Комплексная логика А. Зиновьева

[SAN_666]

Интересовался чем именно?
Задам вам вопрос по-другому: Что вас настораживает или непонячтно?

[Sonic86]

Мне очень интересен этот человек, поэтому я нахожу нужным узнать, каков статус его логической теории у математиков. Тем более, что я считаю, что могу отличить нечто сколь-нибудь стоящее от лажи (лажи от нелажи). Я считаю, что комплексная логика Зиновьева заслуживает хотя бы какой-то оценки. Настораживает то, что эта оценка отсутствует, хотя, например, на форуме сидит алеф-нуль ферматистов и пишут они по алеф-один страниц, качать замучаешься. А про Зиновьева никто ничесго толком не сказал: другая логическая теория и ладно.

[SAN_666]

С точки зрения госнауки Зиновьев - математик.
С точки зрения профи - нет.

[Sonic86]

Маленький кусочек из логической физики.
Под логической физикой понимается раздел логики, в котором исследуется терминология, относящаяся к пространству, времени, движению, причинности и т. д. … Самый любопытный, пожалуй результат логического анализа языка в рамках логической физики – это возможность доказательства или опровержения ряда утверждений, которые на первый взгляд представляются чисто эмпирическими или физическими гипотезами. Таковы, например, доказательства существования минимальной протяженности (длины и длительности), максимальной и минимальной скорости и т.д.. Доказательство не предполагает никаких внелогических гипотез и опирается исключительно на определение выражений «минимальная протяженность», «максимальная скорость» и т.д. в системе терминологии логической физики.
Для абстрактных предметов принимаются допущения, согласно которым протяженность предметов может быть равна нулю, а для каждого интервала между предметами, который больше нуля, имеется другой интервал, который меньше первого и больше нуля. … Для эмпирических предметов дело обстоит иначе. Здесь имеет место следующее: индивиды a и b либо соприкасаются, либо нет. Если соприкасаются, то между ними нет никаких индивидов и невозможно поместить никакой индивид. Если же неверно, что они соприкасаются, то надо учесть следующее.
Выражение «интервал $(a,b,\alpha)$» уместно лишь при том условии, что $a>\alpha b$ (читается: a больше b по способу установления порядка $\alpha$). Но в таком случае исключается $\sim(a>\alpha b) \wedge \sim(b>\alpha a)$, так как ($\vdash$ - знак «логически выводимо», $\sim$ - внешнее отрицание, косая черта - внутреннее отрицание)
$\vdash(a>\alpha b) \to (a>\alpha b) \vee (b>\alpha a)$
$(a>\alpha b) \vee (b>\alpha a) \to \sim(\sim(a>\alpha b) \wedge \sim(b>\alpha a))$
$\vdash(a>\alpha b) \to \sim(\sim(a>\alpha b) \wedge \sim(b>\alpha a))$
Исключается также $(b>\alpha I) \wedge (I>\alpha a)$, так как
$\vdash(b>\alpha I) \wedge (I>\alpha a) \to (b>\alpha a)$
$\vdash(b>\alpha a) \to \sim(a>\alpha b)$
$\vdash((b>\alpha I) \wedge (I>\alpha a) \to (b>\alpha a)) \to (\sim(b>\alpha a) \to \sim((b>\alpha I) \wedge (I>\alpha a)))$
$\vdash \sim(b>\alpha a) \to \sim((b>\alpha I) \wedge (I>\alpha a))$
$\vdash (a>\alpha b) \to \sim((b>\alpha I) \wedge (I>\alpha a))$
В результате получим, что при условии $a>\alpha b$ (M – модальность «возможен»)
$\vdash \sim(a ||\alpha b) \leftrightarrow (\sim(a>\alpha b) \wedge \sim(b>\alpha a)) \vee \sim(\neg M I)((a>\alpha I) \wedge (I>\alpha b) \vee ((b>\alpha I) \wedge (I>\alpha a)))$
