное требование. Размеры не могут принимать отрицательных значений. Функция от линейных элементов, определяет размерность нового элемента, а потому должна быть положительной. В чем я ошибаюсь?

[PAV]

Определение положительно-однородной функции см. в Википедии.

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0% ... 0%B8%D1%8F

Это не значит, что функция принимает положительные значения. Значения могут быть любыми.

[Brukvalub]

Сообщение удалено по требованию участника, руководящего дискуссией.

[shwedka]

Yarkin

Цитата:

Требование положительности. Причем это естественное требование. Размеры не могут принимать отрицательных значений. Функция от линейных элементов, определяет размерность нового элемента, а потому должна быть положительной. В чем я ошибаюсь?

Цитата:

должна

Это нужно доказать.
Мы занимаемся серьезными вещами. У нас есть определение элемента треугольника, взятое у Новоселова. Нигде не написано, это это размер.

Цитата:

Размеры не могут принимать отрицательных значений. Функция от линейных элементов, определяет размерность

У Вас размер и размерность-одно и то же или разные вещи?? Определения размера не было.п.4
Не употребляйте неопределенные понятия.

Покажите, как определение запрещает мой пример.
Выведите положительность из определения. Или введите в определения. Тогда обсудим.


Естественные требования естественны для одного и неестественны для другого. Ими пользоваться нельзя, пока они не формализованы.



Тут многие стали вмешиваться. По нашей договоренности, прошу игнорировать

[shwedka]

Yarkin
Я предлагаю отложить обсуждение дополнения об элементе треугольнка, возведенном в степень $1/n$ и вопроса о положительности, зафиксировать текст и перейти к доказательству. Если дополнение понадобится, мы к нему вернемся.

Итак, предлагаю зафиксировать следующий текст.

---------------------------------------------------------------------------------------------
Часть 1. Определения.

“Определение. Длины сторон и углы треугольника называются его основными элементами.”


“Определение. Выражение, содержащее основные элементы треугольника называется элементом $n$-го
измерения этого треугольника, если оно является положительно-однородной функцией $n$-го измерения от
длин сторон треугольника. Если, например, длины сторон рассматриваемого треугольника обозначены через $a, b$ и $c$, а противолежащие
углы треугольника через $A, B, C$, то
выражение:

$$ F(a, b, c, A, B, C), $$

составленное из основных элементов треугольника, является элементом $n$-го измерения этого
треугольника, если при замене аргументов $a, b$ и $c$ числами $ka, kb$ и $kc$, где $k$ - произвольное п о л о ж и т е л ь н о е число, выражениe умножится на
$k^n$:

$$ F(ka, kb, kc, A, B, C) = k^n F(a, b, c, A, B, C).\eqno(D1)$$

Это означает, что при переходе от данного треугольника к подобному, с коэффициентом пропорциональности сторон $k>0$, значение элемента треугольника умножается на $k^n$.
Вместо слова 'измерение' допустимо употреблять слово 'размерность', имеющее абсолютно тот же смысл.
В частности, элементы треугольника нулевого измерения
называются угловыми элементами треугольника. Их можно понимать как элементы треугольника, зависящие только от углов и не зависящие от сторон треугольника.
Элементы треугольника первого измерения называются линейными элементами треугольника.”

“Пусть $L(a, b, c, A, B, C)$ – некоторый линейный элемент треугольника. Заменим $a, b$ и $c$ на
$2R\sin A, 2R \sin B$ и $2R \sin C$ где $R$-радиус описанной окружности треугольника. Если вынести
множитель $2R$, то получим:

$$ L(a, b, c, A, B, C) = 2R L(\sin A, \sin B, \sin C, A, B, C). $$

Выражение $ L(\sin A, \sin B, \sin C, A, B, C)$ есть угловой элемент треугольника; будем называть его угловым
элементом треугольника, с о т в е т с т в у ю щ и м линейному элементу треугольника $L$, и обозначать символом $U(L)$.
Следовательно:

