2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 n и (n+1) оба делятся только на 2,3,5,7
Сообщение16.02.2011, 14:02 


21/07/10
555
В разложениях n и (n+1) нет простых, больших чем 7.

Найти максимальное n c таким свойством.

Никаких идей, кроме тривиальной - решения 10-ти диофантовых уравнений.

А должно быть какое-то простое красивое решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: n и (n+1) оба делятся только на 2,3,5,7
Сообщение16.02.2011, 14:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Что-то я не уверен, что здесь существует простое и красивое решение.
Хотя... тут есть специалисты по теории чисел, может, они меня сурово поправят.

 Профиль  
                  
 
 Re: n и (n+1) оба делятся только на 2,3,5,7
Сообщение16.02.2011, 14:17 


21/07/10
555
worm2 в сообщении #413611 писал(а):
Что-то я не уверен, что здесь существует простое и красивое решение.
Хотя... тут есть специалисты по теории чисел, может, они меня сурово поправят.


Будьте проще - это задача для детей, так что у нее есть простое элементарное решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: n и (n+1) оба делятся только на 2,3,5,7
Сообщение16.02.2011, 14:21 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
alex1910 в сообщении #413609 писал(а):
Никаких идей, кроме тривиальной - решения 10-ти диофантовых уравнений.

Почему 10? Должно быть $2^4=16$, ну или если откинуть 4 совсем тривиальных, то остается 12 примерно такого вида:
$$2^a 3^b - 5^c 7^d = \pm 1.$$
Решить их не проблема, кстати - см. topic38828.html и далее по ссылкам.

 Профиль  
                  
 
 Re: n и (n+1) оба делятся только на 2,3,5,7
Сообщение16.02.2011, 15:39 


21/07/10
555
maxal в сообщении #413623 писал(а):
alex1910 в сообщении #413609 писал(а):
Никаких идей, кроме тривиальной - решения 10-ти диофантовых уравнений.

Почему 10? Должно быть $2^4=16$, ну или если откинуть 4 совсем тривиальных, то остается 12 примерно такого вида:
$$2^a 3^b - 5^c 7^d = \pm 1.$$
Решить их не проблема, кстати - см. topic38828.html и далее по ссылкам.


Ну 12 - их и имел ввиду. Решить - конечно не проблема, но требует некоторого времени, если делать руками.

Также не проблема оценить n сверху и перебрать варианты на компьютере.

На задача чуть ли не из сборника ЕГЭ - так что можно ее решить на порядок проще, полагаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: n и (n+1) оба делятся только на 2,3,5,7
Сообщение16.02.2011, 16:34 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
maxal в сообщении #413623 писал(а):
Почему 10? Должно быть $2^4=16$, ну или если откинуть 4 совсем тривиальных, то остается 12 примерно такого вида:
$$2^a 3^b - 5^c 7^d = \pm 1.$$
Решить их не проблема, кстати - см. topic38828.html и далее по ссылкам.

Почему 12?
$C_4^1+C_4^2=10$. Оставшийся случай - одно из чисел 1, соответственно другой из них 2.

 Профиль  
                  
 
 Re: n и (n+1) оба делятся только на 2,3,5,7
Сообщение16.02.2011, 16:53 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Руст в сообщении #413678 писал(а):
$C_4^1+C_4^2=10$. Оставшийся случай - одно из чисел 1, соответственно другой из них 2.

Я считал, что каждое простое 2,3,5,7 делит какое-то из чисел. При этом количество уравнений (исключая тривиальные) равно $2\binom{4}{1} + \binom{4}{2} = 14$. Множитель 2 здесь засчет возможного знака $1$ в правой части.

 Профиль  
                  
 
 Re: n и (n+1) оба делятся только на 2,3,5,7
Сообщение02.03.2011, 01:04 


24/01/11
207
Ммм, возьмём числа вида 2^n-1 и 2^n, если решение данной задачи существует (я его не знаю, так как вообще не математик, диофантовы уравнения решать немного умею, но не больше :)), выходит, мы решили открытую проблему о бесконечности чисел Мерсенна, т.к. если 2^n-1 простое, то пара 2^n-1 и 2^n, очевидно, подходит.

Либо я неправильно понимаю условие задачи, либо … В общем, поправьте меня :)

 Профиль  
                  
 
 Re: n и (n+1) оба делятся только на 2,3,5,7
Сообщение03.03.2011, 21:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Неправильно понимаете :-)
Вот если бы число $2^n-1$ делилось бы только на 3, 5 и 7, и ни на какие другие простые числа, тогда да. А большие простые числа здесь ни при чём.

 Профиль  
                  
 
 Re: n и (n+1) оба делятся только на 2,3,5,7
Сообщение04.03.2011, 09:17 


23/01/07
3415
Новосибирск
Небольшое рассуждение...

Используя свойства треугольных чисел, получаем:

$8\cdot \dfrac{n\cdot (n+1)}{2}+1=m^2$,
где $m$ - натуральное число.

следовательно, эквивалентная задача - нахождение решений уравнения:

$4\cdot 2^a\cdot 3^b\cdot 5^c\cdot 7^d + 1 = m^2$.

(Оффтоп)

Кстати, одно из решений $7!+1=71^2$, а наибольшее, найденное мной $ m=449$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group