$\vdash \sim(\sim(a>\alpha b) \wedge \sim(b>\alpha a))$
$\vdash \sim((b>\alpha I) \wedge (I>\alpha a))$
$\vdash (\neg M)((b>\alpha I) \wedge (I>\alpha a))$
$\vdash \sim(a ||\alpha b) \leftrightarrow \sim(\neg M I)((a>\alpha I) \wedge (I>\alpha b))$
$\vdash \sim(a ||\alpha b) \leftrightarrow (M I)((a>\alpha I) \wedge (I>\alpha b)) \vee (?M I)((a>\alpha I) \wedge (I>\alpha b))$.
(? – оператор неопределенности $?P(a) -||- \sim P(a) \vee \sim(\neg P(a))$)
Если заменить M на $\exists$, получим:
$\vdash \sim (a ||\alpha b) \leftrightarrow (\exists I)((a>\alpha I) \wedge (I>\alpha b)) \vee (?\exists I)((a>\alpha I) \wedge (I>\alpha b))$. Но если $(M I)((a>\alpha I) \wedge (I>\alpha b))$ или $(\exists I)((a>\alpha I) \wedge (I>\alpha b))$, то между a и b можно поместить хотя бы один индивид. А если $(?M I)((a>\alpha I) \wedge (I>\alpha b))$ или $(?\exists I)((a>\alpha I) \wedge (I>\alpha b))$, то между a и b можно поместить не более одного индивида (если больше одного, то неопределенность отпадает) и не меньше нуля.
Символами
$l(a,b,\alpha) = min$
$l(a,b,\alpha) \geqslant min$
будем записывать высказывания соответственно «интервал (a,b,\alpha) имеет минимальную величину» и «интервал (a,b,\alpha) имеет величину, которая больше или равна минимальной». Учитывая сказанное выше, естественно принять такие определения этих выражений:
АФ7. $(l(a,b,\alpha) = min) -||- (a ||\alpha b)$
АФ8. $(l(a,b,\alpha) \geqslant min) -||- \sim(a ||\alpha b)$.
Поскольку согласноД12
1. $\vdash (a ||\alpha b) \vee \sim(a ||\alpha b),$
из АФ7 и АФ8 по правилу Д11 и У7 получим
2. $\vdash (a ||\alpha b) \vee \sim(a ||\alpha b) \to (l(b,a,\alpha)=min) \vee (l(b,a,\alpha) \geqslant min).$
По правилу Д16 имеем
3. $\vdash (1) \wedge (2)$
и по правилу У1
4. $\vdash (l(a,b,\alpha)=min) \vee (l(a,b,\alpha) \geqslant min).$
Поскольку $(l(a,b,\alpha) \geqslant min)$ есть лишь сокращенная запись для $( l(a,b,\alpha)=min) \vee l(a,b,\alpha)>min)$, из 4 имеем
5. $\vdash (l(a,b,\alpha)=min) \vee (l(a,b,\alpha)=min \vee (l(a,b,\alpha)>min).$
Поскольку $x \vee x -||- x$, имеем
7. $\vdash (l(a,b,\alpha) \geqslant min).$
По правилам УП и Д14
8. $(l(a,b,\alpha)>min) \vdash \sim(l(a,b,\alpha)<min)$
9. $(l(a,b,\alpha) = min) \vdash \sim(l(a,b,\alpha)<min)$
10. $(l(a,b,\alpha) \geqslant min) \vdash \sim(l(a,b,\alpha)<min)$
11. $\vdash \sim(l(a,b,\alpha)<min)$.
Поскольку сказанное выше имеет силу для любого интервала, то по правилу введения переменной z для терминов интервалов получим:
ТФ4 $\vdash (\forallz)(lz \geqslant min)$
$\vdash (\forallz)\sim(lz<min)$
Поскольку по правилам К $(\forallz) \sim(lz<min)\vdash (\neg \exists z) \sim(lz<min)$, имеем $\vdash (\neg \exists z) \sim(lz<min)$.
Пусть x и y – переменные для интервалов. В логике отношений доказуемо
$\vdash (lx=ly) \vee (lx=ly) \vee (lx>ly) \vee (lx<ly) \vee (lx?>ly)$
Пусть z есть такой интервал, что $lz=min$. Подставив z на место x, получим
$\vdash (lz=ly) \vee (lz=ly) \vee (lz>ly) \vee (lz<ly) \vee (lz?>ly)$
В силу того, что $\sim (ly<min)$ и в силу правил логики отношений
$(lz>ly) \wedge (lz=min) \vdash (ly<min)$
$(lz?>ly) \vdash \sim(lz>ly)$
получим:
1. $\vdash ((lz=ly) \vee (lz>ly) \vee (lz<ly) \vee \sim(lz>ly)) \wedge (lz=min)$
