Теорема Ферма (частные случаи)

[vxv]

vxv в сообщении #1146524 писал(а):

$\sum\limits_{n=3}^{\infty}|a^n+b^n-c^n|$
Каждый член этого ряда в нашем случае представляет из себя первый член другого расходящегося ряда

vxv в сообщении #1149182 писал(а):

… и из чего следует важный логический вывод (или, если кто-то пока настаивает, предположение) о том, что ряд
$\sum\limits_{n=3}^{\infty}c^n-(a^n+b^n)$
не может быть знакопеременным и представляет из себя «классический» расходящийся ряд…

То есть
$\sum\limits_{n=3}^{\infty}|a^n+b^n-c^n|$
не отличается от
$\sum\limits_{n=3}^{\infty}c^n-(a^n+b^n)$,
поскольку выражение
$(a+b)^n=(c+2)^n$ для $n>2$
или (в виде примера)
$c^3-(a^3+b^3)=3(ab-cn)-2^3$
не определяется в натуральных числах, когда
$(a^3+b^3)>c^3$.

P.S. Легко предположить, что для общего доказательства ТФ, достаточно лишь доказать то, что уравнение $a^3+b^3=c^3$ не имеет натуральных решений $a, b$ и $c$, поскольку у нас
$\sum\limits_{n=3}^{\infty}c^n-(a^n+b^n)$
- расходящийся ряд.

[lasta]

vasili в сообщении #1117638 писал(а):

Уважаемый vxv! А вы проверяли правую часть (9), если $2k = a_1b_1c_1$, для 2 случая ВТФ вариант, когда $(c,3) = 3$, где $c-b =a_1^3$, $c-a =b_1^3$ и $3(a + b) = c_1^3$. В этом случае правая часть (9) равна нулю.

vxv в сообщении #1117677 писал(а):

Уважаемый vasili! Не проверял за ненадобностью.

ishhan в сообщении #1145705 писал(а):

Уважаемый vxv!
Дайте пжлста словесную формулу Вашего подхода к ВТФ, по возможности, с использованием минимального количества формул.

lasta в сообщении #1149433 писал(а):

Было бы странным, если бы указанная сумма последовательностей по выражению
с тремя степенями не увеличивалась с увеличением показателя (верхнего предела суммирования). Поэтому это утверждение ничего не доказывает.
Пусть существует решение УФ $(a,b,c)$ подставляем все Ваши выкладки и утверждаем, что такого решения не существует. При этом совершенно не важно, что за этими буквами скрывается. У Вас нет критерия разграничивающего целые и иррациональные числа. Коэффициенты Паскаля применимы к любым числам.

Уважаемый vxv, полное игнорирование этих вопросов показывает, что Вы не можете объяснить эти противоречия и все время ссылаетесь на формулы (9), (10), которые трактуете с нарушением основной теоремы арифметики.
Игнорирование противоречий показывает полную несостоятельность вашего доказательства.

[vxv]

vxv в сообщении #1150259 писал(а):

или (в виде примера)
$c^3-(a^3+b^3)=3(ab-cn)-2^3$
не определяется в натуральных числах, когда
$(a^3+b^3)>c^3$.

Извините, опечатка. Следует читать:
или (в виде примера)
$c^3-(a^3+b^3)=3(a+b)(ab-cm)-2^3$
не определяется в натуральных числах, когда
$(a^3+b^3)>c^3$.

[vxv]

Вариант доказательства частного случая для $n=3$ (методом логического следования):
Полагаем, что значения $a, b, c, m, k$ только натуральные числа.
Тогда следует одно из другого:
$a^3+b^3-c^3=0 \Rightarrow a^3+b^3=c^3 \Rightarrow a+b=c+m \Rightarrow \begin{cases} a^3+b^3=c^3\\a+b=c+m\end{cases} \Rightarrow m=2k \Rightarrow a+b=c+2k \Rightarrow \begin{cases}a^3+b^3=c^3\\a+b=c+2k\end{cases} \Rightarrow c^3-(a^3+b^3)=3(a+b)(ab-mc)-m^3 \Rightarrow 3(a+b)(ab-mc)= m^3 \Rightarrow 3(a+b)(ab-mc)=(2^3)(k^3) \Rightarrow 3(a+b)(ab-mc)/k^3=2^3 \Rightarrow m=2 \Rightarrow k=1 \Rightarrow 3(a+b)(ab-2c)=2^3$
Получили ложное утверждение, потому что:
$3(a+b)(ab-2c)=2^3$
не является равенством для натуральных $a, b, c$, потому что $8$ не содержит множитель $3$ (или проверяется простой подстановкой минимальных натуральных значений).
А поскольку из верного утверждения нельзя получить ложное утверждение, то утверждение, что уравнение
$a^3+b^3=c^3$
имеет натуральные решения $a, b, c$ является ложным.
Что и требовалось доказать.

