Как распределятся падающие шарики

[B@R5uk]

Потому что шарик один, а траекторий у него много. Жаль только, что не все они равновероятны. Поэтому матричный подход с пересчётом вероятностей на каждом ряде штырьков гораздо практичнее.

[Лукомор]

(Оффтоп)

vamoroz в сообщении #1167647 писал(а):

Уважаемый Лукомор. Как у Вас с арифметикой?

С арифметикой у меня всегда было "отлично"!
А Вы с какой целью интересуетесь?!
Да, Вы не огорчайтесь, пробелы в арифметике я берусь помочь Вам устранить...

-- Чт ноя 10, 2016 18:47:54 --

(Оффтоп)

vamoroz в сообщении #1167647 писал(а):

Вы повторяете ошибку, которую в сообщении #1140021 темы доска Гальтона
сделал Евгений Машеров.

Ну и где там ошибка? Я - не вижу!
У Вас - вижу ошибку, у других участников - все правильно, хотя решения - разные.
Еще вижу ошибку у Лукомора, там где он насчитал аж два элементарных события вместо 256, но я уже давно исправился, и за эту нелепость извинился.

-- Чт ноя 10, 2016 18:50:57 --

vamoroz в сообщении #1167647 писал(а):

В предлагаемой математической модели считают не шарики, а траектории.

Правильно!
Хотя можно взять 256 шариков и запустить их так, чтобы ни одна траектория не повторилась.

-- Чт ноя 10, 2016 19:06:26 --

vamoroz в сообщении #1167647 писал(а):

Обращаю внимание, что не шарики потеряны, а Вами придуманы несуществующие траектории.

Я же вам предлагал варианты:
1. Заменить отражающие стенки на поглощающие - посмотреть, что будет с вероятностями, и с количеством траекторий в этом случае.
2. Отражающую стенку отодвинуть наружу от крайнего гвоздика, например , на 3/4 , а потом на 1/4 расстояния между гвоздиками.
И посмотреть: А что будет с траекториями? И обязательно удивиться при этом!
А потом вдруг понять: что будет с количеством траекторий при последующих приближениях стенки к крайнему гвоздику?.
И что будет с количеством траекторий, когда отражающая стенка упрется, наконец, в крайний гвоздик?
И почему так получается???

-- Чт ноя 10, 2016 19:13:27 --

vamoroz в сообщении #1167647 писал(а):

Вами придуманы несуществующие траектории.

Так, мне это начинает надоедать!
А ну-ка, выкиньте на время ваши все стенки, и скажите: сколько элементарных исходов будет в треугольной доске Гальтона с восемью горизонтальными рядами гвоздиков?

[Лукомор]

Ну и еще вопрос, я его Вам здесь задавал, в ваше отсутствие, поэтому повторяю:
В крайнем горизонтальном ряду шахматной доски - четыре черных клетки (b8, d8, f8, и h8 - угловая).
поставим на каждую из четырех клеток по две шашки.
Итого - восемь шашек.
А теперь каждую шашку будем аккуратно передвигать с восьмой горизонтали на седьмую,
следя за тем, чтобы ни одна из траекторий не повторилась.
С каждой не угловой клетки одна шашка уйдет вниз-влево, другая вниз-вправо.
b8 - a7
b8 - c7
d8 - c7
d8 - e7
f8 - e7
f8 - g7
С угловой клетки h8 одна шашка пойдет h8 - g7.
На этом все семь возможных различных траекторий закончились.
Внимание, вопрос знатокам!
Куда денется вторая шашка с углового поля h8 ???

(Оффтоп)

(говорят, впрочем это не достоверный факт, что этот вопрос однажды задал на балу поручик Ржевский.
Первым на вопрос отреагировал гусарский полковник бессмертной фразой:"Господа гусары - МОЛЧА-А-АТЬ!!!" )

-- Чт ноя 10, 2016 20:06:52 --

(Оффтоп)

vamoroz в сообщении #1167647 писал(а):

Уважаемый Лукомор
У Вас очень много ошибок.

Цитата:

"А чего сразу Лукомор?!"
(с) Лукомор.

Это совершенно не важно, сколько у меня ошибок!
Я внимательно слежу за тем, чтобы их было четное число!
Тогда они компенсируются, и на правильность ответа не влияют!
А у Вас ошибка одна, понимаете, - одна!!!

[Лукомор]

vamoroz в сообщении #1167647 писал(а):

Уважаемый Лукомор. Как у Вас с арифметикой?

У Вас с со сложением дробей как-то не очень...

vamoroz в сообщении #1137884 писал(а):

Уважаемый svv
Выполняю Вашу просьбу и публикую значения вероятностей.

Желтым цветом отмечены ошибочные, с моей точки зрения, значения в Вашей таблице.