2. $\vdash ((lz=ly) \vee (lz<ly) \vee \sim(lz>ly) \vee(lz>ly)) \wedge (lz=min)$
3. $\vdash ((lz>ly) \wedge(lz=min)) \to (ly<min)$
4. $\vdash((lz=ly) \vee (lz<ly) \vee \sim(lz>ly) \vee(lz>ly)) \wedge (ly<min)$
5. $\vdash (4) \wedge (ly<min)$
6. $\vdash (4) \wedge (5) \to ((lz=ly) \vee (lz<ly) \vee \sim(lz>ly))$
7. $(lz=ly) \vee (lz<ly) \vee \sim(lz>ly)$
8. $\vdash(lz=ly) \vee (lz<ly) \to \sim(lz>ly)$
9. $\vdash \sim(lz>ly)$
10. $\vdash (\forall y) \sim(lz>ly)$.
Наконец, по правилу введения переменной, получим
ТФ5. $\vdash (\exists x)(\forall y) \sim(lx>ly)$
то есть утверждение о существовании интервала, который не больше любого другого интервала.
Напоминаем, что определение протяженности эмпирического индивида сводится к определению протяженности интервала, то есть
АФ9. $\vdash l(c,\alpha)= l(asx,bsx,\alpha)$,
где x есть $(a ||\alpha c) \wedge (c ||\alpha b)$ (здесь ysx обозначается эмпирический индивид y, такой, что для него верно x).
Поскольку верно x, имеем
$\vdash \sim(a ||\alpha b)$
$\vdash l(asx,bsx,\alpha) \geqslant min$
$\vdash l(a,b,\alpha) \geqslant min$
и, следовательно, $\vdash l(с,\alpha) \geqslant min$. Так как c – любой эмпирический индивид, имеем
ТФ6. $\vdash (\forall x)l(x,\alpha) \geqslant min$
$\vdash (\forall x) \sim l(x,\alpha)<min$
где х – переменная для эмпирических индивидов. По правилам для кванторов и предикатов =, > и < имеем
$\vdash (\neg \exists x)l(x,\alpha) \geqslant min$
$\vdash (\neg \exists x) \sim l(x,\alpha)<min$.
Мы получили, таким образом, что протяженность всякого эмпирического индивида относительно заданного способа установления порядка $\alpha$ не может быть больше некоторого минимума. Причем здесь $\alpha$ есть любой способ установления порядка, так что имеем
$\vdash (\forall \alpha) (\forall x) \sim l(x,\alpha)<min$
Возьмем, далее, интервал $(a,b,\alpha)$, который больше минимального и будем сближать a и b. Это сближение равносильно выбору интервала $(c,d,\alpha)$, который короче $(a,b,\alpha)$. При сближении a и b (или при сравнении интервалов) будет иметь место следующее. Либо сближение не влияет на величину интервала (между a и b помещается такой же индивид, как и раньше, или такое же число индивидов, как и ранее), либо величина интервала скачком изменится на длину одного индивида: он перестанет помещаться между а (или b) и индивидами, которые помещены между a и b и через которые определяется протяженность $(a,b,\alpha)$. А поскольку протяженность индивидов не может быть меньше некоторого минимума, сближение a и b будет серией скачкообразного уменьшения интервала до тех пор, пока он не достигнет минимума (между a и b уже оказывается невозможным вставить какой-либо эмпирический индивид). Так что если интервал х превышает интервал у лишь на минимальную длину некоторого индивида, а у превышает длину минимального интервала также на один индивид, то для у не найдется такой интервал z, такой, что $(у>min)\wedge (z>min) \wedge (y>z)$. Если y>z, то при этих условиях z=min.
Таким образом, имеет силу утверждение
ТФ7. $\vdash(\exists x)(\forall y)(l(x,\alpha)< l(y,\alpha) \wedge (l(x,\alpha)>0))$.
Сказанное выше относится как к длинам, так и к длительностям.
Из сказанного выше также следует, что пространственно-временные отношения эмпирических индивидов изменяются скачкообразно, квантами.

