Задача о двух детях, запутался

[wrest]

Википедия говорит нам

Цитата:

Парадокс зачастую вызывает множество противоречий. Много людей являются ярыми сторонниками каждого из вариантов ответа, при этом они отрицают и иногда презирают противоположную точку зрения.

Ну то есть, ждем начало флейма :)

Подробно и доходчиво разобрано опять же в википедии: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0 ... 0%BA%D0%B8

[mihaild]

DmitriyMalakhov в сообщении #1184720 писал(а):

А почему в рассуждениях Коля младший / Коля старший вероятность получается 0.5? Элементарные события Коля - брат/ Коля - сестра/брат - Коля/ сестра - Коля

Вы тут два раза посчитали пары "Коля - Коля".

[atlakatl]

wrest
В Википедии другая задача:

Цитата:

У мистера Джонса двое детей. Старший ребёнок — девочка. Какова вероятность того, что оба ребёнка — девочки?
У мистера Смита двое детей. Хотя бы один ребёнок — мальчик. Какова вероятность того, что оба ребёнка — мальчики?

Кстати, почему ТС не отвечает на мой тезис, что его задачи одинаковы?

[mihaild]

atlakatl в сообщении #1184811 писал(а):

Кстати, почему ТС не отвечает на мой тезис, что его задачи одинаковы?

Я не ТС, но попробую ответить. Задачи разные. Пусть $p$ - вероятность того, что ребенок - мальчик по имени Коля, $\frac{1}{2} - p$ - мальчик с другим именем, $A$ - событие "в семье два мальчика", $B$ - "в семье есть мальчик по имени Коля".
Тогда $P(A|B) = \frac{\frac{1}{4} - \left(\frac{1}{2} - p\right)^2}{p^2 + 2p(1-p)} = 1 - \frac{1}{2 - p}$, что зависит от $p$.
(в частности, при $p \to 0$ получаем вероятность, стремящуюся $\frac{1}{2}$ - т.к. у нас в семье с двумя мальчиками вероятность найти Колю почти в два раза больше, чем в семье с одним)

[Лукомор]

DmitriyMalakhov в сообщении #1184720 писал(а):

А почему в рассуждениях Коля младший / Коля старший вероятность получается 0.5? Элементарные события Коля - брат/ Коля - сестра/брат - Коля/ сестра - Коля. Вроде они равновероятны. Получаем 0.5, что второй мальчик( Коля - брат / брат - Коля) . В чем подвох?

Никакого подвоха!

Давайте сначала упростим задачу.
Не будем исключать семьи, где две девочки.
Старший ребенок в семье мальчик или девочка с вероятностью пополам.
Младший ребенок -мальчик или девочка, с вероятностью пополам.
Эти события независимы.
То-есть: для абсолютно любого ребенка. Не важно: для мальчика или для девочки, для старшего или для младшего, для Коли или для Рабиндраната, - для любого ребенка вероятность того, что у него есть братик и вероятность того, что у него есть сестренка равна 1/2.
Это потому, что они маленькие, и еще не изучали теорию вероятностей.

Теперь, для родителей (которые изучали теорию вероятностей опытным путем, и из-за этого у них два ребенка) - вероятности перемножаются.
Поэтому, вероятность того, что у них два сына равна $1/4$.
Вероятность того, что у них две дочки - тоже $1/4$.
А вот вероятность того, что у них сын и дочка равна $1/2$.
Парадокс?!
Нет, не парадокс, а формула сложения вероятностей!
Потому что с вероятностью $1/4$ - старший будет мальчик, а девочка - младшенькая, и с точно такой же вероятностью $1/4$ будет все точно так же, но наоборот!
А в сумме - в два раза больше.
То-есть братик есть у любого мальчика, пусть даже и у Коли, с вероятностью $1/2$, а вот семей, где есть два сына - всего $1/4$.

Теперь, вернемся к нашей задаче, и из этого множества семей откинем ту $1/4$ семей, где две дочки.
Останется $3/4$ семей, где есть хотя бы один мальчик. Это вероятность события, что в семье есть хотя бы один мальчик.
На что это повлияет, а на что не повлияет?
Вероятность того, что в семье два сына увеличится с $1/4$ до $1/3$.
Вероятность того, что в семье есть и сын и дочка увеличится с $1/2$ до $2/3$.
Это условные вероятности, вычисленные при дополнительном условии, что "в семье есть хотя бы один мальчик", по формуле условной вероятности.
Теперь, что там у нас с братиками-сестренками?
По-прежнему у любого мальчика, даже у Коли, с вероятностью $1/2$ будет братик, и с вероятностью $1/2$ будет сестричка, поскольку наше дополнительное условие никак не повлияло на это соотношение.
Но!
Условная вероятность того, что у любой девочки, даже у Маши, есть братик, вычисленная "при дополнительном условии,
что в семье есть мальчик", равняется единице! Потому что абсолютно все семьи, в которых у девочки есть сестричка, это
дополнительное условие исключает из вероятностного пространства.
Вот, собственно, весь расклад.
И даже не понадобилось вызывать дух преподобного Томаса Байеса, чтобы разобраться в этом вопросе.

[DmitriyMalakhov]

atlakatl, извиняюсь, что не ответил, задача может и одна и та же, но вот ответы к двум формулировкам получаются разные.

