juna писал(а):
Пока что додумывал один Профессор Снэйп, а вы видимо изволили с ним согласиться.
Поэтому, пусть лавры увенчают голову достойного.
Ну, не знаю, какими там лаврами Вы собираетесь меня увенчивать. В общем-то,
AD сделал довольно правильное замечание. Если Вы хотите, чтобы мы объяснили Вам что-либо, сообщите заранее в чётких недвусмысленных выражениях, какой результат Вас устроит. А то получается игра в одни ворота... скажи мне то, не знаю что, а я по любому поводу буду недоволен.
Я так понял, что Вы хотите "симметрии" и "равноправия всех чисел" при оценке близости множеств. Ну что ж, будет Вам желаемое равноправие.
На натуральных числах существует естественный порядок:
. Согласно этому порядку мы вводим метрику указанным мною выше способом. В этой метрике действительно нет "равноправия", поскольку число ноль занимает более привилегированное положение по сравнению, скажем, с числом
. Число
, если можно так выразиться, учитывается с коэффициентом
, а число
--- с гораздо меньшим коэффициентом
.
Но ведь порядок на натуральных числах можно задать и по другому. Например, поменять местами сотню с нулём:
И если мы будем вводить метрику сообразно с этим порядком, то уже сотня будет учитываться с коэффициентом
, а
--- с коэффициентом
.
Возможности упорядочить натуральный ряд по типу первого бесконечного ординала
отнюдь не исчерпываются этими двумя примерами. Можно ради интереса упорядочить натуральный ряд так:
или так
или ещё целым континуумом различных способов.
В каждом из упорядочиваний числа неравноправны. Но если мы берём совокупность всех возможных упорядочиваний в целом, то в ней найдутся возможности для любого числа встать на любое место. По отношению ко всей совокупности числа
и
(равно как и два любых других числа) совершенно равноправны, ибо упорядочиваний, начинающихся с нуля, ровно столько же, сколько и упорядочиваний, начинающихся с сотни. И т. д., и т. п.
А теперь обратите внимание на тот простой факт, что последовательность множеств
сходится к пустому множеству в
каждой метрике, задаваемой
любым из возможных упорядочиваний. Осознайте это и, надеюсь, Ваше недовольство "неравноправностью" чисел при рассмотрении сходимости заметно поубавиться
По сути все эти метрики (задаваемые каждым из описываемых упорядочений) определяют одну и ту же топологию на
. Эту топологию можно задать и без всяких метрик следующим образом. Пусть
для
и
--- семейство всех открытых подмножеств множества
.
В этом определении уже никакого "неравноправия" в принципе не наблюдается. А сходимость множеств
к пустому множеству имеет место как раз в топологическом пространстве с топологией, задаваемой данным определением!
Добавлено спустя 25 минут 40 секунд:juna писал(а):
Посмотрел соседнюю тему.
Допустим, мгновенные действия возможны, тогда коробка уже пуста, т.к. полдень уже наступил до решения задачи или заполнение коробки никогда не закончится, т.к. полдень не наступит.
Ладно уж, подпишусь на ещё одно бессмысленное действие: объясню
juna, как всё это можно формализовать. Но только чур в последний раз!!! У меня уже терпение кончается...
Пусть
. Тогда для любого
точка
принадлежит полуинтервалу
.
Пусть теперь
--- функция, сопоставляющая каждой точке отрезка
подмножество натурального ряда
. Мы считаем, что эта функция удовлетворяет следующей (достаточно естественной) системе аксиом:
1) Если ни для какого
, такого что
, неверно, что
, то
. (если мы не кладём шар с номером
до момента времени
в ящик, то он там и не лежит).
2) Если для некоторого
, такого что
, справедливо
и для любого
верно
, то
(если мы в момент времени
положили в ящик шар с номером
и не вынимали его оттуда в моменты
, то он лежит в ящике в момент времени
.
3) Если для некоторых
число
принадлежит
и не принадлежит
, то оно не принадлежит
(если шар с номером
был положен в ящик в момент времени
, а затем вынут оттуда в момент
, то в момент времени
его в ящике нет).
4)
.
Пользуясь этими четырьмя аксиомами, докажите, что
(то есть что в момент времени
ящик пуст
)