Преобразование Лоренца и Теории Энштейна.

[realeugene]

rustot в сообщении #1187252 писал(а):

Только из опыта,

То есть, этот опытный факт всё-таки требует пополнения трёх написанных выше минимальных постулатов СТО ещё одним, о предельности именно скорости света?

[EUgeneUS]

realeugene

Может быть я ошибаюсь, но исторически упарились строить "удовлетворительное изложение механики эфира" и экспериментально искать свойства эфира, отличные от способности переносить ЭМ-волну. Что интересно, с развитием ОТО термин "эфир" предлагали вернуть (чуть ли ни сам Эйнштейн) применительно к физическому пространству.

[rustot]

realeugene в сообщении #1187253 писал(а):

То есть, этот опытный факт всё-таки требует пополнения трёх написанных выше минимальных постулатов СТО ещё одним, о предельности именно скорости света?

Нет, только о существовании такой предельной скорости, а существование чего-либо на практике распространяющегося именно с этой скоростью для вывода теории не требуется

Предположение о верности принципа относительности (практическая невозможность опытным путем определить свое "абсолютное" инерциальное движение а не движение относительно конкретного объекта) плюс предположение что мгновенные взаимодействия на расстоянии (одновременность события-причины и события-сдедствия происходящих не в одной и той же точке) принципиально невозможны, а не просто ограничены текущим техническим уровнем развития - все что нужно для построения теории

Мысленное конструирование установки для детектирования предельной скорости взаимодействий приводит к выводу что эта предельная скорость должна быть инвариантной, иначе такая установка станет прибором для измерения своего абсолютного движения, в нарушение предположения о верности принципа относительности

[пианист]

DimaM в сообщении #1187110 писал(а):

Уравнения Максвелла инвариантны только относительно линейных преобразований координат

Еще конформные есть.

[EUgeneUS]

realeugene в сообщении #1187253 писал(а):

То есть, этот опытный факт всё-таки требует пополнения трёх написанных выше минимальных постулатов СТО ещё одним, о предельности именно скорости света?

ИМХО, бритвы Оккама достаточно.

[realeugene]

rustot в сообщении #1187256 писал(а):

плюс предположение что мгновенные взаимодействия на расстоянии (одновременность события-причины и события-сдедствия происходящих не в одной и той же точке) принципиально невозможны, а не просто ограничены текущим техническим уровнем развития - все что нужно для построения теории

А это нужно для построения теории, полностью описывающей наблюдения?

Спор о количестве постулатов СТО стал слишком абстрактным. Нужно смотреть на написанный на бумаге подробный вывод из них всего остального, чтобы заметить или не заметить какие-либо дополнительные принимаемые неявно в ходе этого вывода предположения.

[Someone]

Вообще говоря, в СТО есть только инвариантная скорость, а её "предельность" является следствием принципа причинности. Если мы принципом причинности пожертвуем, то из СТО можно вывести только вот что: если частица в какой-то момент двигалась с досветовой скоростью, то она и в прошлом всегда двигалась с досветовой скоростью, и в будущем всегда будет двигаться с досветовой скоростью; если частица в какой-то момент двигалась со сверхсветовой скоростью, то она и ранее всегда двигалась со сверхсветовой скоростью, и впоследствии всегда будет двигаться со сверхсветовой скоростью. Слово "всегда" здесь надо понимать как "всё время существования". Сверхсветовые частицы (тахионы) одно время исследовались теоретически.

Вообще, этот вопрос здесь уже обсуждался.

[std137]

Dmitriy40 в сообщении #1187198 писал(а):

Скорость гравитационных волн не выше $c$, это считайте уже подтверждено.

Не удивлен. Особенно, как уже сказал, изучая иное поле в рамках воздействия поля на поле....
Причем тут инвариантность? Тогда какой в предельной скорости смысл в преобразованиях? Варианты проверки иначе как математика? И мысленные опыты...

[rustot]

realeugene в сообщении #1187264 писал(а):

А это нужно для построения теории, полностью описывающей наблюдения?

