В защиту Литлвуда

[TOTAL]

juna писал(а):

От вас ничего.
А от задачи - найти конструктивное доказательство или конструктивно обосновать предельный переход.

Поймите, наконец, в чем причина расхождения в "ответах".
Шар с любым номером, полежав какое-то время в ящике, будет вынут из ящика до полудня. Согласны, что будет вынут? Да, согласны! Невозможно не согласиться! Именно это они и имеют в виду, когда говорят, что в полдень ящик будет пустой. У них такое определение пустоты ящика. Вы можете дать другое определение и согласно этому другому определению дать другой ответ. Можно затем спорить о том, какое пределение "лучше", "правильнее".

[juna]

AD писал(а):

1. Напишите формально, как вы понимаете задачу, конструктивное решение которой вы хотите найти.
2. Уточните, что значит "конструктивное". Типа в рамках конструктивного анализа или интуитивистской логики? Или что-то еще имеется ввиду?
3. Какой именно предельный переход надо обосновать? Запишите формально утверждение, которое считаете необоснованным.
4. Опять, что значит "конструктивно доказать"?

Вы слишком много хотите от меня. У меня нет желания и возможности удовлетворять вашему списку.
Я лишь еще раз выскажу свои мысли по поводу этой задачи.
Задачу можно рассматривать с двух позиций:
1. допускать возможность мгновенно что-то куда-то положить и тогда все условия по времени для исходной задачи просто не нужны и выражаются лишь в последовательности кладки.
Задача формулируется так:
- выделяем упорядоченное множество из 10 элементов,
- удаляем нижнюю границу множества
- добавляем еще 10 упорядоченных элементов и т.д.
Вопрос исходной задачи - будем ли мы стремиться к пустому множеству. По идеи здесь можно найти конструктивное доказательство. Только я от вас его не увидел.
Правда здесь вопрос, нужно ли считать множество упорядоченным.
Если нет, то нужно считать сумму ряда: 10-1+10-1+10-1+...
2. Но в условии у Литлвуда время присутствует, а тогда задача вообще смысла не имеет.

Добавлено спустя 40 минут 32 секунды:

TOTAL писал(а):

juna писал(а):

От вас ничего.
А от задачи - найти конструктивное доказательство или конструктивно обосновать предельный переход.

Поймите, наконец, в чем причина расхождения в "ответах".
Шар с любым номером, полежав какое-то время в ящике, будет вынут из ящика до полудня. Согласны, что будет вынут? Да, согласны! Невозможно не согласиться! Именно это они и имеют в виду, когда говорят, что в полдень ящик будет пустой. У них такое определение пустоты ящика. Вы можете дать другое определение и согласно этому другому определению дать другой ответ. Можно затем спорить о том, какое пределение "лучше", "правильнее".

Поймите и вы, что их предельный переход - полдень наступит - как раз есть необоснованное распространение физического представления на математический мир.

[AD]

juna писал(а):

Вопрос исходной задачи - будем ли мы стремиться к пустому множеству. По идеи здесь можно найти конструктивное доказательство. Только я от вас его не увидел.

А я не увидел у вас формулировки вопроса. И до сих пор не вижу. Вот когда приведёте определение понятия "стремиться", будет о чем говорить. Потому что мы уже несколько раз додумывали за вас это определение, но вам всё время что-то не нравилось. Приведите теперь и вы своё. А мы посмотрим.

P.S.

juna писал(а):

будем ли мы стремиться к пустому множеству

Отвечаю в духе ваших ответов: Вы - вряд ли будете.

[juna]

AD писал(а):

Потому что мы уже несколько раз додумывали за вас это определение, но вам всё время что-то не нравилось.

Пока что додумывал один Профессор Снейп, а вы видимо изволили с ним согласиться.
Поэтому, пусть лавры увенчают голову достойного.

[AD]

Я своё определение высказал здесь.

