Как распределятся падающие шарики

[Лукомор]

Когда ТС декларирует, что он строит математическую модель доски Гальтона с отражающими стенками, и там какими-то равными вероятностями, я не возражаю, пусть себе строит.
Но когда я смотрю на те цифры, которые получились в результате работы этой модели, я не вижу этого отражения от стенок.
Я вижу, что уже построенная модель имеет поглощающие стенки, вопреки заявленному.
То-есть, в представленной модели есть ровно четыре места для удара шарика об стенку.
При этом, с вероятностью 1/16 шарик достигает крайнего левого верхнего гвоздика.
И с вероятностью 1/32 он отражается от этого гвоздика вправо.
С той же вероятностью он отражается от этого гвоздика влево и... прилипает к стенке.
Дальше он уже никуда не двигается.
Аналогично, с вероятностью 1/32 шарик попадает на крайний верхний правый гвоздик, и прилипает к правой стенке.
Двумя уровнями ниже есть пара аналогичных гвоздиков.
Расчеты показывают, что на каждый из них шарик попадает с вероятностью 5/64.
От каждого такого гвоздика с вероятностью 5/128 шарик отскакивает вовнутрь доски Гальтона, и с вероятностью 5/128 отскакивает наружу и также прилипает к стенке.
Если учесть эти ненулевые вероятности поглощения шарика стенками, получаем, что вероятность достичь шарику дна доски Гальтона равна 55/64.
При этом, распределение вероятностей по пяти ячейкам, которые внизу, будет в точности таким, как и получилось у топикстартера: 20/256; 55/256; 70/256; 55/256; 20/256;
То есть, задача даже решена правильно, но... это не та задача...

[Someone]

Лукомор в сообщении #1166988 писал(а):

Да я все это знаю, понимаю правильно

Зачем тогда Вы написали вот это?

Лукомор в сообщении #1166922 писал(а):

Someone в сообщении #1166910 писал(а):

А какому не удовлетворяет?

Равновозможности элементарных исходов!
…
Ну вот так получилось, что не все наборы событий, пусть даже попарно несовместных и составляющих полную группу событий, удовлетворяют принятому в теории вероятностей определению множества элементарных событий...

Лукомор в сообщении #1166988 писал(а):

И для кривой монеты все равно будет два элементарных исхода, с разными вероятностями, пусть $p$ и $q$, причем $p+q=1$.

Я пока ещё не говорил, что иной раз может быть и не два. Обычно предполагается, что монета тонкая, и край её устроен так, что она на него встать не может. А теперь представьте себе, что монета такая толстая, что только чудом может устоять на одной из сторон. Но это всё пустяки…

Лукомор в сообщении #1166988 писал(а):

А вот события
$A=(p_1\cup p_3 \cup p_4)$
$B=(p_2\cup p_6)$
$C=(p_5)$
составляют полную группу событий, и вполне могут составлять вероятностное пространство для какой-то задачи, но имеют в теории другое название - сложные события, или даже просто события, в отличие от элементарных исходов, из которых они состоят.

Не припомню, чтобы мне где-нибудь попадался термин "сложное событие".

Вы не правы. Прочтите второе предложение первого абзаца приведённой выше цитаты из книги Боровкова. Если решаемая Вами задача такова, что для описания всего, что Вам требуется, достаточно этих трёх событий, то Вы имеете полное право называть их элементарными исходами. Другой вопрос, насколько это удобно. Если кость симметричная, так что вероятности падения на все грани одинаковые, то, взяв в качестве множества элементарных исходов стандартный набор из шести событий, Вы можете воспользоваться этой симметрией, которой не будет, если $\Omega=\{A,B,C\}$. Если же кость не симметричная, то симметрией всё равно воспользоваться не удастся, так что не ясно, чем три элементарных исхода хуже шести.

Вернёмся к монете. Нарисуем на каждой стороне по диаметру стрелку*). Бросаем монету. Но интересуемся не выпавшей стороной монеты, а величиной угла между направлением на север и стрелкой, нарисованной на верхней стороне (для определённости пусть этот угол отсчитывается против часовой стрелки от направления на север). Какие у нас будут элементарные исходы? А если мы интересуемся и указанным углом, и стороной? И можно ли элементарные исходы, "предназначенные" для второго случая, использовать в первом? А можно ли элементарные исходы, определённые в каждом из этих случаев, использовать в классической задаче про монету?