Добавлено спустя 12 минут 3 секунды:

Что-то я сейчас подробно посмотрел и интерес потерял, исключая АФ7 и АФ8 - либо они противоречивы, либо ...

[Профессор Снэйп]

Sonic86 писал(а):

|-- - знак «логически выводимо», не нашел, как он в Техе пишется

Знак $\vdash$ пишется как

$\vdash$

Можно ещё такой знак использовать: $\rhd$

$\rhd$

[SAN_666]

Sonic86, не занннимайтесь пустыми рассужденниями.

[Профессор Снэйп]

SAN_666 писал(а):

Sonic86, не занннимайтесь пустыми рассужденниями.

Кто бы говорил

[Sonic86]

За запись следования спасибо!
Я особо и не рассуждаю, я жду многоуважаемых собеседников

[Sonic86]

Кстати, автор по-моему АФ7 и АФ8 загнул: из первой следует отрицание второй. Но можно без вреда в АФ8 поменять знак больше либо равно на знак больше - итоговое рассуждение упростится. В целом-то оказывается все понятно - минимальное расстояние изначально заложено в этой концепции - точки имеют ненулевую протяженность. А про максимальную скорость я ничего не вижу, может ее здесь нет, а есть где-то в другом месте?

[Sonic86]

А вывод о существовании максимальной скорости делается элементарно.
Все выводы приведены протяженности в целом, то есть и для времени тоже.
Любая скорость по определению $v=s/t$, а $t$ не меньше некоторого минимума, значит, скорость не больше некоторого максимума.
Если я не ошибаюсь, постулат о конечности скорости света - аксиома минимум специальной теории относительности. Наверное, физикам было бы интересно знать, что этот постулат - элементарное следствие принятии аксиом о том, что протяженность не меньше некоторого минимума в вышеприведенном смысле.
(Да простят меня физики за такие речи)

[Sonic86]

До меня тут кое-что дошло, поэтому считаю нужным изложить.
Зиновьев А.А. в его "Логической физике" в предисловии пишет:
"Логической физикой мы называем раздел логики, в котором исследуются некоторые языковые выражения, относящиеся к пространству, времени, движению, причинности и т.д. В отличие от философии и физики ... логическая физика интересуется исключительно логическими свойствами этих выражений и содержащих их выражений, т.е. такими их свойствами этих выражений и содержащих их утверждений, которые вытекают из логических правил построения языковых выражений. ...
Приведем два примера. На вопрос о том, может ли физическое тело находится одновременно в разных местах, обычно отрицательно, а на вопрос о том, почему это невозможно, отвечают: так устроен мир. Однако дело здесь не в устройстве мира. Да и откуда взять гарантии, что наше заявление будет верно на все времена в прошлом и будущем и во всех местах Вселенной? Наша уверенность в том, что физической тело не может одновременно находиться в разных местах, есть логическое следствие неявного определения выражения "разные места". В самом деле, в каком случае места (области пространства) считаются разными? Интуитивно предполагается, что два места $x$ и $y$ различны, если и только если они не имеют общих точек. ... Из этого определения логически следует утверждение: физическое тело не может одновременно находиться в разных местах."

