Как распределятся падающие шарики

[Лукомор]

vamoroz в сообщении #1166185 писал(а):

Задача случайного блуждания с поглощением, в рамках рассматриваемой доски Гальтона, прекрасно решается с помощью классической модели.

Именно эту задачу Вы и решили в вашем примере с домиком.
Но решили не правильно.
У Вас ведь ровно половина ударяющихся об стенки шариков отражается от них.
И ровно половина шариков остается возле стенок.
И именно эти $256-220=32$ шарика Вы и потеряли по дороге...

[vamoroz]

Лукомор в сообщении #1166342 писал(а):

блуждания с отражением также "прекрасно решаются с помощью классической модели..."

Лукомор в сообщении #1165982 писал(а):

траектории не равновероятны.

Классическая вероятностная модель предусматривает равновероятность траекторий.
Уважаемый Лукомор
Определитесь.

[Someone]

vamoroz, Вы не ответили на вопрос:

Someone в сообщении #1166340 писал(а):

vamoroz в сообщении #1166185 писал(а):

Однако, в отдельных случаях, из соображения симметрии p=q=0,5, множество элементарных событий становится равномерным.

А какие элементарные исходы в случае биномиального распределения?

vamoroz в сообщении #1163664 писал(а):

В сообщении #1161854"] определено множество элементарных исходов, которое для рассматриваемого случая равно 6-ти элементам.

$$\Omega = \{ \omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4,\omega_5,\omega_6 \} $$

$\omega_1=(c,a,c,a)$
$\omega_2= (c,a,b,b)$
$\omega_3= (c,b,a,a)$
$\omega_4= (c,b,a,b)$
$\omega_5= (c,b,b,a)$
$\omega_6= (c,b,b,b)$
Согласно классической схеме определения вероятности элементарного исхода, его вероятность равна $P(\omega)=1/n=1/6$
Определим множество интересующих нас событий. Таких событий 5
A - шарик попал а накопитель A, $A=\omega_1\bigcup\omega_3 $
C - шарик попал а накопитель C, $C=\omega_2\bigcup\omega_4 \bigcup\omega_5 $
E - шарик попал а накопитель E, $D=\omega_6$
G - шарик попал а накопитель G, $G=\varnothing$
I - шарик попал а накопитель I, $I=\varnothing$
Определяем вероятности наступления событий $A, C, D, G, I$
$P(A)=P(\omega_1 )+ P(\omega_3 )=2/6=1/3$
$P(C)=P(\omega_2 )+P(\omega_4 )+P(\omega_5 )= 3/6=1/2$
$P(E)=P(\omega_6 )=1/6$
$P(G)=P(I)=0$

Два замечания.
1) Событие $\omega_1$ записано неправильно. Должно быть $\omega_2= (c,a,c,b)$.
2) События $\omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4,\omega_5,\omega_6 \$ не равновероятны. По той простой причине, что вероятность отскока вправо от гвоздика в два раза меньше, чем от левой стенки.

vamoroz в сообщении #1163664 писал(а):

Таким образом, функция плотности распределения шаров по 5-ти ячейкам, при условии начала движения из А1 при прохождении 4-х рядов гвоздиков составит $\{1/3,1/2,1/6,0,0\}$

У дискретных распределений вероятности нет плотности. Плотность есть только у абсолютно непрерывных распределений.

Общие замечания.

Вы однажды что-то спрашивали о теоретических исследованиях с помощью доски Гальтона, и я Вам отвечал, что таких исследований нет. Вы этот мой ответ потом ещё раз упоминали.
Поясню свой ответ. Дело в том, что любые эксперименты с физическими устройствами по определению называются экспериментальными исследованиями, и доска Гальтона не является исключением. (Исключение: если устройство моделирует логические рассуждения для вывода какого-то следствия из посылок. Сюда же можно отнести исчерпывающий перебор вариантов. Численные расчёты по какой-то математической модели не являются теоретическими исследованиями, это так называемые численные эксперименты.)