P.S. $1 = 0 \Rightarrow 1 - 1 = 0 - 0 \Rightarrow 0 = 0$

-- 04.10.2016, 16:04 --

[Sender]

Никак не возьму в толк, откуда взялись вот эти переходы:

vxv в сообщении #1157199 писал(а):

$3(a+b)(ab-mc)/k^3=2^3 \Rightarrow m=2 \Rightarrow k=1$

[vxv]

Sender в сообщении #1157230 писал(а):

Никак не возьму в толк, откуда взялись вот эти переходы:

vxv в сообщении #1157199 писал(а):

$3(a+b)(ab-mc)/k^3=2^3 \Rightarrow m=2 \Rightarrow k=1$

Уважаемый Sender. Выберу два ответа: слишком простой и понятный (на мой взгляд). А дальше методом исключения… (не знаю читали ли Вы всю тему).
… $3(a+b)(ab-mc)= m^3 \Rightarrow 3(a+b)(ab-mc)=(2^3)(k^3) \Rightarrow 3(a+b)(ab-mc)/k^3=2^3 \Rightarrow m^3 = 2^3 \Rightarrow m=2 \Rightarrow k=1$ ...

Ряд натуральных чисел, в качестве ОДЗ, дополнительно определяется мною, как частный случай числовой последовательности с общим множителем ее элементов (размерным коэффициентом) равным $k$ или $1/k$. Для натурального ряда $k=1$.

[shwedka]

vxv в сообщении #1157480 писал(а):

(размерным коэффициентом) равным $k$ или $1/k$. Для натурального ряда $k=1$.

Не годится. Одним и тем же символом $k$ Вы обозначаете два различных объекта:
1. 'размерный коэффициент', что бы это ни значило.
При следующей оказии дадите определение 'размерного коэффициента'
2. Половину числа $m$
Такое недопустимо.
Измените обозначения и подробно объясните откуда взялось
$m=2$.

[ishhan]

Уважаемый vxv!

С интересом дочитал до места, где появляется уравнение:

vxv в сообщении #764041 писал(а):

$$a+b=c+m$$

тем самым вводится $m=a+b-c$ то, что обычно обозначают как $x+y-z$
И если одновременно рассматривать (7) и (8), то следует подставить $m=a+b-c$ в

$$3(a+b)(ab-mc)=(2^3)(k^3)$$

тогда, с учётом (7) получим формулу:

$$3(a+b)(c-a)(c-b)=(a+b-c)^3=(2^3)(k^3)$$

информативно более ёмкую и красивую
Все любители ВТФ3 уже давно согласны с тем, что она доказывает первый случай ВТФ3, а как у Вас со вторым случаем

[vxv]

shwedka в сообщении #1157487 писал(а):

Не годится. Одним и тем же символом $k$ Вы обозначаете два различных объекта:
1. 'размерный коэффициент', что бы это ни значило.
При следующей оказии дадите определение 'размерного коэффициента'
2. Половину числа $m$
Такое недопустимо.
Измените обозначения и подробно объясните откуда взялось
$m=2$.

Уважаемая shwedka
!
Дело в том, что «объект» $m=2k$ и «его половина» $1k$ оказались элементами (вторым и первым соответственно) одной и той же числовой последовательности (а $k$ только общим множителем ее элементов):
$1k, 2k, 3k, …, nk$,
которая после сокращения $k$ до единицы становится рядом натуральных чисел:
$1, 2, 3, …, n$,
Где $m=2$.
Поэтому необходимо в ТФ доказывать: являются ли «объекты» $a, b, c$ из $a^n+b^n=c^n$ тjже на самом деле элементами ряда натуральных чисел, когда $k=1$ и $m=2$, или нет.
Символ $k$ рассматривается мною исключительно, как общий множитель натуральных параметров $a, b, c, m=2k$ в системе параметрических уравнений (или элементов соответствующей числовой последовательности). Поэтому менять обозначения не требуется.
Не обозначил изначально параметры $a, b, c, m$ взаимно простыми (приходится иногда сокращать и идентифицировать, через «масштабирование единицы» или как свойство системы).
Проверка на совместность системы параметрических уравнений методом от противного ведется для $m=2$, т.е. для взаимно простых натуральных $a, b, c, m$ при $k=1$, как необходимого и достаточного случая ВТФ, с возможностью распространения доказательства (например, через расходящийся ряд) на любые значения $m=2k$ и параметры.
Все числа натурального ряда в совокупности являются взаимно простыми (т.е. имеют только один общий множитель $k=1$ или то, что называю «размерный коэффициент»).

