Yarkin
Я предлагаю отложить обсуждение дополнения об элементе треугольнка, возведенном в степень

и вопроса о положительности, зафиксировать текст и перейти к доказательству. Если дополнение понадобится, мы к нему вернемся.
Итак, предлагаю зафиксировать следующий текст.
---------------------------------------------------------------------------------------------
Часть 1. Определения.
“Определение. Длины сторон и углы треугольника называются его основными элементами.”
“Определение. Выражение, содержащее основные элементы треугольника называется элементом

-го
измерения этого треугольника, если оно является положительно-однородной функцией

-го измерения от
длин сторон треугольника. Если, например, длины сторон рассматриваемого треугольника обозначены через

и

, а противолежащие
углы треугольника через

, то
выражение:
составленное из основных элементов треугольника, является элементом

-го измерения этого
треугольника, если при замене аргументов

и

числами

и

, где

- произвольное п о л о ж и т е л ь н о е число, выражениe умножится на

:
Это означает, что при переходе от данного треугольника к подобному, с коэффициентом пропорциональности сторон

, значение элемента треугольника умножается на

.
Вместо слова 'измерение' допустимо употреблять слово 'размерность', имеющее абсолютно тот же смысл.
В частности, элементы треугольника нулевого измерения
называются угловыми элементами треугольника. Их можно понимать как элементы треугольника, зависящие только от углов и не зависящие от сторон треугольника.
Элементы треугольника первого измерения называются линейными элементами треугольника.”
“Пусть

– некоторый линейный элемент треугольника. Заменим

и

на

и

где

-радиус описанной окружности треугольника. Если вынести
множитель

, то получим:
Выражение

есть угловой элемент треугольника; будем называть его угловым
элементом треугольника, с о т в е т с т в у ю щ и м линейному элементу треугольника

, и обозначать символом

.
Следовательно:
Часть 2.Теорема антикосинусов. Не существует никакого треугольника c длинами сторон

, удовлетворяющими
соотношению
Доказательство. 1. Допустим противное, что существует треугольник

с длинами сторон

. Тогда для такого треугольника должна выполняться теорема косинусов
с условиями для углов
Первое соотношение (2) совпадет с соотношением (1) при

. Далее возможны два случая либо
либо
Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.
1) Выполняются соотношения (4). Все три соотношения (2) перейдут в соотношение (1),
--------------------------------------------------------------------------
Я ввела обозначение

для обсуждаемого треугольника, чтобы иметь всегда возможность указать, к какому треугольнику относятся рассуждения.
Подтвердите согласие. Тогда продолжим обсуждение.