Прошу также не забывать, что то, что здесь обсуждается — это математическая модель идеальной доски Гальтона, в которой вероятности отскока шарика от гвоздика влево и вправо одинаковые. На практике изготовить такую доску чрезвычайно трудно, я даже сказал бы, что вряд ли возможно, и то, что обсуждается — это не более чем учебная задача. Чтобы приблизиться к идеалу, нужно гвоздики заменить шестиугольными плашками с узкими каналами между ними для прохода шариков, до микронов выверять все размеры, запускать шарики строго по одному и соблюдать кучу всяких предосторожностей. То, что показано на картинке, на самом деле ещё не идеал.

Как уже говорилось, доска Гальтона — не более чем демонстрационное устройство и источник учебных задач.

[Лукомор]

vamoroz в сообщении #1166737 писал(а):

Классическая вероятностная модель предусматривает равновероятность траекторий.
Уважаемый Лукомор
Определитесь.

К моему глубокому сожалению, это не возможно.
Ибо, наука вообще, и, тем более, такой ее архисложный отдел, как Теория Вероятностей, имеет парадоксальный характер...
Попытаюсь объяснить этот тезис.
С одной стороны, вроде бы, да! Мы можем, хотя бы и формально, составить множество элементарных исходов, которое в вашем случае (я имею в виду все тот же "домик Гальтона-vamoroz-а с восемью рядами "гвоздиков") будет состоять, кстати, из
$N=2^8=256 $ элементарных исходов.
Вероятность любого из них будет, естественно, в соответствии с классической теорией, равна $P(E_i)=1/N=1/256$.
Однако, для многих задач, нет необходимости опускаться до элементарных исходов.
Достаточно определить любую полную группу событий, не обязательно элементарных, но обязательно несовместных, т.е. таких, что
при любом испытании обязательно произойдет одно из них.
Для вашей задачи такой полной группой событий , например, может быть попадание шарика в один из отсеков в нижней части доски Гальтона.
Каждое из таких сложных событий будет составлено из различного числа элементарных, а посему они будут иметь различные вероятности.
При этом важно, чтобы сумма вероятностей всех событий, составляющих полную группу равнялась единице, а не 55/64, как это получилось в вашем решении.

[Someone]

Добавлю.

Лукомор в сообщении #1166806 писал(а):

Достаточно определить любую полную группу событий, не обязательно элементарных, но обязательно несовместных, т.е. таких, что
при любом испытании обязательно произойдет одно из них.

А поскольку эта полная группа событий удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к элементарным исходам, то мы имеем полное право принять её за множество элементарных исходов.

Наконец, представьте себе, что доска Гальтона сделана с непрозрачным корпусом, через который её внутреннее устройство невидимо. Есть только одно отверстие вверху и ряд отверстий внизу. Мы насыпаем шарики в верхнее отверстие, а они высыпаются через нижние. Что мы в таком случае будем считать элементарными исходами?

[Лукомор]

Someone в сообщении #1166824 писал(а):

А поскольку эта полная группа событий удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к элементарным исходам, то мы имеем полное право принять её за множество элементарных исходов.

Удовлетворяет, но не всем, однако в этом нет необходимости, достаточно рассматривать любую полную группу событий...

Someone в сообщении #1166824 писал(а):

Наконец, представьте себе, что доска Гальтона сделана с непрозрачным корпусом, через который её внутреннее устройство невидимо. Есть только одно отверстие вверху и ряд отверстий внизу. Мы насыпаем шарики в верхнее отверстие, а они высыпаются через нижние. Что мы в таком случае будем считать элементарными исходами?

Да ничего не будем.
Будем пользоваться понятием полной группы событий.

[Лукомор]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #1166824 писал(а):

Наконец, представьте себе, что доска Гальтона сделана с непрозрачным корпусом, через который её внутреннее устройство невидимо. Есть только одно отверстие вверху и ряд отверстий внизу. Мы насыпаем шарики в верхнее отверстие, а они высыпаются через нижние. Что мы в таком случае будем считать элементарными исходами?

