Если целое, то простое

[Ktina]

Пусть $m, n$ - натуральные числа и пусть $p$ - простое число.
Доказать, что если $\frac{7^m+p\cdot 2^n}{7^m-p\cdot 2^n}$ является целым числом, то оно - простое.

[hippie]

При $p=7,\ m=2,\ n=3$ получаем: $\frac{7^2+7\cdot 2^3}{7^2-7\cdot 2^3} = -15,$ целое, но на простое мало похоже .

А вот если $\frac{7^m+p\cdot 2^n}{7^m-p\cdot 2^n}$ является не просто целым, а натуральным числом, то оно равно 97, и, следовательно, простое.

[Ktina]

hippie в сообщении #563012 писал(а):

При $p=7,\ m=2,\ n=3$ получаем: $\frac{7^2+7\cdot 2^3}{7^2-7\cdot 2^3} = -15,$ целое, но на простое мало похоже .

А вот если $\frac{7^m+p\cdot 2^n}{7^m-p\cdot 2^n}$ является не просто целым, а натуральным числом, то оно равно 97, и, следовательно, простое.

Ошиблась в формулировке. Мне на минуточку показалось, что оно не может быть отрицательным (вот такой заскок), посему написала просто "целым", посчитав, что этого достаточно.

[hippie]

А я пропустил случай $n=1.$
Тогда получается ещё одно натуральное значение: 13.

[maxal]

Сводится к уравнению $7^m - 3\cdot 2^n = 1$, единственными решениями которого являются $(m,n)=(1,1)$ и $(2,4)$ (что легко устанавливается рассмотрением по модулю 480).

[Shadow]

До 480 не дотянул. После (1,1) по модулю 12 (на компютере) устанавливаем, что m должно быть четным.
$\\(7^k-1)(7^k+1)=3.2^n\\ 7^k-1=3.2^a\\ 7^k+1=2^b\\ 2=2^b-3.2^a\\ b=3,a=0$
Ужас...