*) Собственно, рисовать что-либо не требуется. Изображения на обеих сторонах монеты асимметричные, так что их вполне можно использовать для определения направления.

[Лукомор]

Someone в сообщении #1167095 писал(а):

Не припомню, чтобы мне где-нибудь попадался термин "сложное событие".

Мне - попадался.

Цитата:

Сложным событием (исходом) называется произвольное подмножество множества элементарных событий. Сложное событие в результате испытания наступает тогда и только тогда, когда в результате испытаний произошло элементарное событие, принадлежащее сложному. Например, испытание - подбрасывание кубика. Элементарное событие - выпадение грани с числом «1». Сложное событие - выпадение грани с нечетным числом.

-- Вт ноя 08, 2016 12:37:15 --

Someone в сообщении #1167095 писал(а):

Зачем тогда Вы написали вот это?

Напишем по другому. Я тут поцитирую еще немножко:

Цитата:

Другими словами, множество исходов опыта образует пространство элементарных исходов, если выполнены следующие требования:

- в результате опыта один из исходов обязательно происходит;
- появление одного из исходов опыта исключает появление остальных;
- в рамках данного опыта нельзя разделить элементарный исход на более мелкие составляющие.

[Someone]

Лукомор в сообщении #1167111 писал(а):

Мне - попадался.

Ну, если только в том смысле, что есть "элементарные исходы", а всё, что из них складывается — "сложные события". То есть, попросту подмножества множества элементарных исходов. Для меня термин "сложное событие" явно лишний, который дублирует хорошо известный термин "подмножество".

А Вы его где нашли? Опять в "Математике для юристов"? Ну, юристам, может быть, так и надо. А я — математик.

-- Вт ноя 08, 2016 13:54:22 --

Лукомор в сообщении #1167111 писал(а):

Напишем по другому. Я тут поцитирую еще немножко:

Цитата:

Другими словами, множество исходов опыта образует пространство элементарных исходов, если выполнены следующие требования:

- в результате опыта один из исходов обязательно происходит;
- появление одного из исходов опыта исключает появление остальных;
- в рамках данного опыта нельзя разделить элементарный исход на более мелкие составляющие.

Видите ли, если два первых пункта понимаются однозначно, то третий является весьма неопределённым. Что значит — "нельзя разделить"? Я бросаю монету и интересуюсь, какая сторона выпала. Могу ли я ограничиться двумя исходами? Я ведь выше написал, что "разделить" я их могу. Аж на континуум исходов. Это всё? Нет. Монета ведь может упасть на стол, на ковёр, на пол за пределами ковра, на диван, закатиться под диван, выкатиться в коридор… В каждом из случаев её положение может оказаться разным, а это ещё континуум вариантов… Я всё это должен запихать в множество элементарных исходов?

[Лукомор]

Someone в сообщении #1167122 писал(а):

Я бросаю монету и интересуюсь, какая сторона выпала. Могу ли я ограничиться двумя исходами? Я ведь выше написал
, что "разделить" я их могу. Аж на континуум исходов.

Тут у Вас невольное противоречие.
Если Вас интересует только один вопрос:"Какая сторона выпала? (а у монеты всего две стороны)", и вы вдруг получаете континуум ответов на этот вопрос, то тут одно из двух: либо ваша монета имеет сферическую форму и поэтому у нее континуум сторон, либо у монеты всего две стороны, тогда весь этот контнуум можно засунуть не более чем в три элементарных исхода:
1. Монета выпала первой стороной.
2. Монета выпала второй стороной.
3. Монета не выпала никакой стороной.

[Someone]

Вы плохо читаете то, что я пишу. Не задумываясь.