Вот почему-то химики не называют воду, углекислоту, и пр. вещества, получающиеся в ходе различных реакций разложения - химическими элементами... Не принято...

[Someone]

Лукомор в сообщении #1166828 писал(а):

Удовлетворяет, но не всем

А какому не удовлетворяет?

Лукомор в сообщении #1166892 писал(а):

Вот почему-то химики не называют воду, углекислоту, и пр. вещества, получающиеся в ходе различных реакций разложения - химическими элементами... Не принято...

Вода и другие упомянутые Вами вещества не удовлетворяют принятому в химии определению химического элемента. Поэтому и не называют. А вовсе не потому, что "не принято".

[Лукомор]

Someone в сообщении #1166910 писал(а):

А какому не удовлетворяет?

Равновозможности элементарных исходов!

Цитата:

Итак, пусть исходы некоторого испытания, образующие полную группу событий, равновозможны и число их конечно. Такие исходы называются элементарными исходами (элементарными событиями).

Ну вот так получилось, что не все наборы событий, пусть даже попарно несовместных и составляющих полную группу событий, удовлетворяют принятому в теории вероятностей определению множества элементарных событий...

[Someone]

Лукомор в сообщении #1166922 писал(а):

Someone в сообщении #1166910 писал(а):

А какому не удовлетворяет?

Равновозможности элементарных исходов!

Тогда получится, что не во всех экспериментах есть множество элементарных исходов. Например, если Вы бросаете кривую монету и интересуетесь, какой стороной она упадёт, то Вы не сможете взять в качестве множества элементарных исходов естественное двухэлементное множество.

Лукомор в сообщении #1166922 писал(а):

Цитата:

Итак, пусть исходы некоторого испытания, образующие полную группу событий, равновозможны и число их конечно. Такие исходы называются элементарными исходами (элементарными событиями).

Ну вот так получилось, что не все наборы событий, пусть даже попарно несовместных и составляющих полную группу событий, подпадают под определение множества элементарных событий...

Где это Вы такое определение откопали?

[tolstopuz]

Лукомор в сообщении #1166922 писал(а):

Итак, пусть исходы некоторого испытания, образующие полную группу событий, равновозможны и число их конечно. Такие исходы называются элементарными исходами (элементарными событиями).

Ну с ТС-то все понятно - там рация на бронетранспортере, но от вас я не ожидал, что вы на полном серьезе будете цитировать "Основы высшей математики для юристов". Хотя даже там чуть выше написано:

Цитата:

Начнем с классического метода вычисления вероятности. Оно основано на предположении о равновозможности событий, составляющих полную группу.

Начнем, да. На предположении, ага. А продолжения нет - юристам оно не надо. Теперь возьмите хотя бы Гмурмана:

Цитата:

Рассмотрим важный частный случай, когда все исходы равновозможны.

Да-да, частный. А теперь возьмите нормальный учебник, например, Ширяева:

Цитата:

Сделаем теперь следующий шаг, а именно припишем каждому элементарному событию (исходу, явлению) $\omega_i\in\Omega$, $I=1,\dotsc,N$, некоторый "вес", обозначаемый $p(\omega_i)$ (или $p_i$) и называемый вероятностью исхода $\omega_i$

[Лукомор]

Someone в сообщении #1166925 писал(а):

Тогда получится, что не во всех экспериментах есть множество элементарных исходов. Например, если Вы бросаете кривую монету и интересуетесь, какой стороной она упадёт, то Вы не сможете взять в качестве множества элементарных исходов естественное двухэлементное множество.

Ага! А количество пересечений графика функции с координатными осями зависит от толщины грифеля того карандаша, которым этот график рисуется!

-- Пн ноя 07, 2016 21:46:29 --

Someone в сообщении #1166925 писал(а):

Где это Вы такое определение откопали?

