В защиту Литлвуда

[juna]

Бесконечная лента, это значит, в любой момент можно подрисовать любое конечное количество клеток, так что это конструктивно. Но основное свойство алгоритма - получить решение за конечное число шагов. Поскольку у вас предельный переход, то укажите через сколько шагов я получу на ленте близкое к пусто. Но вначале предложите формализацию понятия "близкое к пусто".

[Профессор Снэйп]

juna писал(а):

Но вначале предложите формализацию понятия "близкое к пусто".

Введём расстояние между множествами. Для $X, Y \subseteq \mathbb{N}$ пусть

$$ d(X,Y) = \sum_{i \in X \triangle Y} \frac{1}{2^i} $$

где $X \triangle Y = (X \setminus Y) \cup (Y \setminus X)$ --- симметрическая разность.

Проверьте, что $d$ является метрикой на $\mathcal{P}(\mathbb{N})$. А затем обратите внимание на то, что

$$ \lim_{t \to \infty} d(\varnothing, \{ t+1, \ldots, 10t+9 \}) = 0 $$

Добавлено спустя 2 минуты 5 секунд:

juna писал(а):

Поверьте, абстрагироваться я умею... Я даже принимаю вашу фантазию предельного перехода.

Ну если умеете и способны принять, то попробуйте решить хотя бы две первых задачи из начального сообщения темы. Слабо?

Добавлено спустя 12 минут 42 секунды:

Профессор Снэйп писал(а):

Хорошо, ещё никто не догадался заявить о том, что бесконечных коробок не бывает и что на каком-то шаге шары в коробку не поместятся, какую бы большую мы её не взяли.

Кажись, я отстал от основной темы. Сечас проглядел последние сообщения в ней и увидел, что один последовательный эмпирик всё же нашёлся

[juna]

Профессор Снэйп писал(а):

Введём расстояние между множествами. Для $X, Y \subseteq \mathbb{N}$ пусть

$$ d(X,Y) = \sum_{i \in X \triangle Y} \frac{1}{2^i} $$

где $X \triangle Y = (X \setminus Y) \cup (Y \setminus X)$ --- симметрическая разность.

Возьмем разные множества, близкие друг к другу попарно: $X_1,Y1$ и $X_2,Y_2$.
Интересно, почему $d(X_1,Y_1)$ и $d(X_2,Y_2)$ разные, если, например, они отличаются одним элементом?

[Профессор Снэйп]

juna писал(а):

Возьмем разные множества, близкие друг к другу попарно: $X_1,Y1$ и $X_2,Y_2$.
Интересно, почему $d(X_1,Y_1)$ и $d(X_2,Y_2)$ разные, если, например, они отличаются одним элементом?

Изложено недостаточно корректно, ну да ладно. Будем считать, что я понял.

Отвечу вопросом на вопрос: а при чём тут количество элементов, на которые отличаются множества?

Вот вам аналогичная "проблема":

$$x_1 = 0.11111...$$

$$y_1 = 0.21111...$$

$$x_2 = 1.11111...$$

$$y_2 = 1.12111...$$

Интересно, почему $|x_1-y_1| \neq |x_2-y_2|$, ведь в каждом из случаев числа различаются ровно на один десятичный разряд?

[juna]

Знаете, метрики разные бывают. Если вы вводите метрику для понятия пусто, то она должна удовлетворять нормальному человеческому определению понятия пустого множества: множества, в котором количество элементов равно нулю.
Пусть $X_1, Y_1$ отличаются друг от друга одним элементом;
$X_2,Y_2$ тоже отличаются только одним элементом.
$X_1,Y_1$ и $X_2,Y_2$ попарно различны.
Почему $d(X_1,Y_1)$ $d(X_2,Y_2)$разные?
Наша метрика должна быть инвариантна к номерам элементов.

[AD]

juna писал(а):

Наша метрика должна быть инвариантна к номерам элементов.

Что значит "должна быть" и с какого перепугу она вам что-то должна?

juna писал(а):

Если вы вводите метрику для понятия пусто, то ...