-- 06.10.2016, 11:03 --

vxv в сообщении #1112275 писал(а):

$$\begin{cases}(ak)^n+(bk)^n=(ck)^n\\a^n+b^n=c^n\\a+b=c+2k\end{cases}$$

-- 05.04.2016, 10:41 --

Следует отличать в сочетаниях взаимно простых чисел их общий множитель (или размерный коэффициент $k=1$ числовой последовательности) от множителя отдельного составного числа из такого сочетания (остальные не делают это сознательно ИМХО).
В рассматриваемой в доказательстве системе параметрических уравнений для предположительно натуральных взаимно простых параметров $a,b,c$ (ОДЗ – натуральный ряд) неизвестной величиной $x$ (или $k$) может быть только единица (т.е. $k=1$).

-- 05.04.2016, 10:45 --

Такое у системы свойство.

[shwedka]

после сокращения k до единицы....

k это какое- то конкретное число. половина m.

Вам нужно немедленно определить, что значит "сократить последовательность" и доказать, что это сокращение можно делать.

[shwedka]

vxv в сообщении #1157683 писал(а):

Символ $k$ рассматривается мною исключительно, как общий множитель натуральных параметров $a, b, c, m=2k$

Вам следует ДОКАЗАТЬ,
что

Цитата:

$k$ как общий множитель натуральных параметров $a, b, c, m=2k$

совпадает с половиной числа
$m$, определяемого выше через $a+b=c+m$.

ТОЛЬКО после этого, Вы имеете право обозначать их одним символом.
Либо заявите, что рассматриваете только случай $m=2$,
а другие случаи рассмотрите когда-то потом.

[cmpamer]

Уважаемый vxv!
Насколько я понял, Вы каким-то образом (лично для меня недоступным пока для понимания) пришли к выводу, что $m=2. Т.е. фигурирующее в УФ число c всего на две единицы должно быть (может быть) меньше суммы двух других чисел (оснований степеней) из того же уравнения?
Т.е. если имеется контрпример к ВТФ ($a, b, c; n$), то соотношение между основаниями степеней этого контрпримера должно быть непременно таким $c=a+b-2$; (либо такой контрпример всякий раз можно построить из представленного)?
Если это так, то и скажите об этом прямо (сформулируйте как лемму, теорему) - ведь это прорыв. Ведь такое ограничение на c, которое по Вашему утверждению почти равно сумме $a+b$, очевидным образом не позволяет ему быть субъектом решения УФ для любой степени, большей двух (и чем больше степень - тем очевиднее). Слишком жирно для c быть почти равным сумме $a+b$, чтобы потом ещё в степени n быть в точности равным сумме n-ых степеней тех же чисел.
Если ещё чуть-чуть ужесточить условие, положив $m=1, то такое c не сможет стать решением даже для УФ второй степени.
Таким образом, вопрос один:
"$m=2" - это условие или следствие?
Если последнее, то хотелось бы понять - как оно получено.

[ishhan]

Уважаемые Господа!
К сведению.
Поскольку речь идёт о уравнении:

$$a^n+b^n=c^n$$

то m

$$m=a+b-c$$

делится на показатель степени n, если он простое число, вследствие малой теоремы Ферма.

cmpamer в сообщении #1157809 писал(а):

Таким образом, вопрос один:
"$m=2$" - это условие или следствие?

[vxv]

Уважаемые участники форума, убедительно прошу не торопить. У меня есть варианты ответов, но их нужно обдумать.
ishhan
Вы, похоже, захватываете тему...

[shwedka]

vxv в сообщении #1157839 писал(а):

ishhan
Вы, похоже, захватываете тему...

Зря Вы так! как раз, очень по существу.
Для степени 3, которой Вы обязаны заниматься,
число $m$ обязано делиться на 3, а, поскольку оно четное, оно делится на 6. ПОэтому Ваше $m=2$
исключается.