подобрать пару чисел

[tata00tata]

Здравствуйте. Только начала рассматривать олимпиадные задачи. Очень много вопросов.
Задача. Необходимо подобрать все такие пары $m,n\inN$, удовлетворяющих уравнению $5^5-5^4+5^n=m^2$
Я привела к виду $2500+5^n=m^2$, понятно, что $m^2$ кратно $5$, следовательно $m$ кратно $5$, следовательно $m^2$ кратно $25$
ещё понятно, что $m>50$. Подобрала одну такую пару $n=5;m=75$, но дальше дело не пошло. Возможно эта пара единственная? но как доказать? или не единственная? Спасибо
Можно ещё так представить $(m-50)(m+50)=5^n$ и $\left\{ \begin{array}{rcl} m-50=5^p \\ m+50=5^k \\ \end{array} \right.$; $n=p+k, p,k\in N$

[mihaild]

У вас получилось $5^k - 5^p = 100$. Посмотрите, возможно ли это при $k > 3$.

[Sonic86]

tata00tata, здесь было много подобных задач: $a^x+b^y=c$, переменные $x,y$. Они называются экспоненциально-диофантовыми уравнениями. Отобрать их всех только трудно.
Вот например:
topic42767.html
topic80696.html
topic42305.html
topic64538.html
Из последней темы:

maxal в сообщении #645027 писал(а):

Рассмотрением по модулю 2925 легко получаем, что решениями являются только $(1, 0, 1)$ и $(2, 1, 2)$.

Описание алгоритма решения: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... hp?t=48431

и другие подобные задачи:
post584875.html#p584875
topic61711.html
topic38828.html
topic44444.html
topic42767.html
topic57736.html

[tata00tata]

mihaild
Спасибо, поняла

-- 15.11.2016, 22:30 --

Sonic86
буду разбираться))

[tata00tata]

Ещё при решении другой задачи встретила такую фразу
При делении на $3$ число даёт остаток $2$, то есть число имеет вид $3m+2$ При делении на $5$ число даёт остаток $3$, то есть число имеет вид $5k+3$ то есть число может оканчиваться либо на тройку, либо на восьмёрку.
Не поняла откуда такой вывод, что может оканчиваться либо на тройку, либо на восьмёрку. Теорема какая-то или как-то аналитически это можно показать? Спасибо.

-- 16.11.2016, 15:43 --

ещё вот не понятен вывод из другой задачи
натуральное число при делении на $6$ и на $11$ даёт равные ненулевые остатки, следовательно, число имеет тот же остаток при делении на $66$

[mihaild]

tata00tata в сообщении #1169432 писал(а):

число имеет вид $5k+3$ то есть число может оканчиваться либо на тройку, либо на восьмёрку

Для начала - на какую цифру может оканчиваться $5k$? От чего это зависит?

tata00tata в сообщении #1169432 писал(а):

натуральное число при делении на $6$ и на $11$ даёт равные ненулевые остатки

Из этого следует, что $n = 6a + r = 11b + r$. Что из этого можно вывести про $a$ и $b$?

[tata00tata]

mihaild в сообщении #1169440 писал(а):

$n = 6a + r = 11b + r$. Что из этого можно вывести про $a$ и $b$?

поняла, следует, что $a$кратно $11$, а $b$кратно $6$

mihaild в сообщении #1169440 писал(а):

на какую цифру может оканчиваться $5k$? От чего это зависит?

тоже поняла, на $0$или на$5$,зависит от четности, нечетности $k$ следовательно $5k+3$ на$3$или на $8$
Спасибо!