На рисунке, результат в клеточке В6 у Вас почему-то:
$\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{16}=\frac{5}{30}$
А в клеточке D6:
$\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{16}+\frac{1}{2}\cdot\frac{6}{16}=\frac{10}{30}$
Вот такая вот занимательная арифметика...

vamoroz в сообщении #1137884 писал(а):

Обращаю внимание на то, на клетку B6 таблицы можно попасть только 5-ю способами. Перечисляю их
1. E1-D2-C3-B4-A5-B6
2. E1-F2-E3-D4-C5-B6
3. E1-D2-E3-D4-C5-B6
4. E1-D2-C3-D4-C5-B6
5. E1-D2-C3-B4-C5-B6

Если Вы найдете 6-ой способ попадания на B6, то я вынужден согласиться с Вашим расчетом.

Ну если присмотреться внимательнее, то есть и шестой способ попадания на В6:
6. $E1-D2-C3-B4-A5-(B6)^\prime$
Если считать, что способ №1 - отражение от крайнего гвоздика вправо,
То способ №6 - отражение от крайнего гвоздика влево и, от стенки, вправо.
Хотя формально они совпадают, но это две принципиально разные траектории....
Отодвиньте чуть чуть стенку от гвоздика, и траектории разойдутся, их уже будет две.
Вероятность первого способа равна 1/2, и вероятность шестого способа равна 1/2, но это в классике.
А так-то да, можно считать что это одна траектория - просто отражение с вероятностью единица.
У Вас же совершенно третий вариант.
Шарик попав на А5 в Вашей модели просто отражается с вероятностью 1/2.
И все! Второй половинки вероятности нету у Вас на краях!

[tolstopuz]

Тут есть еще один смешной момент.

ТС утверждает, что вероятность попадания шарика в клетку $E7$ равна $20/60$, то есть из трех миллионов запущенных шариков в нее попадет примерно миллион.

Проведем маленький эксперимент: возьмем молоток и гвозди и расширим шестой и седьмой ряды, чтобы пирамида стала неусеченной. Запустим еще три миллиона шариков. Что мы будем наблюдать по мнению ТС? Непостижимым магическим образом клетка $E7$ узнала о существовании новых путей, вероятность попадания в нее стала $20/64$, и в нее попадет не миллион, а примерно $937500$ шариков!

Ура, мы только что пронаблюдали квантовомеханический аспект макроскопической системы. Фейнмановские интегралы по траекториям имеют гораздо более широкую область применения, чем кажется на первый взгляд.

[Лукомор]

(Оффтоп)

tolstopuz в сообщении #1167974 писал(а):

возьмем молоток

Не спортивно!
Молотком-то я любую вероятность отрихтую... до состояния достоверности...

-- Чт ноя 10, 2016 22:55:53 --

(Оффтоп)

vamoroz в сообщении #1167647 писал(а):

Возможно, я что-то не понимаю. Поэтому информация от Вас помогает мне разобраться в затронутом вопросе.

Кстати, сегодня достаточно круглая дата - ровно девять месяцев с того дня, когда вопрос был Вами впервые затронут...
Пора бы уже и родить... истину какую-нибудь...

-- Чт ноя 10, 2016 23:24:10 --

(Оффтоп)

vamoroz в сообщении #1167647 писал(а):

Удивляет другое. Дискуссирующие с Вами математики по какой-то причине закрывают на все это глаза.

И это вы утверждаете после того, как дискутирующие со мной математики буквально размазали меня по всему вероятностному пространству?!
Впрочем, я сам в этом виноват, наговорил тут всяческих глупостей...

[vamoroz]

Уважаемый tolstopuz
В свое время Вы предложили

tolstopuz в сообщении #1165559 писал(а):

чтобы закончить этот многомесячный бессмысленный разговор, я могу дописать программу, чтобы она считала каждый ряд.

Хочу поинтересоваться, - не передумали ли Вы? А может быть у Вас не получается равномерное распределение?
При полном отсутствии статистики, наличие программы, которая имитирует падение шарика в доске Гальтона, в правильности которой не сомневаются «две противоположные точки зрения», - единственный выход. Пока такой программы нет.

[Toucan]

Тема закрыта в связи нежеланием (или неспособностью) ТС конструктивно реагировать на аргументацию собеседников.

[vamoroz]

Вашему вниманию предлагается бесконечное клетчатое поле шириной в 9 клеток(A,B,C,D,E,F,G,H,I). В первом ряду этого поля, на клетках A1, C1, E1, G1, I1 произвольным образом расположим некоторое количество фишек, которые будем перемещать из ряда в ряд по заранее оговоренным правилам.

1. Все фишки ряда перемещаются на следующий ряд.
2. В нечетном ряду фишки могут находиться в столбцах A,C,E,G,I.
3. В четном ряду фишки могут находиться в столбцах B,D,F,H.
4. Из столбцов B,C,D,E,F,G,H половина фишек, находящихся на клетке перемещается в левый столбец, а другая половина в правый.
5. Все фишки из столбца А перемещаются в столбец B.
6. Все фишки из столбца I перемещаются в столбец H.

