Теорема антикосинусов

[STilda]

shwedka писал(а):

Предлагаю проигнорировать пункты 2 и 3 ответа Яркина как не относящиеся к делу

После этого яркин имеет право проигнорировать вашу формулировку и "Доказывайте!!!", как не относящееся к делу.
Предлагаю ничего не доказывать пока что. Яркин, объясните подробнее пункты 2 и 3, ибо их не понимают, а они ключевые возможно.

[shwedka]

STilda
Формулировка уже не моя, а согласованная с Яркиным и зафиксированная. По условиям изменению не подлежит. Ее игнорировать нельзя.
Обсудить п.2,3 не возражаю. Пусть обсуждают, кто видит в том интерес.

[Yarkin]

Теорема антикосинусов. Не существует никакого треугольника c длинами сторон $a,b,c$, удовлетворяющими
соотношению

$$ a^2+ b^2 = c^2, \eqno (1) $$

Доказательство. 1. Допустим противное, что существует треугольник с длинами сторон $a, b, c$. Тогда для такого треугольника должна выполняться теорема косинусов

$$ \left\{ \begin{aligned} a^2 + b^2 - 2ab \cos C = c^2\\ c^2 + a^2 - 2ac \cos B = b^2\\ c^2 + b^2 - 2bc \cos A = a^2.\\ \end{aligned} \right. \eqno (2) $$

с условиями для углов

$$ 0 < \angle A < \pi, 0 < \angle B < \pi, 0 < \angle C < \pi , \angle A + \angle B + \angle C = \pi. \eqno (3) $$

Первое соотношение (2) совпадет с соотношением (1) при $\angle C = \pi/2$. Далее возможны два случая либо

$$ a = c \cos B, b = c \cos A, \eqno (4) $$

либо

$$ a \ne c \cos B, b \ne c \cos A, \eqno (5) $$

Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.
1) Выполняются соотношения (4). Все три соотношения (2) перейдут в соотношение (1), где элементами первого измерения являются $a^2, b^2, c^2$, но одни и те же элементы одного и того же соотношения, могут иметь только один порядок измерения. Следовательно, для этого случая допущение не верно.
2) Выполняются соотношения (5). Но эти соотношения противоречат основным тригонометрическим соотношениям для прямоугольного треугольника. Следовательно, допущение о существовании такого треугольника в этом случае также неверно.
Теорема доказана.

[shwedka]

Yarkin

Цитата:

Доказательство. Допустим противное

этот текст согласован и зафиксирован.

Цитата:

, что существует треугольник со сторонами -- элементами первого измерения

:!: Нарушен п.4.
Понятие элементы первого измерения не определено. Прежде, чем пойдем дальше, определите. См. п.8.

[Yarkin]

STilda писал(а):

shwedka писал(а):

Предлагаю проигнорировать пункты 2 и 3 ответа Яркина как не относящиеся к делу

После этого яркин имеет право проигнорировать вашу формулировку и "Доказывайте!!!", как не относящееся к делу.
Предлагаю ничего не доказывать пока что. Яркин, объясните подробнее пункты 2 и 3, ибо их не понимают, а они ключевые возможно.

Объясняю подробно эти пункты.
2. Объясняю пункт в). Если мы написали соотношение $3^2 + 4^2 = 5^2$, говорить о треугольнике со сторонами $3, 4, 5$ нельзя. Сперва надо разобраться, что мы рассматриваем. Это могут быть веса, длины, площади и т. д. Соотношение (1) как раз относится к такому типу, а поэтому, прежде, чем выбирать вид треугольника, надо его установить. Рассмотрим этот пример более подробно, хотя я его уже приводил по требованию Someone.
Исходными данными являются действия над элементами $a^2=3^2, b^2=4^2, c^2=5^2$. Если мы будем считать эти элементы линейными, то в виду нарушения условия существования треугольника

$$ a^2 + b^2 > c^2 \eqno (*) $$

Можно утверждать, что треугольник со сторонами $3^2, 4^2, 5^2$ не существует, причем подтвердить линейную размерность этих элементов можно с помощью
теоремы косинусов, написанной для треугольника с такими сторонами:

$$ \left\{ \begin{aligned} 3^4 + 4^4 - 2 3^2 4^2 \cos C_1 = 5^4\\ 5^4 + 3^4 - 2 3^2 5^2 \cos B_1 = 4^4\\ 5^4 + 4^4 - 2 4^2 5^2 \cos A_1 = 3^4.\\ \end{aligned} \right. \eqno (**) $$


Полагая в этих соотношениях $\angle C_1 = 180^0, \angle B_1 = \angle A_1 = 0^0$ (треугольник не существует), мы придем к соотношению (*) подтвердив, что элементы $3^2, 4^2, 5^2$ являются линейными.
С другой стороны, предположив, что соотношение (*) определяет треугольник со сторонами $3, 4, 5$, напишем и для него теорему косинусов:

$$ \left\{ \begin{aligned} 3^2 + 4^2 - 2 3 4 \cos C = 5^2\\ 5^2 + 3^2 - 2 3 5 \cos B = 4^2\\ 5^2 + 4^2 - 2 4 5 \cos A = 3^2.\\ \end{aligned} \right. \eqno (***) $$

