Возможно, надо добавить, что преобразования не сингулярны и образуют группу. Из этого автоматом следует, что существует предельная скорость. В частном случае, когда эта скорость бесконечна, получаются преобразования Галлилея. В какой книжке этот вывод написан я, честно говоря, не знаю. Обычно это передается в апокрифах.
Книгу, действительно, как-то сложно вспомнить. "Апокриф" никому интересен не будет. Могу саму логику набросать.
Традиционно берём две системы

,

. Система

движется относительно третьей оси системы

со скоростью

. Оси систем и начала координат в начальный момент времени совпадают. Абсциссу и ординату оставляем в покое (выше приводил цитату, в которой говорится на этот счёт, да и другие соображения приводились). Пишем общее линейное выражение аппликаты и времени для обеих систем:

Рассмотрим движение начала координат системы

в системе

, т.е. если матричное уравнение расписать как обычные уравнения, то в первом нужно положить

:

Теперь рассмотрим движение начала координат системы

в системе

(теперь нужно в обоих уравнениях положить

). При этом делим одно уравнение на другое:

В последнем переходе учли полученное раньше соотношение.
Так что матрица преобразования пока что такая:

Теперь берём две такие матрицы для разных скоростей

и

и перемножаем их. Должна получиться матрица такой же структуры, т.е. с одинаковыми диагональными элементами. Если это всё проделать и потребовать равенства диагональных элементов, то получится

Понятно, что такая дробь представляет собой константу (приравнены функции разных аргументов). Обозначаем её

. Убиваем в матрице преобразования функцию

- получаем

Определитель данной матрицы

. Так как должен существовать обратный элемент группы, то этот определитель должен быть отличен от нуля. Можно даже утверждать, что он положителен. Действительно, в случае малых скоростей он точно положителен. Если относительная скорость систем не является малой, то преобразования Лоренца в таком случае можно получить, последовательно проделывая преобразования с достаточно малым значением

. Определитель преобразования с произвольной скоростью будет произведением заведомо положительных определителей, т.е. положительной величиной. Положительность определителя приводит к тому, что при

возникает предельная скорость:

Дальше, учитывая, что

(как говорится, "легко показать, что..."

), находим обратную матрицу преобразования (достаточно поменять знак у

в матрице). С другой стороны, та же матрица находится стандартным методом из линейной алгебры - приравниваем результат, находим, что

Остаётся определиться со знаком

. Если взять просто нуль - получится преобразование Галилея. Если взять положительную величину - получится вращение, перемешивающее аппликату и время. Поэтому берём значение отрицательное, полагая по размерности

Вот такой вывод. Откуда он стал известен мне - если кому интересно - могу сказать.