Наблюдений за поведением частиц при попытке разогнать их все сильнее и сильнее было бы достаточно для ее вывода, свет не является необходимым

Те данные которые были получены исторически первыми не обязаны только на этом основании быть постулатами теории, историческая последовательность их получения по большей части случайна. Теория может быть сформулирована впервые в 19 веке а постулаты сформулированы на данных полученных в 21 веке, если в таком виде она получается логичнее

[Dmitriy40]

std137 в сообщении #1187277 писал(а):

Dmitriy40 в сообщении #1187198 писал(а):

Скорость гравитационных волн не выше $c$, это считайте уже подтверждено.

Не удивлен. Особенно, как уже сказал, изучая иное поле в рамках воздействия поля на поле....
Причем тут инвариантность? Тогда какой в предельной скорости смысл в преобразованиях? Варианты проверки иначе как математика? И мысленные опыты...

Тогда приведите реальный опыт/эксперимент, показывающий превышение чем-либо скорости $c$? Хоть гравитационными волнами, хоть электромагнитными, хоть частицами?
А пока такого опыта привести не можете - пользуйтесь той теорией, которая корректно описывает все известные опыты - т.е. ОТО. И уже из неё следуют ограничения на скорость гравитационных волн. Ваши фантазии должны подтверждаться опытом, иначе грош им цена.

Изначально Вы спрашивали о предельности скорости $c$ и откуда она в преобразованиях Лоренца. На это Вам ответили, что из постулатов (причём не "от фонаря", а тоже как обобщение огромного количества разнообразных экспериментов) и опытов. Не потому что часы синхронизировали именно световыми импульсами, а потому что постулатам отвечают лишь конкретно такие формулы (Лоренца) и никакие другие. А уже из них следует и предельность скорости $c$. И единственность такой предельной и инвариантной скорости. А раз свет тоже распространяется инвариантно (определено на опыте! причём даже неважно с какой именно скоростью, главное - инвариантно), то значит его скорость и предельна и равна $c$.
PS. Кажется это уже 3-я или даже 4-я попытка объяснения Вам.

[Metford]

amon в сообщении #1187209 писал(а):

Возможно, надо добавить, что преобразования не сингулярны и образуют группу. Из этого автоматом следует, что существует предельная скорость. В частном случае, когда эта скорость бесконечна, получаются преобразования Галлилея. В какой книжке этот вывод написан я, честно говоря, не знаю. Обычно это передается в апокрифах.

Книгу, действительно, как-то сложно вспомнить. "Апокриф" никому интересен не будет. Могу саму логику набросать.

Традиционно берём две системы $K$, $K'$. Система $K'$ движется относительно третьей оси системы $K$ со скоростью $\vec{v}=\{0,0,v\}$. Оси систем и начала координат в начальный момент времени совпадают. Абсциссу и ординату оставляем в покое (выше приводил цитату, в которой говорится на этот счёт, да и другие соображения приводились). Пишем общее линейное выражение аппликаты и времени для обеих систем:

$$\begin{pmatrix} z' \\ ct' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \alpha(v) & \beta(v) \\ \gamma(v) & \delta(v) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} z \\ ct \end{pmatrix}.$$

Рассмотрим движение начала координат системы $K'$ в системе $K$, т.е. если матричное уравнение расписать как обычные уравнения, то в первом нужно положить $z'=0$:

$$v=\frac{z}{t}=-\frac{c\beta(v)}{\alpha(v)}.$$

Теперь рассмотрим движение начала координат системы $K$ в системе $K'$ (теперь нужно в обоих уравнениях положить $z=0$). При этом делим одно уравнение на другое:

$$-\frac{v}{c}=\frac{z'}{ct'}=\frac{\beta(v)}{\delta(v)}\Rightarrow\delta(v)=\alpha(v).$$

В последнем переходе учли полученное раньше соотношение.