$$ L = 2R U(L). \eqno (D2) $$

Часть 2.Теорема антикосинусов. Не существует никакого треугольника c длинами сторон $a,b,c$, удовлетворяющими
соотношению

$$ a^2+ b^2 = c^2, \eqno (1) $$

Доказательство. 1. Допустим противное, что существует треугольник $T$ с длинами сторон $a, b, c$. Тогда для такого треугольника должна выполняться теорема косинусов

$$ \left\{ \begin{aligned} a^2 + b^2 - 2ab \cos C = c^2\\ c^2 + a^2 - 2ac \cos B = b^2\\ c^2 + b^2 - 2bc \cos A = a^2.\\ \end{aligned} \right. \eqno (2) $$

с условиями для углов

$$ 0 < \angle A < \pi, 0 < \angle B < \pi, 0 < \angle C < \pi , \angle A + \angle B + \angle C = \pi. \eqno (3) $$

Первое соотношение (2) совпадет с соотношением (1) при $\angle C = \pi/2$. Далее возможны два случая либо

$$ a = c \cos B, b = c \cos A, \eqno (4) $$

либо

$$ a \ne c \cos B, b \ne c \cos A, \eqno (5) $$

Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.
1) Выполняются соотношения (4). Все три соотношения (2) перейдут в соотношение (1),
--------------------------------------------------------------------------
Я ввела обозначение $T$ для обсуждаемого треугольника, чтобы иметь всегда возможность указать, к какому треугольнику относятся рассуждения.
Подтвердите согласие. Тогда продолжим обсуждение.

[ljubarcev]

Уважаемый Yjarkin ! Вы можете ответить на простой вопрос: 24^2+7^2=25^2 - не существующий треугольник ?
Дед

[bot]

ljubarcev писал(а):

Уважаемый Yjarkin ! Вы можете ответить на простой вопрос: 24^2+7^2=25^2 - не существующий треугольник ?
Дед

Вы поддерживаете стиль Яркина, так что может быть он и поймёт о каком треугольнике Вы спрашиваете, а я, хоть убейте, не понимаю какое отношение числовое равенство (даже верное как в данном случае) имеет к заданию треугольника?

[Yarkin]

shwedka писал(а):

Я ввела обозначение для обсуждаемого треугольника, чтобы иметь всегда возможность указать, к какому треугольнику относятся рассуждения.
Подтвердите согласие. Тогда продолжим обсуждение.

Я хотел уже процитировать весь 59 параграф, включив туда и две теоремы с следствиями. Но это Ваше сообщение все меняет. Я полностью согласен с зафиксированным.

Добавлено спустя 14 минут 53 секунды:

bot писал(а):

ljubarcev писал(а):

Уважаемый Yjarkin ! Вы можете ответить на простой вопрос: 24^2+7^2=25^2 - не существующий треугольник ?
Дед

Вы поддерживаете стиль Яркина, так что может быть он и поймёт о каком треугольнике Вы спрашиваете, а я, хоть убейте, не понимаю какое отношение числовое равенство (даже верное как в данном случае) имеет к заданию треугольника?

По вопросу видно, что ljubarcev не поддерживает мой стиль - мы идем разными путями. Единственное, что можно заключить из данного числового соотношения - не существует треугольника со сторонами $24^2, 7^2, 25^2$, так как нарушено основное условие для сторон $24^2 + 7^2 > 25^2$.

[shwedka]

Цитата:

Часть 1. Определения.

“Определение. Длины сторон и углы треугольника называются его основными элементами.”