Здесь линейными элементами являются элементы $3, 4, 5$. Ни при каких значениях углов, соотношение (*) мы не получим. Но все три соотношения (***) перейдут в соотношение (*) при $\angle C = 90^0, 3 = 5 \cos B, 4 = 5 \cos A$. Но там уже есть линейные элементы $3^2, 4^2, 5^2$. Вывод: Соотношение (1) можно рассматривать только с точки зрения отсутствия треугольника со сторонами $3^2, 4^2, 5^2$. Никаких выводов о существовании треугольника со сторонами $3, 4, 5$ из соотношения (*) делать нельзя. Привыкшие с детства воспринимать это соотношение, как теорему Пифагора, мы, кроме треугольника, ничего в нем не видели. В следующем сообщении постараюсь ответить на пункт 3. .

[shwedka]

Yarkin
Я надеюсь, что обсуждение таинственных линейных элементов, линейной размерности и подобных неопределенных понятий не очень надолго отвлечет Ваше внимание от обработки доказательства. Хочу только напомнить, что согласно зафиксированной формулировке, $a,b,c$ в (1) являются длинами (а не площадями или весами). Так что устанавливать это не требуется.

[Echo-Off]

Yarkin писал(а):

$3^2 + 4^2 - 2 3 4 \cos C = 5^2$

Напомнило:
как доказать, что 121=2202?
Имеем: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
Подставляем $a=10$, $b=1$.
$(10+1)^2=10^2+2101+1^2$
$121=100+2101+1=2202$

[shAtter]

Просто не мог не зарегиться....

Yarkin писал(а):

Это могут быть веса, длины, площади и т. д.

Вы сами противоречите своему утверждению :

Цитата:

Теорема антикосинусов. Для любого натурального $n>0$ не существует никакого треугольника, длины сторон которого...

Опять же, читайте внимательнее формулировку shwedka. Там сказанно, что $a, b, c$ - длины сторон.
Хотя это все мелочи, по сравнению с тем, что Вы сейчас пытаетесь опровергнуть теорему Пифагора.

[Yarkin]

shwedka писал(а):

Yarkin

Цитата:

Доказательство. Допустим противное

этот текст согласован и зафиксирован.

Цитата:

, что существует треугольник со сторонами -- элементами первого измерения

:!: Нарушен п.4.
Понятие элементы первого измерения не определено. Прежде, чем пойдем дальше, определите. См. п.8.

Коллега shwedka я. Конечно, подчинюсь этому пункту, но, по моему Н. О. Нейм и С. И. Новоселов совершенно разной известности. Последний автор издавался и переиздавался многократно многотысячным тиражом. С фиксированием согласен. Внес правку.

Добавлено спустя 5 минут 32 секунды:

shwedka писал(а):

Yarkin
Я надеюсь, что обсуждение таинственных линейных элементов, линейной размерности и подобных неопределенных понятий не очень надолго отвлечет Ваше внимание от обработки доказательства. Хочу только напомнить, что согласно зафиксированной формулировке, $a,b,c$ в (1) являются длинами (а не площадями или весами). Так что устанавливать это не требуется.

Понятно. Просто STilda - независимый эксперт и я должен ответить.

[shwedka]

Yarkin писал(а):

Теорема антикосинусов. Не существует никакого треугольника c длинами сторон $a,b,c$, удовлетворяющими
соотношению

$$ a^2+ b^2 = c^2, \eqno (1) $$

Доказательство. 1. Допустим противное, что существует треугольник с длинами сторон $a, b, c$. Тогда для такого треугольника должна выполняться теорема косинусов

$$ \left\{ \begin{aligned} a^2 + b^2 - 2ab \cos C = c^2\\ c^2 + a^2 - 2ac \cos B = b^2\\ c^2 + b^2 - 2bc \cos A = a^2.\\ \end{aligned} \right. \eqno (2) $$

с условиями для углов

$$ 0 < \angle A < \pi, 0 < \angle B < \pi, 0 < \angle C < \pi , \angle A + \angle B + \angle C = \pi. \eqno (3) $$

Первое соотношение (2) совпадет с соотношением (1) при $\angle C = \pi/2$. Далее возможны два случая либо

$$ a = c \cos B, b = c \cos A, \eqno (4) $$

либо

$$ a \ne c \cos B, b \ne c \cos A, \eqno (5) $$

Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.
1) Выполняются соотношения (4). Все три соотношения (2) перейдут в соотношение (1),

Согласовано и зафиксировано.

Цитата:

, где элементами первого измерения

Понятие элементы первого измерения не определено. Если хотите им пользоваться, приведите определение. (Я согласна, что Новоселов - реально существовавший автор, но не все имеют доступ к таким древним трудам. В Швеции, в частности, их нет). Поскольку далее это понятие становится главным актером в рассуждении, важно, чтобы все, и участники, и зрители, воспринимали бы его одинаково.