Расположим 32 фишки в первом ряду так (4,8,8,8,4). Данное обозначение говорит, что на клетках A1 и I1 находятся по 4 фишки, а на клетках C1, E1, G1 по 8. Легко заметить, что перемещая фишки по описанному детерминированному алгоритму, распределение фишек в нечетных рядах не изменится.

Введем в задачу элемент случайности и каждую фишку из столбцов B,C,D,E,F,G,H будем перемещать в соседний левый столбец с вероятностью 0,5. Соответственно, с вероятностью 0,5 она попадает в правый столбец. Нас так же будет интересовать распределение фишек в нечетных строках.

Применяя закономерности теории вероятностей, можно получить точно такое же распределение, как и при детерминированном процессе. Следовательно, фактор случайности для данной задачи не существенен.

Так ли это?

[mihaild]

vamoroz в сообщении #1240632 писал(а):

4. Из столбцов B,C,D,E,F,G,H половина фишек, находящихся на клетке перемещается в левый столбец, а другая половина в правый.

А если там было нечетное число фишек?

vamoroz в сообщении #1240632 писал(а):

Применяя закономерности теории вероятностей, можно получить точно такое же распределение, как и при детерминированном процессе.

Что за закономерности? И как вы получаете?
Вот у меня из конфигурации $(0,0,2,0,0)$ по вашим правилам во втором ряду получается по фишке в $D$ и $F$, а если брать случайно - то соответственно с вероятностью $\frac{1}{2}$ такое, а с вероятностями по $\frac{1}{4}$ обе в одном и том же.

[atlakatl]

vamoroz в сообщении #1240632 писал(а):

Так ли это?

Конечно нет.
В п.4 налево идёт ровно половина, а с введением вероятности - половина в среднем. Эволюция в первом случае всегда одинаковая, и всегда разная во втором.

[vamoroz]

mihaild в сообщении #1240634 писал(а):

vamoroz в сообщении #1240632 писал(а):

4. Из столбцов B,C,D,E,F,G,H половина фишек, находящихся на клетке перемещается в левый столбец, а другая половина в правый.

А если там было нечетное число фишек?

Хороший вопрос. Для нечетного числа фишек правила не определены. Но это не значит, что правила не работают для случая (4,8,8,8,4), который предлагается рассмотреть в качестве примера.

mihaild в сообщении #1240634 писал(а):

vamoroz в сообщении #1240632 писал(а):

Применяя закономерности теории вероятностей, можно получить точно такое же распределение, как и при детерминированном процессе.

Что за закономерности? И как вы получаете?

Я имею в виду стохастическую матрицу перехода
$M =\left( \begin{array}{ccccc} 1/2 & 1/2 & 0 & 0 & 0 \\ 1/4 & 1/2 & 14 & 0 & 0\\ 0 & 1/4 & 1/2 & 1/4 & 0\\ 0 & 0 & 1/4 & 1/2 & 1/4\\ 0 & 0 & 0 & 1/2 & 1/2 \end{array} \right) $ и стационарное распределение 32 фишек при их случайном перемещении .

atlakatl, полностью с Вами согласен. Однако, теоретические расчеты для распределения (4,8,8,8,4) говорят обратное.

[atlakatl]

vamoroz в сообщении #1240714 писал(а):

Однако, теоретические расчеты для распределения (4,8,8,8,4) говорят обратное.

Теоретические расчёты полезно проверять практикой:

В первом случае обычная "мигалка" (Конвеевский термин), а во втором - что угодно. Одну из возможностей я привёл.
И да, будете по ходу разговора "уточнять" правила, не забывайте, что Вы это делаете a posteriori.

[vamoroz]

atlakatl , прошу прощение за «уточнение».
С таблицей «детерминированная» полностью согласен.
С таблицей «случайная» ...
Предположу, что вы в ней привели по своему разумению 9 вариантов распределения 32-х фишек по 5-ти участкам.
Меня же интересует стационарное распределение. Расчеты показывают, что это (4,8,8,8,4).

[atlakatl]

vamoroz в сообщении #1240724 писал(а):

вы в ней привели по своему разумению 9 вариантов распределения 32-х фишек по 5-ти участкам

Я читал Ваш первый коммент и понял правила. Никакого "своего разумения" я не демонстрирую.
Я:
1. Перемещаю фишки из ряда в ряд, - цитата из Вас.
2. При этом перемещаю фишки из центральных 7 столбцов вправо и влево с p=1/2.
Назовите ряд - я их перенумеровал - и конкретный столбец, где я действовал не по правилам, а по "разумению".
И "уточнениями" называйте изменение своих правил, а не оценку моих действий. - Как и должно быть.