“Определение. Выражение, содержащее основные элементы треугольника называется элементом $n$-го
измерения этого треугольника, если оно является положительно-однородной функцией $n$-го измерения от
длин сторон треугольника. Если, например, длины сторон рассматриваемого треугольника обозначены через $a, b$ и $c$, а противолежащие
углы треугольника через $A, B, C$, то
выражение:

$$ F(a, b, c, A, B, C), $$

составленное из основных элементов треугольника, является элементом $n$-го измерения этого
треугольника, если при замене аргументов $a, b$ и $c$ числами $ka, kb$ и $kc$, где $k$ - произвольное п о л о ж и т е л ь н о е число, выражениe умножится на
$k^n$:

$$ F(ka, kb, kc, A, B, C) = k^n F(a, b, c, A, B, C).\eqno(D1)$$

Это означает, что при переходе от данного треугольника к подобному, с коэффициентом пропорциональности сторон $k>0$, значение элемента треугольника умножается на $k^n$.
Вместо слова 'измерение' допустимо употреблять слово 'размерность', имеющее абсолютно тот же смысл.
В частности, элементы треугольника нулевого измерения
называются угловыми элементами треугольника. Их можно понимать как элементы треугольника, зависящие только от углов и не зависящие от сторон треугольника.
Элементы треугольника первого измерения называются линейными элементами треугольника.”

“Пусть $L(a, b, c, A, B, C)$ – некоторый линейный элемент треугольника. Заменим $a, b$ и $c$ на
$2R\sin A, 2R \sin B$ и $2R \sin C$ где $R$-радиус описанной окружности треугольника. Если вынести
множитель $2R$, то получим:

$$ L(a, b, c, A, B, C) = 2R L(\sin A, \sin B, \sin C, A, B, C). $$

Выражение $ L(\sin A, \sin B, \sin C, A, B, C)$ есть угловой элемент треугольника; будем называть его угловым
элементом треугольника, с о т в е т с т в у ю щ и м линейному элементу треугольника $L$, и обозначать символом $U(L)$.
Следовательно:

$$ L = 2R U(L). \eqno (D2) $$

Часть 2.Теорема антикосинусов. Не существует никакого треугольника c длинами сторон $a,b,c$, удовлетворяющими
соотношению

$$ a^2+ b^2 = c^2, \eqno (1) $$

Доказательство. 1. Допустим противное, что существует треугольник $T$ с длинами сторон $a, b, c$. Тогда для такого треугольника должна выполняться теорема косинусов

$$ \left\{ \begin{aligned} a^2 + b^2 - 2ab \cos C = c^2\\ c^2 + a^2 - 2ac \cos B = b^2\\ c^2 + b^2 - 2bc \cos A = a^2.\\ \end{aligned} \right. \eqno (2) $$

с условиями для углов

$$ 0 < \angle A < \pi, 0 < \angle B < \pi, 0 < \angle C < \pi , \angle A + \angle B + \angle C = \pi. \eqno (3) $$

Первое соотношение (2) совпадет с соотношением (1) при $\angle C = \pi/2$. Далее возможны два случая либо

$$ a = c \cos B, b = c \cos A, \eqno (4) $$

либо

$$ a \ne c \cos B, b \ne c \cos A, \eqno (5) $$

Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.
1) Выполняются соотношения (4). Все три соотношения (2) перейдут в соотношение (1),

зафиксированный текст

Продолжаем

Цитата:

где элементами первого измерения являются ,

В зафиксированном тексте нет определения элементов первого измерения в соотношении. Есть только элементы первого измерения треугольника.

п.4 Использование неопределенного понятия.

[AD]

По-моему, очень неплохо получается!
В смысле система работает.

Со стороны, по крайней мере.

[Yarkin]

AD писал(а):

По-моему, очень неплохо получается!
В смысле система работает.

Со стороны, по крайней мере.

И Вы один из организаторов. Спасибо.

Добавлено спустя 27 минут 23 секунды:

shwedka писал(а):

Продолжаем

Часть 2.Теорема антикосинусов. Не существует никакого треугольника c длинами сторон $a,b,c$, удовлетворяющими
соотношению

$$ a^2+ b^2 = c^2, \eqno (1) $$

Доказательство. 1. Допустим противное, что существует треугольник $T$ с длинами сторон $a, b, c$. Тогда для такого треугольника должна выполняться теорема косинусов

$$ \left\{ \begin{aligned} a^2 + b^2 - 2ab \cos C = c^2\\ c^2 + a^2 - 2ac \cos B = b^2\\ c^2 + b^2 - 2bc \cos A = a^2.\\ \end{aligned} \right. \eqno (2) $$