Мне вот это рассуждение всегда казалось странным. Сегодня получилось эксплицировать ощущение таким образом:
Следует различать термины "истинный" и "адекватный". Я не знал до сегодня точного определения слова "адекватный". Если кто знает, прошу написать его здесь.
Утверждение Х будет истинным $\Leftrightarrow$ Х есть аксиома или теорема логики (пока не рассматриваем разные логические концепции). В простом языке можно сказать так: если Х верно само по себе (логически истинно), то оно истинно. Далее, Х истинно в теории Т $\Leftrightarrow$ Х есть аксиома или теорема этой теории Т. В принципе я не исключаю возможность того, что я тут одно и то же написал - это пока не играет роли. Возможны более сложные случаи, пока их не рассматриваем, можно считать это определение неполным. Получается, что Х здесь отношения к реальному миру вообще не имеет, а проверка Х происходит теоретическими способами.
Далее, Х называется адекватным ситуации С $\Leftrightarrow$ задано соответствие реальным объектам и их отношениям терминам объектов и терминов отношений, содержащихся в Х, и при замене терминов объектов и терминов отношений в Х на сами объекты и отношения мы получаем утверждение, не противоречащее реальности (тут прошу меня понять правильно, сам вижу, что криво сформулировал). Здесь Х имеет отношение к реальному миру, а проверка происходит эмпирически.
Очевидно, что некоторые (например, я вчера) эти термины отождествляют и путаница порождает разные "философские вопросы" типа: имеет математика или теорфизика предметное содержание или это игра слов и символов (путаются адекватное и истинное).
Приходится признать, что истинность высказывания не влечет его адекватность в общем случае. Например, геометрия Евклида и геометрия Лобачевского истинны, но адекватна-то только одна (или не одна?!). Адекватность, видимо, можно проверить только эмпирически для утверждений теории Т.
Попробую привести несколько утверждений для адекватных и истинных утверждений. Пока на естественном языке.
Если Х логически истинно и задано произвольное соответствие терминов Х реальной ситуации С, то Х адекватно С.
Если Х адекватно С, то Х не содержит термина $\vdash$ логического следования.
Неверно, что из адекватности Х ситуации С логически следует истинность Х в теории Т для ситуации С (строго говоря не Х, а то, что получается при отвлечении от смысла терминов в Х).
Истинность утверждения проверяется в теории и кроме теории ни от чего больше не зависит, в то время как адекватность может зависеть, вообще говоря, от времени.
Проверка адекватности теории Т - самая слабая часть теории Т для ее применения, она проводится многократной практикой ее использования. С другой стороны, от этого обстоятельства обычно отвлекаются и пытаются строить теорию по правилам аксиоматики, логики. Чем лучше это удается, тем качественнее считается теория. Соответственно, я товарища Зиновьева тогда буду интерпретировать так: когда говорят, что тело не находится в разных местах потому, что так устроен мир, то правы, так как имеют ввиду адекватность этого высказывания реальности. Но в плане адекватности дальше этого утверждения идти нельзя. Поэтому Зиновьев обращает внимание на необходимость логического построения теории, делает ее истинной. В то же время ни логическая обработка, ни адекватность сейчас не дают уверенности в адекватности потом, они дают уверенность лишь в истинности, так как истинность от времени не зависит.

[ewert]

Sonic86 писал(а):

Если я не ошибаюсь, постулат о конечности скорости света - аксиома минимум специальной теории относительности. Наверное, физикам было бы интересно знать, что этот постулат - элементарное следствие принятии аксиом о том, что протяженность не меньше некоторого минимума в вышеприведенном смысле.
(Да простят меня физики за такие речи)

Боюсь, что не простят. Независимо от арифметики, конечность (а правильнее сказать, постоянство) скорости света -- чисто эмпирический факт. Который в силу этого и был принят в качестве аксиомы теории относительности. Насчёт нижнего предела протяжённостей никаких опытных фактов, насколько я слышал, пока не поступало.

[Sonic86]

Насчет того, что Вы сказали о скорости света я согласен. Эмпирический факт или нет, но все равно принят как аксиома (тут у нас расхождений нет). Насчет конечности - такой же эмпирический и совсем уж обыденный факт (ну атом и расстояния между атомами например). Надо слишком глубоко лезть, чтобы найти расстояния меньше. Насчет существования минимальной протяженности во времени, наверное именно в силу конечности скорости света.
В конце концов - просто теория, интересная.
Я тут ничего утверждать и опровергать не берусь - разобраться охота было. Расхождений между мной и Вами пока нету.

[Sonic86]

О "Комплексной логике" Зиновьева А.А. Текст в скобках можно не читать.

Видимо, это книгу можно считать включающей все наиболее значительное и пока опубликованное у Зиновьева. (У Клини этого точно нет)

"Очерк многозначной логики" - довольно интересный и разнообразный раздел, но особого ничего не нашел . Для математиков - не знаю, вряд ли там что есть. Есть там некоторые мысли, которые полезно запомнить. Например, мысль о том, что истинностные значения логики есть некоторое построение, которое не является в ней обязательным - это изобретенное средство исследования. Есть мысль о "привилегированности" двузначной логики.