Так что матрица преобразования пока что такая:

$$\begin{pmatrix} \alpha(v) & -\frac{v}{c}\alpha(v) \\ \gamma(v) & \alpha(v) \end{pmatrix}.$$

Теперь берём две такие матрицы для разных скоростей $v_1$ и $v_2$ и перемножаем их. Должна получиться матрица такой же структуры, т.е. с одинаковыми диагональными элементами. Если это всё проделать и потребовать равенства диагональных элементов, то получится

$$\frac{v_2\cdot\alpha(v_2)}{\gamma(v_2)}=\frac{v_1\cdot\alpha(v_1)}{\gamma(v_1)}.$$

Понятно, что такая дробь представляет собой константу (приравнены функции разных аргументов). Обозначаем её $\frac{1}{kc}$. Убиваем в матрице преобразования функцию $\gamma(v)$ - получаем

$$\alpha(v)\begin{pmatrix} 1& -\frac{v}{c} \\ kcv & 1 \end{pmatrix}.$$

Определитель данной матрицы $\alpha^2(v)\cdot(1+kv^2)$. Так как должен существовать обратный элемент группы, то этот определитель должен быть отличен от нуля. Можно даже утверждать, что он положителен. Действительно, в случае малых скоростей он точно положителен. Если относительная скорость систем не является малой, то преобразования Лоренца в таком случае можно получить, последовательно проделывая преобразования с достаточно малым значением $v$. Определитель преобразования с произвольной скоростью будет произведением заведомо положительных определителей, т.е. положительной величиной. Положительность определителя приводит к тому, что при $k<0$ возникает предельная скорость:

$$\alpha^2(v)\cdot(1-|k|v^2)>0\Rightarrow v^2<\frac{1}{|k|}.$$

Дальше, учитывая, что $\alpha(v)=\alpha(-v)$ (как говорится, "легко показать, что..." ), находим обратную матрицу преобразования (достаточно поменять знак у $v$ в матрице). С другой стороны, та же матрица находится стандартным методом из линейной алгебры - приравниваем результат, находим, что

$$\alpha(v)=\frac{1}{\sqrt{1+kv^2}}.$$

Остаётся определиться со знаком $k$. Если взять просто нуль - получится преобразование Галилея. Если взять положительную величину - получится вращение, перемешивающее аппликату и время. Поэтому берём значение отрицательное, полагая по размерности $k=-\frac{1}{c^2}.$

Вот такой вывод. Откуда он стал известен мне - если кому интересно - могу сказать.

[amon]

Metford, спасибо!
Я то самому пришлось бы вспоминать. Мелкое замечание. Вы сразу написали, что преобразование линейно. Можно в этом месте тоже слегка поизгаляться. В инерциальных системах равномерное прямолинейное движение остается таковым при переходе к другой СО. Значит наше преобразование переводит прямую в прямую. Кроме линейных преобразований таким свойством обладают также упоминавшиеся дробно-линейные (конформные) преобразования $x_\alpha=\frac{A_\alpha(x)}{B(x)}$, где $A$ и $B$ - линейные неоднородные формы от $x$. Что бы исключить такие преобразования, видимо, надо потребовать несингулярность.

[fred1996]

(Оффтоп)

Теория Энштейна - сильно.

Теория Эйнштейна - СТО - движение одного камня в изолированных ИСО
Теория N-штейна - ОТО - движение N камней

Делаем вывод, Эйнштейн не человек, а проект Пуанкаре и Ко.

[Metford]

amon в сообщении #1187382 писал(а):

Что бы исключить такие преобразования, видимо, надо потребовать несингулярность.

Да, Вы правы. Эту деталь я как-то пропустил. Спасибо за дополнение!

[rustot]

amon в сообщении #1187382 писал(а):

видимо, надо потребовать несингулярность

можно потребовать однородности времени например, чтобы мигающая с постоянным периодом лампочка мигала с постоянным периодом и относительно других исо

и вывод по моему становится резко проще если преобразовывать для двух систем отсчета со встречными осями, то есть с полной взаимной симметрией, тогда можно потребовать сразу равенства прямой и обратной матриц, что сразу дает всего два коэффициента $k_i(v)$

$\begin{bmatrix} k_1 & k_2 \\\\ \frac{1-k_1^2}{k_2} & -k_1 \end{bmatrix}$

один из которых сокращается условием скорости движения начала другой системы отсчета $k_2 = -v k_1$