[Yarkin]

shwedka писал(а):

Yarkin писал(а):

Теорема антикосинусов. Не существует никакого треугольника c длинами сторон $a,b,c$, удовлетворяющими
соотношению

$$ a^2+ b^2 = c^2, \eqno (1) $$

Доказательство. 1. Допустим противное, что существует треугольник с длинами сторон $a, b, c$. Тогда для такого треугольника должна выполняться теорема косинусов

$$ \left\{ \begin{aligned} a^2 + b^2 - 2ab \cos C = c^2\\ c^2 + a^2 - 2ac \cos B = b^2\\ c^2 + b^2 - 2bc \cos A = a^2.\\ \end{aligned} \right. \eqno (2) $$

с условиями для углов

$$ 0 < \angle A < \pi, 0 < \angle B < \pi, 0 < \angle C < \pi , \angle A + \angle B + \angle C = \pi. \eqno (3) $$

Первое соотношение (2) совпадет с соотношением (1) при $\angle C = \pi/2$. Далее возможны два случая либо

$$ a = c \cos B, b = c \cos A, \eqno (4) $$

либо

$$ a \ne c \cos B, b \ne c \cos A, \eqno (5) $$

Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.
1) Выполняются соотношения (4). Все три соотношения (2) перейдут в соотношение (1),

Согласовано и зафиксировано.

Цитата:

, где элементами первого измерения

Понятие элементы первого измерения не определено. Если хотите им пользоваться, приведите определение. (Я согласна, что Новоселов - реально существовавший автор, но не все имеют доступ к таким древним трудам. В Швеции, в частности, их нет). Поскольку далее это понятие становится главным актером в рассуждении, важно, чтобы все, и участники, и зрители, воспринимали бы его одинаково.

Согласен.

[AD]

Yarkin писал(а):

Согласен.

Ну и? Где определение-то? Неужто вы признали, что его нету?

shAtter писал(а):

Просто не мог не зарегиться....

(в-общем-то, обращаясь ко всем) Прежде чем писать следующее сообщение, посмотрите это: http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=6758
Возможно, после этого желание общаться с этим человеком эээ ... немного поубавится.

[Yarkin]

AD писал(а):

Ну и? Где определение-то? Неужто вы признали, что его нету?

Вспомним тригонометрию треугольника.
Ничего нового я выдумывать не буду, а приведу те определения из книги С. И Новоселова, Специальный курс тригонометрии, издание третье, М., 1957 г.
С. 328. “Определение. Стороны и углы треугольника называются его основными элементами.”
С. 338. . “Определение. Выражение:

$$ F(a, b, c, A, B, C), $$

Составленное из основных элементов треугольника, называется элементом $n$-го измерения, если оно является положительно-однородной функцией $n$-го измерения от аргументов $a, b$ и $c$.
Иными словами, при замене аргументов $a, b$ и $c$ числами $ka, kb$ и $kc$ выражении умножится на $k^n$:

$$ F(ka, kb, kc, A, B, C) = k^n F(a, b, c, A, B, C), $$

Где $k$ - произвольное п о л о ж и т е л ь н о е число.
В частности, элементы нулевого измерения называются угловыми элементами. Элементы первого измерения называются линейными элементами.”
С. 339. “Пусть $L(a, b, c, A, B, C)$ – некоторый линейный элемент треугольника. Заменим $a, b$ и $c$ на $2R \sin A, 2R \sin B$ и $2R \sin C$. Если вынести множитель $2R$, то получим:

$$ L(a, b, c, A, B, C) = 2R L(\sin A, \sin B, \sin C, A, B, C). $$

Выражение $ L(\sin A, \sin B, \sin C, A, B, C)$ есть угловой элемент; будем называть его угловым элементом, с о т в е т с т в у ю щ и м линейному элементу $L$, и обозначать символом $U(L)$.
Следовательно:

$$ L = 2R U(L). \eqno (1) $$
"

[shwedka]

Выглядит разумно, принципиальных возражений нет,
только поясните, что такое $R$ в этом тексте.

И еще. Вы не возражаете, если я для большей ясности вставлю пару уточняющих слов???

Цитата:

Выражение:

$$ F(a, b, c, A, B, C), $$

составленное из основных элементов треугольника, называется элементом $n$-го измерения этого треугольника, если оно является положительно-однородной функцией $n$-го измерения от аргументов $a, b$ и $c$.

[Yarkin]

shwedka писал(а):

Выглядит разумно, принципиальных возражений нет,
только поясните, что такое $R$ в этом тексте.

И еще. Вы не возражаете, если я для большей ясности вставлю пару уточняющих слов???

Цитата:

Выражение:

$$ F(a, b, c, A, B, C), $$

составленное из основных элементов треугольника, называется элементом $n$-го измерения этого треугольника, если оно является положительно-однородной функцией $n$-го измерения от аргументов $a, b$ и $c$.

$R$ - радиус описанной окружности. Не возражаю.