Опять антигравитация-2 (статья Горькавого и Василькова)

[wrest]

Dims в сообщении #1185796 писал(а):

Иначе говоря, возможно ли то же самое с электромагнетизмом? Допустим, в центре был заряд Q1, а потом этот заряд вдруг уменьшился до Q2.

Насколько я понимаю, в рамках теории электромагнетизма такая ситуация (вдруг несохранился электрический заряд) просто невозможна.

[realeugene]

Николай Горькавый продлолжает упорно утверждать, что гравволны не гравитируют: http://don-beaver.livejournal.com/18265 ... 9#t7087229 Мне любопытно, он просто не знает, или просто игнорирует написанное в параграфе 108 ЛЛ2?

Цитата:

Обладая определённой энергией, гравитационная волна сама является источником некоторого дополнительного гравитационного поля. ...это эффект второго порядка... Но в случае высокочастотных гравитационных волн эффект существенно усиливается...

Напомню, что идея Горькавого - уносить из центра массу именно при помощи очень высокочастотных гравволн, равно, он считает, что пространство заполнено такими негравитирующими очень коротковолновыми гравволнами с огромной энергией. Как при этом можно было просто не прочитать учебник?

[schekn]

realeugene в сообщении #1186032 писал(а):

Мне любопытно, он просто не знает, или просто игнорирует написанное в параграфе 108 ЛЛ2?

В этом параграфе 108 авторы отказались от фиксированной метрики Минковского. У Горькавого пока все расчеты ведутся в этом предположении. У меня вопрос больше к тому, как лиговцы делали свои расчеты , поскольку он оперирует их данными: 5 процентов потерь массы на гравитационные волны после слияния двух черных дыр с массами 30 солнечных масс.

[SergeyGubanov]

Dims в сообщении #1185796 писал(а):

Будет ли в этом случае по графику потенциала распространяться волна с обратным наклоном?

Заряд исчезнуть/появится не может, но может переместиться. В электродинамике потенциалы удовлетворяют волновому уравнению Д'Аламбера, поэтому ускоренное перемещение заряда приводит к волновому распространению изменения потенциалов электромагнитного поля.

В теории гравитации Ньютона, гравитационный потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа (а вовсе не Д'Аламбера), поэтому любое перемещение массы приводит к мгновенному изменению Ньютоновского гравитационного потенциала во всей Вселенной Ньютона.

В предельном переходе из ОТО в Ньютоновскую физику для гравитационного потенциала получается как раз уравнение Лапласа (а вовсе не Д'Аламбера). И это весьма замечательно. Дело в том, что наивное обобщение теории Ньютоновского гравитационного потенциала $\varphi$ заключающееся в записывании для $\varphi$ уравнения Д'Аламбера не работает в том смысле, что противоречит астрономическим наблюдениям. Если бы $\varphi$ удовлетворял волновому уравнению Д'Аламбера, то для расчёта орбит планет Солнечной системы пришлось бы учитывать запаздывание во времени (это часы для далёких планет). Но попытка учёта такого запаздывания, как известно, приводит к противоречию наблюдаемых орбит с расчётными. То есть планеты Солнечной системы уважают уравнение Лапласа, и не уважают уравнение Д'Аламбера для Ньютоновского гравитационного потенциала.

Что касается точных решений ОТО то тут сказать особо нечего. Достоверно известно только лишь то, что сферически симметричных волновых решений в ОТО нет (то есть "найденная" Горькавым сферически симметричная репульсивная сила полностью "разнайдена" обратно - это достоверно точно). А вот несферические точные волновые решения ОТО не известны.

Итог:

1) Ньютоновский гравитационный потенциал $\varphi$ принципиально не волновой так как удовлетворяет уравнению Лапласа, а не Д'Аламбера. Если по физическому смыслу должна бы быть волна, значит описание с помощью Ньютоновского гравитационного потенциала в данном случае невозможно вообще (выход за область применимости).

2) Соответствующих точных волновых решений ОТО не известно, то есть обсуждать просто-напросто нечего.

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #1186210 писал(а):

В предельном переходе из ОТО в Ньютоновскую физику для гравитационного потенциала получается как раз уравнение Лапласа (а вовсе не Д'Аламбера).

Это, мягко говоря, не подкреплённое заявление.