[Профессор Снэйп]

Sonic86 писал(а):

По моему, в 1-2 задачах черт всегда выигрывает. Он может на каждом шаге выкидывать из корзины наименьшее число, которого нет у ангела. Какие-то числа ангел положит, а какие-то - нет. В результате, для любого элемента корзины, которое не появится у ангела, будет существовать шаг, на котором этот элемент из корзины выкинут. Следовательно, корзина будет подмножеством ящика. Так?

Нет, немного не так.

В первой задаче чёрт всегда может выиграть, во второй всегда может выиграть ангел. А Ваше рассуждение я плохо понимаю. Более того, я не вижу в нём различения первого и второго случаев (а оно должно быть, ведь ответы-то разные!)

[juna]

Посмотрел соседнюю тему.
Допустим, мгновенные действия возможны, тогда коробка уже пуста, т.к. полдень уже наступил до решения задачи или заполнение коробки никогда не закончится, т.к. полдень не наступит.

[AD]

juna писал(а):

Допустим, мгновенные действия возможны

А что это такое вообще?

Я это трактую так, что есть отображение $f:\mathbb{R}\to2^{\mathbb{N}}$, сопоставляющее каждому $t\in\mathbb{R}$ номера шариков, лежащих в коробке за $t$ секунд до полудня. "Действие" - смена значения $f$ - мгновенное. Тем не менее, функция определена и в момент времени $t=0$. То есть проблем с наступлением полудня не вижу.

[Профессор Снэйп]

juna писал(а):

Пока что додумывал один Профессор Снэйп, а вы видимо изволили с ним согласиться.
Поэтому, пусть лавры увенчают голову достойного.

Ну, не знаю, какими там лаврами Вы собираетесь меня увенчивать. В общем-то, AD сделал довольно правильное замечание. Если Вы хотите, чтобы мы объяснили Вам что-либо, сообщите заранее в чётких недвусмысленных выражениях, какой результат Вас устроит. А то получается игра в одни ворота... скажи мне то, не знаю что, а я по любому поводу буду недоволен.

Я так понял, что Вы хотите "симметрии" и "равноправия всех чисел" при оценке близости множеств. Ну что ж, будет Вам желаемое равноправие.

На натуральных числах существует естественный порядок: $0 < 1 < 2 < \ldots$. Согласно этому порядку мы вводим метрику указанным мною выше способом. В этой метрике действительно нет "равноправия", поскольку число ноль занимает более привилегированное положение по сравнению, скажем, с числом $100$. Число $0$, если можно так выразиться, учитывается с коэффициентом $1/2^0=1$, а число $100$ --- с гораздо меньшим коэффициентом $1/2^{100}$.

Но ведь порядок на натуральных числах можно задать и по другому. Например, поменять местами сотню с нулём:

$$ 100 < 1 < 2 < \ldots < 99 < 0 < 101 < \ldots$ $$

И если мы будем вводить метрику сообразно с этим порядком, то уже сотня будет учитываться с коэффициентом $1$, а $0$ --- с коэффициентом $1/2^{100}$.

Возможности упорядочить натуральный ряд по типу первого бесконечного ординала $\omega$ отнюдь не исчерпываются этими двумя примерами. Можно ради интереса упорядочить натуральный ряд так:

$$ 0 < 2 < 1 < 3 < 4 < 6 < 5 < 7 < 8 < \ldots $$

или так

$$ 3 < 2 < 1 < 0 < 7 < 6 < 5 < 4 < 11 < 10 < 9 < 8 < 15 < \ldots $$

или ещё целым континуумом различных способов.

В каждом из упорядочиваний числа неравноправны. Но если мы берём совокупность всех возможных упорядочиваний в целом, то в ней найдутся возможности для любого числа встать на любое место. По отношению ко всей совокупности числа $0$ и $100$ (равно как и два любых других числа) совершенно равноправны, ибо упорядочиваний, начинающихся с нуля, ровно столько же, сколько и упорядочиваний, начинающихся с сотни. И т. д., и т. п.

