Уравнение 7^x+15^y=8^z в натуральных числах

[Ktina]

Решить уравнение

$$7^x+15^y=8^z$$

в натуральных числах $x, y, z$

[maxal]

Рассмотрением по модулю 2925 легко получаем, что решениями являются только $(1, 0, 1)$ и $(2, 1, 2)$.

Описание алгоритма решения: https://artofproblemsolving.com/community/c6h48431

и другие подобные задачи:
http://dxdy.ru/post584875.html#p584875
http://dxdy.ru/topic61711.html
http://dxdy.ru/topic38828.html
http://dxdy.ru/topic44444.html
http://dxdy.ru/topic42767.html
http://dxdy.ru/topic57736.html

[Ktina]

maxal в сообщении #645027 писал(а):

Рассмотрением по модулю 2925 ...

А как-то попроще -- не выйдет?
Тут, очевидно, $x$ и $y$ должны быть разной чётности, а $z$ -- только чётным. Тогда, либо $7^x$ будет разностью квадратов, либо $15^y$ будет разностью квадратов. Кроме того, если $y>1$, то $x$ должно делиться на 3. Короче, я не решила, но есть много интересных соображений, подобных вышеописанным. Я уверена, должно быть какое-то простое решение...

[Shadow]

По модулю 16 x четное. $8^{2z}-7^{2x}=15^y$
$\\8^z-7^x=a\\ 8^z+7^x=b$
причем a, b взаимнопростые, иначе сложив oбе части системы получится, что $2^{3z+1}$ делится на 3 или 5. Значит или $a=1$ и легко решается, или
$\\8^z-7^x=3^y\\ 8^z+7^x=5^y $
Думаю, тут несложно найти противоречие.