(Конечно, Лапласа можно получить, но только потому, что его и из Д'Аламбера можно получить, в пределе малых скоростей (и ускорений, разумеется) движущихся масс.)

SergeyGubanov в сообщении #1186210 писал(а):

Если бы $\varphi$ удовлетворял волновому уравнению Д'Аламбера, то для расчёта орбит планет Солнечной системы пришлось бы учитывать запаздывание во времени (это часы для далёких планет). Но попытка учёта такого запаздывания, как известно, приводит к противоречию наблюдаемых орбит с расчётными.

Это феерическая чушь. Любому, кто ещё верил в вашу степень к.ф.-м.н. "в области гравитации", в этот момент всё станет ясно.

(Правда, п. 1 "Итога" не страдает, поскольку сформулирован более скромно.)

[SergeyGubanov]

Munin, для начала напомню как строится предельный переход из любой метрической теории гравитации (в том числе из ОТО) в классическую теорию.

Классический Лагранжиан свободной частицы массы $m$ в неинерциальной системе координат с полем скоростей $V^i$:

$$ L = \frac{1}{2} m \gamma_{i j} \left( \frac{dx^i}{dt} - V^i \right) \left( \frac{dx^j}{dt} - V^j \right) \eqno(1) $$

Канонический импульс:

$$ p_i = \frac{\partial L}{\partial \frac{dx^i}{dt}} = m \gamma_{i j} \left( \frac{dx^j}{dt} - V^j \right) \eqno(2) $$

Классический Гамильтониан:

$$ H = p_i \frac{dx^i}{dt} - L = \frac{1}{2m} \gamma^{i j} p_i p_j + p_i V^i \eqno(3) $$

Для того чтобы получить Гамильтониан с Ньютоновским гравитационным потенциалом $\varphi$ осуществляем следующее каноническое преобразование:

$$ p_i = P_i - m \gamma_{i j} V^j \eqno(4) $$

Новый Гамильтониан:

$$ H = \frac{1}{2m} \gamma^{i j} P_i P_j + m \varphi, \qquad \varphi = - \frac{1}{2} \gamma_{i j} V^i V^j \eqno(5) $$

Каноническое преобразование сохраняет скобку Пуассона:

$$ \left\{ p_i, p_j \right\} = 0, \qquad \left\{ P_i, P_j \right\} = 0 \eqno(6) $$

Для этого необходимо, чтобы поле скоростей $V^{i}$ было безвихревым:

$$ \frac{\partial V_i}{\partial x^j} - \frac{\partial V_j}{\partial x^i} = 0. \eqno(7) $$

Релятивистский аналог Лагранжиана (1) имеет вид

$$ L = - m \sqrt{ 1 - \gamma_{i j} \left( \frac{dx^i}{dt} - V^i \right) \left( \frac{dx^j}{dt} - V^j \right) } \eqno(8) $$

Он соответствует движению по геодезической в следующем гравитационном поле:

$$ ds^2 = dt^2 - \gamma_{i j} \left( dx^i - V^i dt \right) \left( dx^j - V^j dt \right) \eqno(9) $$

Действуя в обратном порядке из метрики (9) получаем предельный переход в классическую Ньютоновскую физику с Гамильтонианом (5) и Ньютоновским гравитационным потенциалом $\varphi$, который определён только если поле скоростей $V^i$ безвихревое.

Теперь подставляем метрику (9) в уравнения ОТО и обнаруживаем, что уравнения ОТО не содержат вторую производную по времени $t$ от поля скоростей $V^i$ (содержат первую производную по $t$, а так же первые и вторые производные по $x^i$). А раз нет второй производной по времени, то в линейном приближении из уравнений ОТО невозможно получить волнового уравнения (Д'Аламбера) для поля скоростей $V^i$.

Поле скоростей $V^i$ - это неволновые компоненты гравитационного поля. Волновыми компонентами гравитационного поля являются $\gamma_{i j}$ (да и то не все вместе).

Теперь рассмотрим следующее точное решение:

SergeyGubanov в сообщении #1016823 писал(а):

Можно переписать решение Шварцшильда в движущеся цилиндрической системе координат:

$$ ds^2 = c^2 dt^2 - \left(d\rho -V^{\rho} dt \right)^2 - \rho^2 d\varphi^2 - \left( dz - V^z dt \right)^2, $$

$$ V^{\rho} = \frac{\rho A}{ \left( \rho^2 + (z - z_0(t))^2 \right)^{3/4} }, $$

$$ V^z = \frac{(z - z_0(t)) A}{\left( \rho^2 + (z - z_0(t))^2 \right)^{3/4}} + \frac{dz_0(t)}{dt}, $$

$$ A = \pm \sqrt{2 k M}. $$

В этой системе координат чёрная/белая дыра движется по траектории $\rho=0, \; \varphi = 0, \; z = z_0(t)$.

