Теорема Ферма (частные случаи)

[vxv]

vxv в сообщении #772673 писал(а):

Уважаемый, $m$ - безусловно четное число для системы уравнений 7-8 в доказательстве (и это не мое желание). Вы же пытаетесь внедрить нечетное $m$ при $k=1$,

vxv в сообщении #771018 писал(а):

Вопрос 1. При каком значении $k$ числа $1k$, $2k$, $ak$, $bk$, $ck$, удовлетворяющие системе из уравнений (7) и (8) в доказательстве, могут образовать натуральный ряд и быть членами
натурального ряда (ведь нас интересуют только числа натурального ряда)?
Ответ:
При $k=1$, т .е. $k=1$, $m=2$, $a=a$, $b=b$, $c=c$.
(Если k больше 1, то k сразу сокращается до единицы в уравнениях (7) и (8) системы).

Это имеется в виду «в дано» на первой странице:
$\begin{cases}(ak)^3+(bk)^3=(ck)^3\\a^3+b^3=c^3\\(a/k)^3+(b/k)^3=(c/k)^3\end{cases} \Rightarrow a^3+b^3=c^3 \Rightarrow k=1 \Rightarrow$
Я, конечно же, не знаток.
Но четность или нечетность параметров должны определяться при $k=1$, чтобы принадлежать к необходимой числовой последовательности.
$\begin{cases}(ak)^3+(bk)^3=(ck)^3\\a^3+b^3=c^3\\a+b=c+2k\end{cases}$
Система исключает нечетные значения $m$ при $k=1$.
У нас система параметрических уравнений с областью допустимых значений всех ее элементов (ОДЗ) - натуральный ряд. Общий множитель чисел натурального ряда $k=1$.

[shwedka]

vxv в сообщении #1158215 писал(а):

Но четность или нечетность параметров должны определяться при $k=1$, чтобы принадлежать к необходимой числовой последовательности.
$\begin{cases}(ak)^3+(bk)^3=(ck)^3\\a^3+b^3=c^3\\a+b=c+2k\end{cases}$
Система исключает нечетные значения $m$ при $k=1$.
У нас система параметрических уравнений с областью допустимых значений всех ее элементов (ОДЗ) - натуральный ряд. Общий множитель чисел натурального ряда $k=1$.

Не годится. Одним и тем же символом $k$ обозначены два различных числа.
Докажите, что они равны, либо измените обозначения. До тех пор дальше не пойдете.

[shwedka]

vxv в сообщении #1158215 писал(а):

$\begin{cases}(ak)^3+(bk)^3=(ck)^3\\a^3+b^3=c^3\\(a/k)^3+(b/k)^3=(c/k)^3\end{cases} \Rightarrow a^3+b^3=c^3 \Rightarrow k=1 \Rightarrow$

Из этих уравнений, эквивалентных друг другу при любом ненулевом $k$, $k$ не определяется.

Цитата:

$a^3+b^3=c^3 \Rightarrow k=1 $

Доказательство отсутствует

[vxv]

shwedka в сообщении #1158250 писал(а):

vxv в сообщении #1158215

писал(а):
$\begin{cases}(ak)^3+(bk)^3=(ck)^3\\a^3+b^3=c^3\\(a/k)^3+(b/k)^3=(c/k)^3\end{cases} \Rightarrow a^3+b^3=c^3 \Rightarrow k=1 \Rightarrow$

Из этих уравнений, эквивалентных друг другу при любом ненулевом $k$, $k$ не определяется.

Цитата:

$a^3+b^3=c^3 \Rightarrow k=1 $

Доказательство отсутствует

Т.е. такая система уравнений является совместной при любых значениях $k$? И, следовательно, при $k=1$?..

И почему не определяется? Из третьего уравнения в системе следует. Неизвестная величина $k=x$ может быть только единицей, если натуральные параметры $a, b, c$ взаимно простые. Область допустимых значений исключает частное от деления таких параметров больше, чем на единицу. А в системе уравнений все должно быть идентично.

Уважаемаяshwedka
Чтобы мне не наступать на те же грабли, Вы согласны с утверждением?:
Выражение $a + b = c + 2k$ не является «исходным уравнением» в системе
$\begin{cases}a^3+b^3=c^3\\a+b=c+2k\end{cases}$,
т.к. сформировано из натуральных значений $a, b, c$ выражения $a^3 + b^3 - c^3$, которое в свою очередь может быть равным нулю только предположительно.

[shwedka]

vxv в сообщении #1158374 писал(а):

Т.е. такая система уравнений является совместной при любых значениях $k$? И, следовательно, при $k=1$?..

И при всех остальных ненулевых тоже. Например, при $k=666$. Поэтому из системы $k$ не определяется.
Вы не найдете $k$ из системы

$A+B=777,\\ Ak+Bk=777\tiimes k$

Цитата:

Неизвестная величина $k=x$может быть только единицей, если натуральные параметры $a, b, c$ взаимно простые. Область допустимых значений исключает частное от деления таких параметров больше, чем на единицу.