с условиями для углов

$$ 0 < \angle A < \pi, 0 < \angle B < \pi, 0 < \angle C < \pi , \angle A + \angle B + \angle C = \pi. \eqno (3) $$

Первое соотношение (2) совпадет с соотношением (1) при $\angle C = \pi/2$. Далее возможны два случая либо

$$ a = c \cos B, b = c \cos A, \eqno (4) $$

либо

$$ a \ne c \cos B, b \ne c \cos A, \eqno (5) $$

Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.
1) Выполняются соотношения (4). Все три соотношения (2) перейдут в соотношение (1), являющегося исходным. Вновь делать принятое допущение не имеет смысла (бесконечный цикл). Остается только один путь – признать длинами сторон элементы, записанные в форме $a^2, b^2, c^2$. Действительно, из соотношения (1) следует, что для элементов $a^2, b^2, c^2$ нарушено основное условие существования треугольника

$$ a^2 + b^2 > c^2 $$

Но это противоречит, допущению, что элементы $a, b, c$ являются длинами сторон.

[shwedka]

Yarkin

Цитата:

Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.
1) Выполняются соотношения (4). Все три соотношения (2) перейдут в соотношение (1), являющегося исходным. Вновь делать принятое допущение не имеет смысла (бесконечный цикл).

Вы не обосновали необходимость

Цитата:

Вновь делать

хоть какое-нибудь допущение,
пока (4) не приведено к противоречию.

Что Вы вкладываете в слова

Цитата:

не имеет смысла

?
1.не дает новой информации
2.ведет к ошибке
3.не нужно
4. (Ваша версия)

(Здесь (пока) не идет речь о математическом определении, но хотя бы на бытовом уровне, чтобы все могли одинаково понимать, что имеется в виду.)

Вы не обосновали, почему возможность неограниченнного повторения одного и того же рассуждения с одними и теми же числами (бесконечный цикл) влечет ошибочность рассуждения и требует изменения допущений.

[TOTAL]

Паниковский, посланный с деньгами на пристань за билетами, вернулся через два часа пьяным, без билетов и без денег.
Яркин, за противоречиями, пока не вернулся.

[Yarkin]

shwedka писал(а):

Yarkin

Цитата:

Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.
1) Выполняются соотношения (4). Все три соотношения (2) перейдут в соотношение (1), являющегося исходным. Вновь делать принятое допущение не имеет смысла (бесконечный цикл).

Вы не обосновали необходимость

Цитата:

Вновь делать

хоть какое-нибудь допущение,
пока (4) не приведено к противоречию.

Что Вы вкладываете в слова

Цитата:

не имеет смысла

?
1.не дает новой информации
2.ведет к ошибке
3.не нужно
4. (Ваша версия)

(Здесь (пока) не идет речь о математическом определении, но хотя бы на бытовом уровне, чтобы все могли одинаково понимать, что имеется в виду.)

Вы не обосновали, почему возможность неограниченного повторения одного и того же рассуждения с одними и теми же числами (бесконечный цикл) влечет ошибочность рассуждения и требует изменения допущений.

Согласен с замечаниями. Наиболее подходит первый пункт. Очевидно, что теория бесконечного цикла в доказательстве не разработана. Но, вероятно, принятого допущения недостаточно, чтобы выйти из этого бесконечного цикла. Следовательно, на каком-то этапе, надо сделать дополнительное допущение. Предлагаю следующий вариант:
1) Выполняются соотношения (4). Все три соотношения (2) перейдут в соотношение (1), являющегося исходным. Вновь делать принятое допущение не имеет смысла - образуется бесконечный цикл в доказательстве без получения новой информации. На каком-то этапе, для выхода из бесполезного цикла, надо сделать дополнительное допущение: Размерности элементов $a^2, b^2, c^2$ и $a, b, c$ либо совпадают, либо разные. Но в первом случае приходим к противоречию с допущением. Поэтому, рассмотрим случай, когда их размерности не совпадают.