В интернете!

-- Пн ноя 07, 2016 21:48:48 --

tolstopuz в сообщении #1166934 писал(а):

но от вас я не ожидал, что вы на полном серьезе будете цитировать "Основы высшей математики для юристов"

Весьма польщён!
А ведь я не только не математик, но даже и не юрист...

[Лукомор]

tolstopuz в сообщении #1166934 писал(а):

Начнем, да. На предположении, ага. А продолжения нет - юристам оно не надо

Тут ведь вот какое дело.
Когда мы выбираем объект для случайного эксперимента, этот объект имеет объективные свойства, позволяющие априорно определить множество элементарных исходов вероятностного эксперимента.
Если мы говорим о монете, то множество элементарных исходов, наступающих при однократном подбрасывании её естественным образом может быть определено, как состоящим из двух элементарных исходов, поскольку у монеты две стороны.
Если мы выбираем для вероятностного эксперимента игральную кость, у которой шесть граней, то множество элементарных исходов (атомов) будет состоять из шести элементарных исходов, хотя для какой нибудь прикладной задачи может быть достаточно двух событий, составляющих полную группу, и не пересекающихся, например, одно событие - выпадение нечетного количества очков, и второе событие - выпадение чётного количества очков. Но такую полную группу событий как-то не принято называть множеством элементарных событий, поскольку в "конструкции" самой кости заложены шесть граней, и не заложены два, три или, скажем пять элементарных исходов, хотя такое количество событий вполне может составлять полную группу событий, причем весьма многими различными способами...

-- Пн ноя 07, 2016 23:03:32 --

Ну и применительно к задаче предложенной ТС, там ведь все прозрачно,и все считается, даже исходя из предположения равной вероятности элементарных исходов, и есть два решения, одно правильное, другое - с элементарной ошибкой,

(Оффтоп)

а вот поди ж ты, уже сколько времени никто на эту ошибку простыми человеческими словами указать не может. Или не хочет...
Сразу норовят на диком мустанге в пампасы умчаться.
А ведь казалось бы, чего проще: возьми шахматную доску, на первую горизонталь поставь по две шашки, на каждую из четырех черных клеток по две, итого восемь.
А теперь сделай этими шашками все семь возможных ходов, с первой горизонтали на вторую, да и спроси у топикстартера: "А где же у тебя, мил-человек, восьмая-то шашка?"

[Someone]

Лукомор в сообщении #1166936 писал(а):

Someone в сообщении #1166925 писал(а):

Тогда получится, что не во всех экспериментах есть множество элементарных исходов. Например, если Вы бросаете кривую монету и интересуетесь, какой стороной она упадёт, то Вы не сможете взять в качестве множества элементарных исходов естественное двухэлементное множество.

Ага! А количество пересечений графика функции с координатными осями зависит от толщины грифеля того карандаша, которым этот график рисуется!

??? Причём здесь толщина карандаша? У кривой монеты вероятности выпадения сторон разные. Поэтому события "выпадение стороны $A$" и "выпадение стороны $B$", в соответствии с вашими утверждениями, нельзя считать элементарными исходами.

Лукомор в сообщении #1166936 писал(а):

Someone в сообщении #1166925 писал(а):

Где это Вы такое определение откопали?

В интернете!

Давайте лучше возьмём нормальный учебник.

А. А. Боровков. Теория вероятностей. Москва, "Наука", 1986.

Начало первого параграфа первой главы.