Где-то потребовано, что $ak,bk,ck$ взаимно простые? Почему так? Отвечайте!
Где-то потребовано, что $a/k,b/k,c/k$ - целые? Почему так? Отвечайте!

,

Цитата:

Вы согласны с утверждением?:
Выражение $a + b = c + 2k$ не является «исходным уравнением» в системе

Согласиться не могу, поскольку утверждение лишено смысла.
И снова, страшный грех.
символ $k$ обозначает два разных объекта.
1. Число, на которое Вы умножате и делите УФ3
2. $(a+b-c)/2$
Такое недопустимо.
В дальнейших Ваших постах критика будет начинаться и заканчиваться констатацией этого безобразия, если оно сохранится.
И не нужно фрагментарных исправлений. ПОмещайте Ваше 'доказательство' заново, с самого начала, до места остановки. Чтобы не путаться в версиях и поправках.

[vxv]

Уважаемая shwedka!
Прежде необходимо все же уточнить некоторые детали, поскольку Вы меня озадачили.
Я представил систему из трех параметрических уравнений, а Вы, в ответ, систему только из двух. Если к Вашей системе добавить третье уравнение из моей, то почему можно назвать 777/666 или 777/999, принадлежащими к ряду натуральных чисел?
И если это так, то можем ли мы сделать вывод, что для любых значений $x$ взаимно простые натуральные параметры $a, b, c$ (и связанные в сочетаниях с ними фиксированные числа натурального ряда), которые имеют каждый в своем составе множитель $1/x$, всегда остаются натуральными числами, как и при $x=1$ (т.е. $1=1/x$)?

И еще, Вы согласны с утверждением:
Явно здесь доказано для степени $n=3$ (а также для любых $n>3$), что
- любые натуральные числа $a, b, c$ из уравнения $a+b-c=m$, если $m=2$, не могут быть представлены в виде равенства $a^3+b^3=c^3$.
- любые натуральные числа $a, b, c$ из уравнения $(a+b-c)^3=m^3$, где $m$ - любое нечетное натуральное число (т.е. $m=1, 3, 5, 7, 9, …$), не могут быть представлены в виде равенства $a^3+b^3=c^3$.
Это следует из проведенного здесь анализа системы уравнений:
$\begin{cases}a^3+b^3=c^3\\a+b=c+m\end{cases}$
P.S. Сразу отмечу, что при этом обозначать никакие «объекты» символом $k$ абсолютно не требуется, чтобы обосновать это утверждение.

[ananova]

vxv в сообщении #1161599 писал(а):

Явно здесь доказано для степени $n=3$ (а также для любых $n>3$), что
- любые натуральные числа $a, b, c$ из уравнения $a+b-c=m$, если $m=2$, не могут быть представлены в виде равенства $a^3+b^3=c^3$.

Тут Вы правы. Это не интересный вывод, т.к. давно известен. А вот ниже... ?

vxv в сообщении #1161599 писал(а):

- любые натуральные числа $a, b, c$ из уравнения $(a+b-c)^3=m^3$, где $m$ - любое нечетное натуральное число (т.е. $m=1, 3, 5, 7, 9, …$), не могут быть представлены в виде равенства $a^3+b^3=c^3$.
Это следует из проведенного здесь анализа системы уравнений:
$\begin{cases}a^3+b^3=c^3\\a+b=c+m\end{cases}$

Не питаю иллюзий, но мне интересен анализ. Вы можете повторить его полностью ?

(Оффтоп)

Боюсь что сам, что-то упущу, если начну собирать в кучку.

[shwedka]

vxv в сообщении #1161599 писал(а):

которые имеют каждый в своем составе множитель $1/x$

Для целого $x$ слова
которые имеют каждый в своем составе множитель $1/x$
не имеют смысла.

vxv в сообщении #1161599 писал(а):

И еще, Вы согласны с утверждением:
Явно здесь доказано для степени $n=3$ (а также для любых $n>3$)!!!!!!!!!!!!!!!! никаких $n>3$!!!!!! , что
- любые натуральные числа $a, b, c$ из уравнения $a+b-c=m$, если $m=2$, не могут быть представлены в виде равенства $a^3+b^3=c^3$.
- любые натуральные числа $a, b, c$ из уравнения $(a+b-c)^3=m^3$, где $m$ - любое нечетное натуральное число (т.е. $m=1, 3, 5, 7, 9, …$), не могут быть представлены в виде равенства $a^3+b^3=c^3$.

Косноязычие зашкаливает. Возможно, Вы хотели сказать 'не могут удовлетворять равенству...', но Вам что-то помешало.

И опять
И не нужно фрагментарных исправлений. ПОмещайте Ваше 'доказательство' заново, с самого начала, до места остановки. Чтобы не путаться в версиях и поправках.

Тогда можно будет обсуждать, что доказано, а что нет.

vxv в сообщении #1161599 писал(а):

И если это так, то можем ли мы сделать вывод, что для любых значений $x$ взаимно простые натуральные параметры $a, b, c$ (и связанные в сочетаниях с ними фиксированные числа натурального ряда), которые имеют каждый в своем составе множитель $1/x$, всегда остаются натуральными числами, как и при $x=1$ (т.е. $1=1/x$)?