Что это еще за заявление? Как можно вводить метрику "для чего-то"?

Добавлено спустя 1 минуту 19 секунд:

Вообще, изложите требования все сразу и формально. Не будьте вовочкой. А то как только мы придумываем конструкцию - вы сразу меняете требования.

[Профессор Снэйп]

juna писал(а):

Почему $d(X_1,Y_1)$ $d(X_2,Y_2)$разные?
Наша метрика должна быть инвариантна к номерам элементов.

Почему должна? Вы это сами придумали или кто-то подсказал?

"Инвариантной к номерам элементов" метрики не существует (разве что дискретная, но это совсем уж вырожденный случай). Зато существует довольно естественная топология, в которой все натуральные числа "равноправны". И вот как не удивительно, но эта топология задаётся той самой метрикой, которую я привёл.

А "близость" и вообще понятие предела --- это топологические категории, они имеют смысл в произвольных топологических пространствах, не обязательно метризуемых.

Вечером распишу подробности, сейчас, к сожалению, времени нет.

[juna]

AD писал(а):

juna писал(а):

Наша метрика должна быть инвариантна к номерам элементов.

Что значит "должна быть" и с какого перепугу она вам что-то должна?

Лично мне метрика ничего не должна, и мне кажется, вы тоже не должны высказываться в крикливом тоне.

AD писал(а):

Вообще, изложите требования все сразу и формально. Не будьте вовочкой. А то как только мы придумываем конструкцию - вы сразу меняете требования.

Своих требований я не менял. Я предложил дать строгое определение понятия пусто и получил ответ, противоречащий здравому смыслу.

Профессор Снейп писал(а):

Почему должна? Вы это сами придумали или кто-то подсказал?

Это подсказали Вы.

[AD]

juna писал(а):

Я предложил дать строгое определение понятия пусто и получил ответ, противоречащий здравому смыслу.

Учим ZFC. Там есть строгое определение понятия "пустое множество".

[Sonic86]

По моему, в 1-2 задачах черт всегда выигрывает. Он может на каждом шаге выкидывать из корзины наименьшее число, которого нет у ангела. Какие-то числа ангел положит, а какие-то - нет. В результате, для любого элемента корзины, которое не появится у ангела, будет существовать шаг, на котором этот элемент из корзины выкинут. Следовательно, корзина будет подмножеством ящика. Так?

[AD]

juna писал(а):

Своих требований я не менял.

А я его никогда и не видел. Просто каждый раз узнаю, что там есть еще какой-то пункт, а его-то как раз и не удовлетворили. То вам подавай инвариантность относительно непоймичего, то вам надо удовлетворить какое-то человеческое представление, о котором только вам известно, ...

[juna]

AD писал(а):

Учим ZFC. Там есть строгое определение понятия "пустое множество".

Учите, я не против.

AD писал(а):

Просто каждый раз узнаю, что там есть еще какой-то пункт, а его-то как раз и не удовлетворили. То вам подавай инвариантность относительно непоймичего, то вам надо удовлетворить какое-то человеческое представление, о котором только вам известно, ...

Во-первых, не я придумал предельный переход, который требует обоснования. Во-вторых, это непоймичего - "близкое к пусто" появилось в ходе обсуждения, для того, чтобы обосновать предельный переход - предложите свое.
А так получается очередная спекуляция.

[AD]

juna. Еще раз. Что вы от нас хотите? Списочек, пожалуйста. Формально и полностью.

[juna]

От вас ничего.
А от задачи - найти конструктивное доказательство или конструктивно обосновать предельный переход.

[AD]

juna писал(а):

найти конструктивное доказательство или конструктивно доказать предельный переход.

1. Напишите формально, как вы понимаете задачу, конструктивное решение которой вы хотите найти.
2. Уточните, что значит "конструктивное". Типа в рамках конструктивного анализа или интуитивистской логики? Или что-то еще имеется ввиду?
3. Какой именно предельный переход надо обосновать? Запишите формально утверждение, которое считаете необоснованным.
4. Опять, что значит "конструктивно доказать"?