k+2^m=3^n

[hexamino]

При каких целых $k$ уравнение $k+2^m=3^n$ не разрешимо в целых $m, n?$ Существует ли алгоритм для нахождения всех таких $k?$ Существует ли целое значение $k$ (кроме $k = 1$), при котором уравнение имеет больше одного решения в целых числах?

[maxal]

hexamino в сообщении #379664 писал(а):

Существует ли алгоритм для нахождения всех таких $k?$

Боюсь, что множество всех таких $k$ имеет сложное описание. Поэтому найти все не удастся. Однако, для каждого конкретного $k$ можно доказать, что оно принадлежит этому множеству. Подробнее - см. https://artofproblemsolving.com/community/c6h48431

-- Tue Nov 23, 2010 16:34:16 --

maxal в сообщении #379740 писал(а):

При каких целых $k$ уравнение $k+2^m=3^n$ не разрешимо в целых $m, n?$

Вот все такие $k\leq 100$:

3, 4, 6, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 74, 75, 76, 78, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100

[MrDindows]

maxal
Почему $8$ не подходит?
$k=8, m=0, n=2$

[Drjusss]

аналогично почему не подходит 2? к=2; m=0; n=1

[ИСН]

А 5 чем провинилось? $5+2^2...$

[nikov]

Ещё 23 и 26...

[maxal]

Спасибо за бдительность. Это был баг в программке.
Исправлено.

[hexamino]

А можно взглянуть на программку?
И есть ли какие-то соображения по поводу количества решений в тех случаях, когда они есть?

-- Чт ноя 25, 2010 03:11:29 --

Похоже, что ни этой последовательности, ни её дополнения нет в http://oeis.org/

[maxal]

hexamino
Программу публиковать я пока не готов, но алгоритм описан по ссылке выше.
Количество решений, как правило, конечно и все их обычно можно легко найти - опять см. вышеприведённую ссылку.

Последовательность добавил - теперь это A173671. Другие похожие последовательности: A014121, A075824, A074981.