Функция $z_0(t)$ произвольная, но гравитационных волн здесь нет. В предельном переходе это соответствует Ньютоновскому гравитационному потенциалу мгновенно (а не волнообразно) изменяющемуся во всей Вселенной вслед за движущимся источником.

[schekn]

Пока тут затишье, хотелось бы прояснить некоторые моменты (более простые).
Итак, уравнения ОТО записываются для слабых полей при фиксированной
фоновой геометрии (Минковского) в гармонических координатах согласно Вайнбергу таким образом:
(У Вайнберга в главе 10. (Гравитация и Космология) (10.1.10))

$$\Delta^2{h_{\mu\nu}}=-16{\pi}G(T_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}T) $$

$$g_{\mu\nu}=h_{\mu\nu}+\eta_{\mu\nu} $$

Где $\eta_{\mu\nu}$ метрика Минковского, $\Delta^2$ - Даламбертиан.
Гармонические координаты дают 4 дополнительных условия: $g^{\mu\nu}\Gamma_{\mu\nu}^{\lambda}=0 $

Что будет если:
1. Отказаться от гармонических условий
2. Отказаться от предположения слабого поля
3. отказаться от фиксированной фоновой метрики
4. отказаться вообще от фоновой метрики

Мои предположения:

1. Отказ от гармонических координат приведет к более сложному виду уравнений
для гравитаицонной волны . У Вайнберга (10.1.4).Это ведет к усложнению при численных расчетах.

2. Отказ от слабого поля ведет к нелинейным уравнениям.

3. Отказ от фиксированной фоновой метрики ведет к неоднозначности в решениях уравнений.
В частности неоднозначной величины потерь массы на излучение в виде гравитационной
энергии при слиянии черных дыр.

4. Отказ от фоновой метрики полностью ведет к работе с псевдотензором
энергии-импульса гравитационного поля и к разным результатам для таких расчетов и даже
к зависимости от системы координат.
В связи с этим хотелось бы понять, какие условия необходимы для работы с псевдотензором ,
уже как с тензором энергии гравитационного поля. Статья Грищука меня как-то сбила с толку

А также , что значит ввести в последнем четвертом случае понятия гравитон, если мы остаемся только
с обычной римановой геометрией?

Кто-нибудь разбирался с этими вопросами?

[SergeyGubanov]

schekn в сообщении #1187289 писал(а):

Пока тут затишье, хотелось бы прояснить некоторые моменты (более простые).

На самом деле есть ещё более простые моменты...

В ОТО гравитационные волны в вакууме должны удовлетворять системе уравнений:

$$ G_{\mu \nu} = 0 \eqno(1) $$

Можно сделать формальное разложение в ряд по некоторому параметру малости, дескать ищем слабые волны:

$$ G_{\mu \nu} = G^{(1)}_{\mu \nu} + G^{(2)}_{\mu \nu} + G^{(3)}_{\mu \nu} + \ldots \eqno(2) $$

Каждый последующий член разложения много меньше предыдущего:

$$ |G^{(2)}_{\mu \nu}| \ll |G^{(1)}_{\mu \nu}|, \quad |G^{(3)}_{\mu \nu}| \ll |G^{(2)}_{\mu \nu}|, \quad \ldots \eqno(3) $$

Тогда система уравнений (1) запишется так:

$$ G^{(1)}_{\mu \nu} + G^{(2)}_{\mu \nu} + G^{(3)}_{\mu \nu} + \ldots = 0 \eqno(4) $$

В литературе можно встретить наивный способ решения системы уравнений (4) заключающийся в следующем: члены более высоких порядков отбрасываются в силу (3), оставляется только член первого порядка, таким образом из (1) с учётом (3) наивно получается следующая система уравнений:

$$ G^{(1)}_{\mu \nu} = 0 \eqno(5) $$

Однако, если $G^{(1)}_{\mu \nu} = 0$, то это мгновенно вступает в противоречие с исходным предположением (3), так как $G^{(2)}_{\mu \nu} \ne 0$, $G^{(3)}_{\mu \nu} \ne 0$ и т.д.. То есть наивный способ решения, широко распространённый в литературе, мягко говоря вызывает лёгкое недоумение... Я писал об этом в теме Беда со слабой плоской гравитационной волной.

