2)
отрезок содержит одну точку
.
Такой случай не возможен (см. внимательно определение отрезка).
Согласно определению 8, второй случай невозможен
мне стыдно что я такое просмотрел.
Контринтуитивно, да?
Ага.
В общем, 16 и 17 задачи оказались сложнее чем я думал, и я решил сначала все-таки разобраться с задачей 15, чтобы не оставлять пробелов.
Насчёт 15: попробуйте построить последовательность.
Попробовал. Получилось длинное (для меня) доказательство, и наверняка в нем найдутся недочеты, но я уже устал над ним работать 3 недели, так что выкладываю на суд. Пока я сделал только пункт а), второй пункт будет позже.
15. Доказать что между двумя различными действительными числами найдется
а) бесконечно много рациональных чисел;
б) бесконечно много иррациональных чисел.
Доказательство.
Пусть
,
.
а) Этапы доказательства:
1) найдем натуральные
такие что
;
2) с помощью
найдем рациональные
такие что
;
3) построим счетное множество рациональных чисел между
.
Поехали.
1) По аксиоме Архимеда мы можем найти натуральные
и
. Возьмем минимальные такие
и
(они существуют согласно зад. 16 листка 7). Заметим, что
, т.к. иначе
не было бы минимальным натуральным числом, большим
(т.е. было бы
).
Итак,
.
2) Теперь с помощью
найдем
такие что
.
Используем дихотомию. Алгоритм следующий.
Берем отрезок
и делим его на две равные части, после этого берем ту половину, которая содержит оба числа
. Далее снова делим полученный отрезок напополам и снова берем половину, содержащую
. Продолжаем деление до тех пор, пока середина текущего отрезка не окажется между
.
Покажем, что на каком-то шаге алгоритма делимый отрезок окажется меньше отрезка
, и его середина попадет между
.
Возьмем
. Далее рассуждения аналогичны доказательству задачи 14.а:
такое, что
где
-- длина отрезка после
-го деления. Возьмем минимальное такое
. Пусть
-- меньший и больший концы делимого отрезка соответственно после
-го деления исходного отрезка
пополам, и пусть
,
. Тогда выполнено
Выводим из этих двух неравенств:
Таким образом,
, т.е. середина отрезка, полученного после
-го деления отрезка
пополам, будет лежать между
и
.
Пусть
,
(т.е. возьмем правую половину отрезка при следующем делении). Тогда
.
Покажем, что продолжив работу алгоритма, на каком-то шаге
правый конец
также окажется между
. Для этого достаточно повторить рассуждения выше для "внешних" чисел
и "внутренних" чисел
.
Обозначим для удобства
,
. Итак,
, где
(все числа
рациональные, потому что получены из натуральных
с помощью конечного числа суммирований и делений).
3) Продолжим алгоритм с полученным отрезком
, беря после каждого деления любую из двух частей отрезка (например, всегда левую). Обозначим счетное множество (рациональных) середин делимого отрезка
:
Аналогично задаче 14.а доказывается, что
,
.
Таким образом,
.
-- 02.11.2016, 14:24 --А насчет второго пункта
б) бесконечно много иррациональных чисел.
у меня мысль взять найденные
из предыдущего пункта и построить такое множество:
.