Раздел "Логическое следование" показался мне более глубоким с идейной точки зрения. Я смогу изложить только то, что понял. Автор рассматривает проблему логического следствия. Ее можно сформулировать так: нет в логике некоторой конструкции, которая более-менее удовлетворительно отражала понятие следования, в частности следствия в математике, которое привычно обозначают $\Rightarrow$. В терминологии Зиновьева: нет экспликации понятия "логического следования". В матлогике конструкцией, претендующей на такую роль является импликация $\to$, причем единственной.
(Лично я, когда мне показали таблицу истинности для импликации, очень удивился, что она - формальное описание понятия "следовательно". Я попробовал составить свою таблицу и у меня получилась конъюнкция! В общем с помощью таблиц истинности ничего другого и не подберешь. Потом быстро привык - противоречий-то не возникает.
Если есть математики, которые считают импликацю адекватной логическому следованию, то хотелось бы услышать аргументацию.)
Автор рассматривает существующие попытки решить эту проблему: импликация Рассела и Уайтхеда, сильная импликация Аккермана, логические системы Льюиса, Орлова, интуиционистская логика - и высказывает свою критику. Очень грубо говоря, ход экспликации идет так:
строится импликация как логическая конструкция, выясняется непротиворечивость хотя бы исчисления высказываний. Но при интерпретации формул импликации как высказываний естественного языка получается бессмыслица. Например, если $A,B$ - ложны, то $A \to B$ - истинно. Но если взять A="2+2=5", B="снег черный", то получаем, что высказывание "если 2+2=5, то снег черный" - истинно. Но по смыслу - выглядит как чепуха. Формулы, при интерпретации которых возможно получение таких бессмысленных высказываний, называются парадоксальными. Требуется построить исчисление, где есть знак $\vdash$ логического следования - здесь он читается именно так - где нет парадоскальных формул. При построении класса доказуемых формул должен быть сужением класса доказуемых соответствующих формул, где знак логического следования заменен на знак импликации. Автор попытки построить такое исчисление - в них не произошло исключение этого класса. Впрочем, само понятие "парадоксальная формула" оказывается строго не определенным. Автор перечисляет необходимые требования к логическому следованию, рассматривае разные варианты. Рассмотренны: значения истинности высказываний, принцип дедукции, связь посылки и следствия по смыслу - наличие общих для посылки и следствия терминов, логическое следование как конструкци метатеории (из "А" следует "В"), количество знаков логического следования в доказуемых формулах, аксиоматизация теории, парадоксальность интуиционистского следования. Причем, некоторые из них он, видимо, оставляет без последующего развития (если я правильно понял). В каких-то случаях он получает несколько вариантов, удовлетворяющих условиям - получаются разные исчисления. Наиболее строгое получается так: выбрасываются вообще все формулы, которые содержат хоть какой-то намек на парадоксальность, перечисляются набор допустимых схем и объявляется искомым исчислением. В целом есть некоторый ряд исчислений, ослабляющийся по непарадоксальности. Парадоксальные формулы оказываются недоказуемыми. В самом строгом исчислении оказываются доказуемыми формулы, которые автор считает бесперспективными для дедукции: $X \vdash X \vee \sim X, \sim X \wedge X \vdash X$, ... - автор считает их "законной платой за дедуктивный метод".
В разделе также есть конструкции для логики предикатов и для логики с кванторами, рассматривается теория терминов.
(Хочу от себя заметить, что мне кажется, что сложное терминологическое строение в матлогике отразить вообще нельзя)

Вообще кроме этого есть еще куча интересных мыслей (например, критика интуиционистской логики). Возможно, что одна из построенных экспликаций и есть логический вывод в математике. Всем советую почитать!

[Sonic86]

И еще - терминология немного иная, мое знание TeXа мне не позволяет точно написать авторские знаки, я буду их заменять и пояснять в квадратных скобках. После текста пишу список терминов, которые автором были определены, определения которых я могу написать.