[warlock66613]

SergeyGubanov в сообщении #1187338 писал(а):

Можно сделать формальное разложение в ряд по некоторому параметру малости, дескать ищем слабые волны:

$$ G_{\mu \nu} = G^{(1)}_{\mu \nu} + G^{(2)}_{\mu \nu} + G^{(3)}_{\mu \nu} + \ldots \eqno(2) $$

Трудно поверить, что так кто-то делает всерьёз: ясно, что тензор Эйнштейна никак не может являться величиной, которую мы ищем.

[SergeyGubanov]

warlock66613, тензор Эйнштейна $G_{\mu \nu}$ не ищут, он однозначно вычисляется по метрическому тензору $g_{\mu \nu}$, уравнения ОТО в вакууме записываются следующим образом:

$$ G_{\mu \nu} = 0. $$

Это система уравнений в частных производных второго порядка на метрический тензор $g_{\mu \nu}$.

[warlock66613]

SergeyGubanov в сообщении #1187348 писал(а):

он однозначно вычисляется по метрическому тензору $g_{\mu \nu}$

Вот именно. Но не наоборот. Поэтому неясно какой вообще может быть смысл в разложении по малому параметру тензора Эйнштейна, когда нас интересует метрический тензор (ну или тензор Римана, если угодно).

[SergeyGubanov]

warlock66613, сначала раскладывается метрический тензор:

$$g_{\mu \nu} = g^{(0)}_{\mu \nu} + g^{(1)}_{\mu \nu}$$

Это разложение влечёт за собой разложение тензора Эйнштейна.

[warlock66613]

Ну и условие тогда надо накладывать на $g_{\mu \nu}$:

$$|g_{\mu \nu}^{(1)}| \ll |g_{\mu \nu}^{(0)}|,$$

а на тензор Эйнштейна с какой стати?

[SergeyGubanov]

warlock66613 в сообщении #1187362 писал(а):

а на тензор Эйнштейна с какой стати?

Как раз для того чтобы потом отбросить от тензора Эйнштейна члены высших порядков, оставить только линейный порядок. В этом смысл наивного подхода, который мягко говоря вызывает лёгкое недоумение.


Задачу можно упростить, чтобы стало ещё больше понятно. Пусть есть числовая функция $G(g)$ от одной числовой переменной $g$. Мы решаем уравнение

$$ G(g) = 0 \eqno(1) $$

Нам известно, что в точке $g^{(0)}$ это уравнение удовлетворяется

$$ G(g^{(0)}) = 0 \eqno(2) $$

Теперь ищем другое решение, но в малой окрестности исходной точки $g^{(0)}$, пишем:

$$ g = g^{(0)} + g^{(1)}, \quad |g^{(1)}| \ll |g^{(0)}|. \eqno(3) $$

$$ G(g^{(0)} + g^{(1)}) = 0 + \frac{\partial G}{\partial g} g^{(1)} + \frac{1}{2!} \frac{\partial^2 G}{\partial g^2} \left( g^{(1)} \right)^2 + \frac{1}{3!} \frac{\partial^3 G}{\partial g^3} \left( g^{(1)} \right)^3 + \ldots \eqno(4) $$

Подставляем (4) в (1), получаем уравнение:

$$ \frac{\partial G}{\partial g} g^{(1)} + \frac{1}{2!} \frac{\partial^2 G}{\partial g^2} \left( g^{(1)} \right)^2 + \frac{1}{3!} \frac{\partial^3 G}{\partial g^3} \left( g^{(1)} \right)^3 + \ldots = 0 \eqno(5) $$

[warlock66613]

SergeyGubanov в сообщении #1187394 писал(а):

Как раз для того чтобы потом отбросить от тензора Эйнштейна члены высших порядков, оставить только линейный порядок.

Для этого совсем не обязательно, чтобы отбрасываемые члены были малы по сравнению с оставляемым. Достаточно их просто оберазмерить и потребовать, чтобы они были достаточно малы по абсолютной величине.