Лукомор в сообщении #1167137 писал(а):

Если Вас интересует только один вопрос:"Какая сторона выпала? (а у монеты всего две стороны)", и вы вдруг получаете континуум ответов на этот вопрос

Я не получаю континуума ответов. Я имею континуум элементарных исходов, в которых выпала одна сторона, и континуум элементарных исходов, в которых выпала другая сторона. Просто событие "выпал герб" оказывается "сложным". И приведённое Вами определение множества элементарных исходов запрещает мне остановиться на двух исходах, поскольку каждый из них я могу "разделить" на континуум частей. И я не знаю, где мне остановиться, поскольку в состоянии продолжать "разделение" дальше и дальше, так что у меня всё время получаются "сложные" события.

[Лукомор]

Я кажется понял, в чем причина того забавного недоразумения, которое между нами имеет место быть.
Дело в том, что существует такое понятие: "классическое определение вероятности" (хотя я бы с полным правом назвал его "архаическим определением").
Это определение возникло скорее всего еще в трудах Лапласа, если не раньше, и давно уже устарело...
И там действительно были всякие требования о рановероятности элементарных исходов, и элементарные исходы должны были быть неделимые на более мелкие.
Теперь, ТС, как я его понял, решил свою задачу в рамках этой классической-архаической теории.
Но умудрился решить ее неправильно, и просит найти ошибку именно в его в решении, не выходя за рамки этой "классической" теории.
Я - нашел, оставаясь при этом в узких прокрустовых рамках эпохи Ренессанса.
Вы же сразу отметаете всю эту архаическую теорию, и несете тут свет самых современных знаний...
Это естественно - математика - Ваша профессия, и ее передовыми технологиями вы профессионально владеете.
Но, как бы это понятно выразить, иногда интересно откопать какой-либо древний артефакт, антикитерский механизм, и попытаться понять, как он работает.
Вот так как-то...

[Someone]

Лукомор в сообщении #1167157 писал(а):

существует такое понятие: "классическое определение вероятности"

Я в курсе. Более того, при решении учебных задач это определение часто используется. А я преподаватель…

Лукомор в сообщении #1167157 писал(а):

Это определение возникло скорее всего еще в трудах Лапласа, если не раньше

М-м-м… Я, конечно, не историк математики, но я сильно сомневаюсь, что в те времена существовало такое определение, какое Вы процитировали. Как-то оно не в духе тех времён. Скорее всего, никакого определения пространства элементарных исходов вообще не было. Да что там Паскаль или Лаплас. Я как-то работу Фреге читал, искал там формулировку неограниченной аксиомы свёртывания. Нашёл, конечно, но это же ужас какой-то… А это конец XIX — начало XX века.

[Лукомор]

Someone в сообщении #1167197 писал(а):

Более того, при решении учебных задач это определение часто используется

Вот я и попытался остаться в рамках этого определения.
Ну вот, для примера...
В конце прошлого века Уайлс доказал ВТФ.
Разумеется методами ультрасовременными.
И вот в соседнем разделе этого форума постоянно обретается группа лиц, которые говорят:"А мы не хотим доказательства ультрасовременными методами, мы хотим доказательство в рамках того инструментария, который был у самого Ферма... потому что он там что-то где-то на полях книги намекнул...".
Вот только хотеть и мочь - сильно разные вещи.
В этой теме ТС хотел решить свою задачу строго в рамках классического определения вероятности.
Не осилил.
Я прошел строго по его решению, в тех классических ограничениях, на которых ТС зациклился.
только я, в отличие от ТС, чуть поигрался с конструкцией доски, попробовал поглощающие стенки вместо отражающих, потом отражающие чуть сдвинул наружу, потом еще чуть сдвинул, "получилось красиво"...
Потом вместо шахматной доски 8х8 взял симметричные - 7х8 и 9х8, одинаковой высоты, разумеется, и погонял шашки туда-сюда, понял для себя, хотя бы, как и почему в этих случаях ведут себя вероятности.
И везде старался не выходить за те рамки, о которых говорил выше по тексту, установленные ТС-ом.
Вроде, получилось...

-- Вт ноя 08, 2016 17:02:11 --

Someone в сообщении #1167197 писал(а):

но я сильно сомневаюсь, что в те времена существовало такое определение,

Да, это я, кажется, переборщил...
Надо будет справиться в историческом очерке развития понятия вероятности, который я, кажется, видел в конце "Курса теории вероятностей" Б.В.Гнеденко...