Но я понимаю, что Вы хотите сказать. и в чем у ВАс ошибка.

Если $a$ целое число, то $a/444$ уже не будет целым, но$ a$ по-прежнему целое.
Числа 3,4, 5 взаимно простые. Если их умножить на 33, то результат даст числа не взаимно простые,
но 3,4,5 по-прежнему взаимно простые. Что бы Вы с ними ни делали, результат действий моет оказаться целым, нецелым, комплексным, но числа 3,4,5 по-прежнему целые и взаимно простые.
Поэтому и мой вопрос, который Вы, в нарушение правил, проигнорировали.
Когда будет переписывать свое 'доказательство', не забудьте.

shwedka в сообщении #1158398 писал(а):

Цитата:

Цитата:

Неизвестная величина $k=x$может быть только единицей, если натуральные параметры $a, b, c$ взаимно простые. Область допустимых значений исключает частное от деления таких параметров больше, чем на единицу.

Где-то потребовано, что $ak,bk,ck$ взаимно простые? Почему так? Отвечайте!
Где-то потребовано, что $a/k,b/k,c/k$ - целые? Почему так? Отвечайте!

[shwedka]

vxv в сообщении #1161599 писал(а):

- любые натуральные числа $a, b, c$ из уравнения $(a+b-c)^3=m^3$, где $m$ - любое нечетное натуральное число (т.е. $m=1, 3, 5, 7, 9, …$), не могут быть представлены в виде равенства $a^3+b^3=c^3$.

В переводе на человеческий язык и со снижением уровня пафосности, это означает, что у гипотетического решения УФ3 число$ a+b-c$ не может быть нечетным. Да, не может. и это в состоянии доказать семиклассник.

[vasili]

Уважаемый vxv ! Из допущения равенства $a^3 + b ^3 = c^3$ для натуральных чисел $a,b,c$ следуют формулы Абеля, с учетом которых трехчлен $a+ d-c= m$, где $m = a_1b_1c_1$, числа $a_1, b_1, c_1$ - делители чисел $a,b,c$. Причем два (как минимум) из этих 3-х делителей больше 1 и одно из них четное.
Отсюда число m - четное и > 2.

[vxv]

vasili в сообщении #1161906 писал(а):

Из допущения равенства $a^3 + b ^3 = c^3$ для натуральных чисел $a,b,c$ следуют формулы Абеля, с учетом которых трехчлен $a+ d-c= m$, где $m = a_1b_1c_1$, числа $a_1, b_1, c_1$ - делители чисел $a,b,c$. Причем два (как минимум) из этих 3-х делителей больше 1 и одно из них четное.
Отсюда число m - четное и > 2.

Уважаемый vasili

Позвольте тогда встречный вопрос. Вы видите хоть какую-то связь между выражениями (1) и (2). И если видите, то какое из этих выражений является (по- Вашему) верным, а какое не верным, и как должно быть на самом деле?
$3(a+b)(ab-2xc)=(2x)^3$ (1)
$3(a_1+b_1)(a_1 b_1 - 2 c_1)=2^3$ (2)
Все в натуральных числах.
Для справки: Если обе части верного числового неравенства умножить (или разделить) на одно и то же положительное число $x$, то получится верное числовое неравенство (8 класс).

[vasili]

Равенство(2) точно ошибочное , так как правая часть его не делится на 3, а левая кратна 3.
В равенстве (1) число X имеет отношение к Решению уравнения ВТФ или это произвольное натуральное число?

[vxv]

vasili в сообщении #1164421 писал(а):

Равенство(2) точно ошибочное , так как правая часть его не делится на 3, а левая кратна 3.

Т.е. $3(a_1+b_1)(a_1 b_1 - 2 c_1)>2^3$ (2) для любых натуральных $a,b,c$ в таком сочетании.

vasili в сообщении #1164421 писал(а):

В равенстве (1) число X имеет отношение к Решению уравнения ВТФ или это произвольное натуральное число?

$x$ любое натуральное число, при котором выражение $3(a+b)(ab-2xc)$ - куб.

[vasili]

Если $x=\frac{a_1b_1c_1}{2}$ и $(c ,3) = 3$, то равенство (1) верно. В самом деле благодаря формуле Абеля

$3(a + b) =c_1^3$, а

$ab -2xc= ab -a_1b_1c_1c = ab -(a +b-c) c= ab -c(a +b) + c^2$ и

$a_1^3b_1^3 = (c-b)(c-a) = c^2 -c(a + b) + ab$, тогда $ab -2xc= a_1^3b_1^3$.

Таким образом

$3(a + b)(ab -2xc) = a_1^3b_1^3c_1^3 = (2x)^3$

[shwedka]

shwedka в сообщении #1161683 писал(а):

И опять
И не нужно фрагментарных исправлений. ПОмещайте Ваше 'доказательство' заново, с самого начала, до места остановки. Чтобы не путаться в версиях и поправках.
Тогда можно будет обсуждать, что доказано, а что нет