С решением mihaild, не совсем согласен. Хотябы потому, что в предельном случае, если у нас только есть Коли (вероятность имени мальчика Коли равна 1) по вашей формуле получается вероятность двух мальчиков 0, а должно быть 1/3.
В предыдущем посте я посчитал вероятность через байеса и получается формула Вероятность второго мальчика, при условии, что в семье есть Коля (вероятность имени коля р)
$ = \frac {(1 - (1-p)^2)} {(2p + 1 - (1-p)^2)}$ и если упростить,то получим$ \frac {(2 - p)} {(4 - p)}.$

[Лукомор]

DmitriyMalakhov в сообщении #1184667 писал(а):

В чем подвох не пойму? Или я правильно рассуждаю. Я понимаю, что в первом случае у нас событие мм одно (мальчики не различимы), а во втором это событие распадается на два (так как появляется различие - старший / младший).

Если
событие не распадается на два, (то есть нет различия старший ребенок/младший ребенок),
то
и в первом случае у нас всего два события: мм и мж.

[Лукомор]

DmitriyMalakhov в сообщении #1184667 писал(а):

Если вам сказали что один из двух детей мальчик, то какова вероятность, что другой ребенок девочка.
Ответ вероятность $2/3$, что вторая девочка при условии, что один из детей мальчик.

А какова, в этом случае, вероятность, что другой ребенок - мальчик?

[wrest]

atlakatl в сообщении #1184811 писал(а):

В Википедии другая задача:

По сути - та же. Разные формулировки означают разные условия отбора, то есть условий в условной вероятности.
Мы или делаем равновероятными все семьи с двумя детьми (4 варианта), или только те, где по крайней мере один ребенок -- мальчик (3 варианта). В зависимости от этого и получается потом ответ кратный 1/4 или кратный 1/3

[Mikhail_K]

Помочь смириться с этим парадоксом может следующий игрушечный пример.
Пусть существует только два мужских имени - Коля и Миша, и только два женских - Оля и Маша.
Тогда семьи с двумя детьми бывают следующие (все пункты равновероятны):

ММ

1 Коля Миша
2 Коля Миша
3 Миша Коля
4 Миша Коля

МЖ

5 Коля Оля
6 Коля Маша
7 Миша Оля
8 Миша Маша

ЖМ

9 Оля Коля
10 Оля Миша
11 Маша Коля
12 Маша Миша

ЖЖ

13 Оля Маша
14 Оля Маша
15 Маша Оля
16 Маша Оля

В каждом пункте вначале пишем младшего ребёнка, затем старшего.
В группах ММ и ЖЖ некоторые пункты дублируются для того, чтобы соблюсти равновероятность всех пунктов. Ясно, что вероятность каждого из четырёх составов семей (ММ, МЖ, ЖМ и ЖЖ) является равновероятной (при отсутствии априорных условий). Предполагается также, что дети в семье не могут иметь одинаковые имена.

Теперь смотрите.
Пусть дано, что один из детей мальчик.
Этому условию удовлетворяют пункты 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, всего 12 равновероятных пунктов.
В 4 из них (1,2,3,4) второй ребёнок мальчик, в оставшихся 8 пунктах (5,6,7,8,9,10,11,12) второй ребёнок девочка.
Вероятность того, что второй ребёнок мальчик, получается 4/12=1/3; вероятность того, что второй ребёнок девочка, получается 8/12=2/3.

Пусть теперь дано, что один из мальчиков - Коля.
Этому условию удовлетворяют пункты 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, всего 8 равновероятных пунктов.
В 4 из них (1,2,3,4) второй ребёнок мальчик, в оставшихся 4 пунктах (5,6,9,11) второй ребёнок девочка.
Вероятность того, что второй ребёнок мальчик, получается 4/8=1/2; вероятность того, что второй ребёнок девочка, получается 4/8=1/2.

Конечно же, этот игрушечный пример ничего не доказывает, но помогает смириться с парадоксом.

[Лукомор]

Mikhail_K в сообщении #1184936 писал(а):

Конечно же, этот игрушечный пример ничего не доказывает, но помогает смириться с парадоксом.

А в чем заключается парадокс?!

[Mikhail_K]

В том, что задачи на первый взгляд кажутся полностью совпадающими, но имеют различные ответы.

atlakatl в сообщении #1184701 писал(а):

Задача одна. Всё остальное словоблудие.

[Лукомор]

Mikhail_K в сообщении #1184936 писал(а):

Вероятность того, что второй ребёнок мальчик, получается 4/12=1/3;

Но только для половины мальчиков.
Для второй половины мальчиков - вероятность того, что второй ребенок мальчик - единица, не так ли?!

[arseniiv]

(Оффтоп)

У семи нянек дитя без глаза.

[gris]

Лукомор в сообщении #473651 писал(а):

<Э>та задачка всплывает и мусолится на разных околоматематических форумах периодически, с интервалом примерно в три года.
Навскидку, нашёл обсуждения 2002, конца 2004, 2008 и 2011 года...
И каждый раз возникают многостраничные споры...

А Вы правы, однако. Наступил $2017=2011+3+3$. Из-за пропуска одного периода интенсивность споров может возрасти