[Лукомор]

Поскольку ТС опять где-то потерялся, рискну подвести итог темы.
В стартовом сообщении темы ТС приводит матрицу С:

$$C =\left( \begin{array}{ccccccc} 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2 & \cdots & 0 & 0 & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 1 \end{array} \right) $$

В этой матрице есть две ошибки:
левый верхний и правый нижний элементы матрицы должны равняться не единице, а двойке.
Причина ошибки - в рамках классического определения вероятности множество траекторий движения шарика и множество элементарных исходов не тождественны.
Введение дополнительных условий (стенок) изменяет количество возможных траекторий, но не изменяет количество элементарных событий, в силу того что в классической модели все элементарные события равновероятны, но не все траектории движения шарика равновероятны.
При столкновении шарика с гвоздиком вероятности дальнейшего движения шарика влево и вправо равновероятны, при ударе о стенку шарик изменяет направление своего движения с вероятностью 1.
Из двух приведенных решений первое - правильное.
Согласно второго решения, шарик, ударившись об стенку изменяет направление своего движения на противоположное с вероятностью 1/2. Действие, соответствующее второй половинке вероятности никак не определено, хотя можно домыслить, что с вероятностью 1/2 шарик поглощается стенкой.

[B@R5uk]

Лукомор в сообщении #1167424 писал(а):

левый верхний и правый нижний элементы матрицы должны равняться не единице, а двойке.

Я думаю, что это не верно. Двойками должны быть единицы в первой и последней стоках, а сумма каждой стоки должна быть постоянной. То есть надо исправить четыре элемента, а не два. Тогда собственному значению матрицы, равному единице, будет соответствовать вектор с равными координатами (все равны единице, например, если без нормировки). И да, перед матрицей не хватает множителя одной четвёртой.

[Лукомор]

B@R5uk в сообщении #1167462 писал(а):

Я думаю, что это не верно. Двойками должны быть единицы в первой и последней стоках, а сумма каждой стоки должна быть постоянной. То есть надо исправить четыре элемента, а не два. Тогда собственному значению матрицы, равному единице, будет соответствовать вектор с равными координатами (все равны единице, например, если без нормировки). И да, перед матрицей не хватает множителя одной четвёртой.

Да, Вы правы, спасибо за поправку!

(Оффтоп)

А я уже который раз в этой теме несу какую- то чушь, хотя подразумевался именно Ваш вариант.
Но идея была в том, что в записи матрицы есть ошибка.
А эта ошибка в свою очередь проистекает из ошибки в методологии.

[vamoroz]

Уважаемые участники дискуссии
Выражаю признательность за ваше активное участие в теме. Возможно, я что-то не понимаю. Поэтому информация от Вас помогает мне разобраться в затронутом вопросе. С чем-то я согласен, с чем-то нет, есть явные, с моей точки зрения, ошибки.
Уважаемый Лукомор
У Вас очень много ошибок. Например

Лукомор в сообщении #1166502 писал(а):

Именно эту задачу Вы и решили в вашем примере с домиком.
Но решили не правильно.
У Вас ведь ровно половина ударяющихся об стенки шариков отражается от них.
И ровно половина шариков остается возле стенок.
И именно эти $256-220=32$ шарика Вы и потеряли по дороге...

Уважаемый Лукомор. Как у Вас с арифметикой?
Вы повторяете ошибку, которую в сообщении #1140021 темы доска Гальтона сделал Евгений Машеров.
В предлагаемой математической модели считают не шарики, а траектории.
Обращаю внимание, что не шарики потеряны, а Вами придуманы несуществующие траектории.
Удивляет другое. Дискуссирующие с Вами математики по какой-то причине закрывают на все это глаза.

[Someone]

(vamoroz)

vamoroz в сообщении #1167647 писал(а):

Обращаю внимание, что не шарики потеряны, а Вами придуманы несуществующие траектории.
Удивляет другое. Дискуссирующие с Вами математики по какой-то причине закрывают на все это глаза.

Разумеется, Вы — единственный, кто видит истину. Куда уж профессиональным математикам до Вас! Ничего они не смыслят.

[Geen]

vamoroz в сообщении #1167647 писал(а):

В предлагаемой математической модели считают не шарики, а траектории.

Зачем?