Мир [в формулах M](Вселенная) есть скопление эмпирических индивидов, в которое включаются все эмпирические индивиды, т.е. если $x$ есть переменная для эмпирических индивидов, то
$\vdash (\forall x) x \in M$.
Из определения следует, что Мир есть эмпирический индивид. Из определения также следует единственность Мира в смысле следующего утверждения
$\vdash (\forall x)(\forall y)((x \rightharpoonup M) \wedge (y \rightharpoonup M)) \to ((x \rightharpoonup y) \wedge (y \rightharpoonup x))$
где x и y суть индивидные переменные (т.е. если х есть Мир и у есть Мир, то термины х и у тождественны по значению или х и у суть один и тот же индивид).
[Определяется примерно так: "a \rightharpoonup b" есть "а является b, а суть b, b есть часть содержания а". Например: кошка \rightharpoonup млекопитающее]
Из определения также следует:
$\vdash E(M) \equiv (\exists x) E(x)$
$\vdash \neg E(M) \equiv (\forall x) \neg E(x)$,
т.е. Мир не существует, если и только если существует хотя бы один эмпирический индивид, и Мир не существует, если и только если не существует ни один эмпирический индивид.
["Е(х)" читается как "х существует" - унарный предикат существования.]
Мир есть скопление индивидов и к нему (как ко всякому скоплению) применимы предикаты, определенные для скоплений. Но здесь нужно соблюдать осторожность, связанную с особенностью определения этого скопления и двусмысленностью языковых выражений со словами "возникает", "бесконечен" и т.п.
Возьмем выражение "Мир не возник во времени" (или "Мир не имеет начала во времени", "Мир вечен в прошлом" и т.п.). Оно двусмысленно. Во-первых его можно понимать как отрицание утверждения "Мир возник во времени", которое есть сокращение для
$\neg E(M) \Rightarrow E(M)$
и в котором Мир берется просто как эмпирический индивид [здесь знак $\Rightarrow$ означает двухместный предикат изменения состояния (одного на другое)]. Но чтобы принять или отвергнуть такое утверждение, необходимо иметь точку отсчета времени - некоторое эмпирическое событие а, иметь метки времени - эмпирические события $b_1, b_2, ...$, иметь возможность наблюдать состояние $s \neg E(M)$, причем индивиды $a, b_1, b_2, ...$ не должны включаться в Мир. А это исключено по определению. Если же $a, b_1, b_2, ...$ включаются в Мир, то из определений и из $E(a), E(b_1), E(b_2),...$ получим, что $E(M)$, то есть состояние $s \neg E(M)$ в принципе невозможно наблюдать в принципе. Таким образом, в рассматриваемом смысле наше утверждение неопределенно, т.е. неверно, что "Мир возник" и неверно, что "Мир не возник".
Таким образом, мы имеем нечто противоположное кантовским антиномиям: отрицание обоих противоположных суждений. Но здеь это не ведет к противоречию, ибо имеется третья возможность - неопределенность.
Второй смысл рассматриваемого выражения заключается в следующем. Мир рассматривается как процесс, т.е. как ряд различных состояний во времени. При этом наше утверждение означает, что Мир не имеет начального элемента, т.е.
$(\forall x)(\exists y)(x > \alpha y)$
где х и у - переменные для состояний Мира, а $\alpha$ - способ упорядочивания их во времени относительно некоторого события, принадлежащего к Миру (здесь это не запрещается) [автор отношение порядка в общем случае пишет как $> \alpha, = \alpha$ - больше, равно по способу измерения $\alpha$, здесь имеется ввиду измерение во времени: х раньше у].
Оставляя без внимания вопрос о том, можно ли проверить это утверждение практически, с чисто логической точки зрения оно не вступает в конфликт с принятыми определениями. В частности из того, что мир не имеет начала во времени (во втором смысле) не следует невозможность его существования. Принятие этого утверждения или его отрицания само по себе не ведет ни к какому логическому противоречию.
Аналогично нельзя принять или отвергнуть утверждения о том, что Мир не перемещается в пространстве, если рассмаривать просто Мир как индивид, так как невозможны тела, относительно которых фиксируется перемещение или покой Мира и которые не включались бы в Мир.
[Термины и предикаты, которые определены: скопление, эмпирический индивид, переменная, термин, предикат $\rightharpoonup$, предикат существования Е, событие, состояние, состояние $sx$, процесс, предикаты $> \alpha, = \alpha$.]