Цитата:

Для математического описания эксперимента со случайными исходами нам потребуется прежде всего понятие пространства элементарных событий (или исходов), соответствующего рассматриваемому эксперименту. Таким пространством будем называть любое множество $\Omega$ взаимоисключающих исходов эксперимента такое, что каждый интересующий нас результат эксперимента может быть однозначно описан с помощью элементов этого множества.
…
Рассмотрим конечные или счётные пространства элементарных событий $\Omega$. Это так называемые дискретные пространства. Элементы пространства $\Omega$ мы будем обозначать буквой $\omega$ и называть их элементарными событиями (или элементарными исходами).
Само понятие пространства элементарных событий математически является неопределяемым — оно исходно, так же как понятие точки в геометрии. Конкретная природа $\Omega$ нас, как правило, интересовать не будет.
Событием мы будем называть любое подмножество $A\subseteq\Omega$ элементов из $\Omega$ (событие $A$ произошло, если произошло какое-либо из элементарных событий $\omega\in A$.
…
Говорят, что заданы вероятности элементарных событий, если на $\Omega$ задана неотрицательная числовая функция $\mathbf P$ такая, что $\sum\limits_{\omega\in\Omega}\mathbf{P}(\omega)=1$ (говорят также, что функция $\mathbf P$ задаёт на $\Omega$ распределение вероятностей).
Вероятностью события $A$ называется число

$$\mathbf{P}(A)=\sum\limits_{\omega\in A}\mathbf{P}(\omega).$$

…

Как видите, нет никаких упоминаний о том, что элементарные исходы должны быть равновероятными. Более того, вероятности исходов задаются произвольной функцией, удовлетворяющей лишь двум условиям: её значения неотрицательны, и их сумма равна $1$.

Предупреждение. Если множество элементарных исходов несчётно, то определения усложняются.

[Лукомор]

Someone в сообщении #1166984 писал(а):

Как видите, нет никаких упоминаний о том, что элементарные исходы должны быть равновероятными. Более того, вероятности исходов задаются произвольной функцией, удовлетворяющей лишь двум условиям: её значения неотрицательны, и их сумма равна $1$.

Да я все это знаю, понимаю правильно, и, собственно, не я начал эту тему, да еще и в разделе "Помогите решить/разобраться".
Когда мне что-то непонятно, я тут открываю темы, и честно признаюсь: "Дурак, не понимаю, помогите!"
И мне все понятно и доходчиво раскладывают по полочкам.
В этой же теме я искренне хотел помочь топикстартеру, но сам попал под перекрестный огонь двух Заслуженных участников.
Понятно, что уже после появления аксиоматики А.Н. Колмогорова, классический подход к определению вероятности через равновероятные элементарные события (атомы) стал не актуален. А ведь он был.
Но вот теперь топикстартер хочет, чтобы все было чинно-благородно, и чтобы элементарные события были равновероятными, и чтобы с рюшечками. ОКей, мы и так можем, можем, хотя и нудно это, и можно намного проще, без этих равновероятных штучек. Но мне так интереснее, когда находясь в системе понятий оппонента, не выходя за его рамки, найти его ошибки.
И я добросовестно прорешал задачу, предложенную ТС, разными способами, и придумал еще несколько аналогичных задач, и их тоже порешал, и нашел ошибку в решении ТС, точнее не столько в решении, сколько в подходе в целом.
И что я делаю не так?!

-- Вт ноя 08, 2016 00:48:28 --

Someone в сообщении #1166984 писал(а):

У кривой монеты вероятности выпадения сторон разные. Поэтому события "выпадение стороны $A$" и "выпадение стороны $B$", в соответствии с вашими утверждениями, нельзя считать элементарными исходами.

И все равно, у кривой монеты две кривых стороны, а у кривой игральной кости - шесть кривых граней!
И не наоборот!
И для кривой монеты все равно будет два элементарных исхода, с разными вероятностями, пусть $p$ и $q$, причем $p+q=1$.
А для кривой кости все равно будет шесть элементарных исходов, пусть и с разными вероятностями $p_1...p_6$.
А вот события
$A=(p_1\cup p_3 \cup p_4)$
$B=(p_2\cup p_6)$
$C=(p_5)$
составляют полную группу событий, и вполне могут составлять вероятностное пространство для какой-то задачи, но имеют в теории другое название - сложные события, или даже просто события, в отличие от элементарных исходов, из которых они состоят.
Это все, конечно, ИМХО!