А теперь обратите внимание на тот простой факт, что последовательность множеств

$$ X_t = \{ t+1, \ldots, 10t+9 \} $$

сходится к пустому множеству в каждой метрике, задаваемой любым из возможных упорядочиваний. Осознайте это и, надеюсь, Ваше недовольство "неравноправностью" чисел при рассмотрении сходимости заметно поубавиться

По сути все эти метрики (задаваемые каждым из описываемых упорядочений) определяют одну и ту же топологию на $\mathcal{P}(\mathbb{N})$. Эту топологию можно задать и без всяких метрик следующим образом. Пусть

$$ F = \{ \langle A, B \rangle : A, B \text{ --- конечные подмножества } \mathbb{N} \text{ и } A \cap B = \varnothing \}; $$

для $f = \langle A, B \rangle \in F$

$$ U_f = \{ X \subseteq \mathbb{N} : A \subseteq X \text{ и } B \cap X = \varnothing \} $$

и

$$ \mathcal{U} = \{ \bigcup_{f \in I} U_f : I \subseteq F \} $$

--- семейство всех открытых подмножеств множества $\mathcal{P}(\mathbb{N})$.

В этом определении уже никакого "неравноправия" в принципе не наблюдается. А сходимость множеств $\{ t+1, \ldots, 10t+9 \}$ к пустому множеству имеет место как раз в топологическом пространстве с топологией, задаваемой данным определением!

Добавлено спустя 25 минут 40 секунд:

juna писал(а):

Посмотрел соседнюю тему.
Допустим, мгновенные действия возможны, тогда коробка уже пуста, т.к. полдень уже наступил до решения задачи или заполнение коробки никогда не закончится, т.к. полдень не наступит.

Ладно уж, подпишусь на ещё одно бессмысленное действие: объясню juna, как всё это можно формализовать. Но только чур в последний раз!!! У меня уже терпение кончается...

Пусть $t_n = 1 - 1/(n+1)$. Тогда для любого $n \in \mathbb{N}$ точка $t_n$ принадлежит полуинтервалу $[0,1)$.

Пусть теперь $t \mapsto X_t$ --- функция, сопоставляющая каждой точке отрезка $[0,1]$ подмножество натурального ряда $X_t$. Мы считаем, что эта функция удовлетворяет следующей (достаточно естественной) системе аксиом:

1) Если ни для какого $n \in \mathbb{N}$, такого что $t_n \leqslant t$, неверно, что $m \in X_{t_n}$, то $m \not\in X_t$. (если мы не кладём шар с номером $m$ до момента времени $t$ в ящик, то он там и не лежит).

2) Если для некоторого $n$, такого что $t_n \leqslant t$, справедливо $m \in X_{t_n}$ и для любого $t_k \in (t_n, t]$ верно $m \in X_{t_k}$, то $m \in X_t$ (если мы в момент времени $t_n \leqslant t$ положили в ящик шар с номером $m$ и не вынимали его оттуда в моменты $t_k \in (t_n, t]$, то он лежит в ящике в момент времени $t$.

3) Если для некоторых $t_n < t_k \leqslant t$ число $m$ принадлежит $X_{t_n}$ и не принадлежит $X_{t_k}$, то оно не принадлежит $X_t$ (если шар с номером $m$ был положен в ящик в момент времени $t_n$, а затем вынут оттуда в момент $t_k \in (t_n,t]$, то в момент времени $t$ его в ящике нет).

4) $X_{t_{n+1}} = (X_{t_n} \cup \{10n, \ldots, 10n+9 \}) \setminus \{ n \}$.

Пользуясь этими четырьмя аксиомами, докажите, что $X_1 = \varnothing$ (то есть что в момент времени $t=1$ ящик пуст )

[AD]

Для полной убедительности еще хорошо бы доказать непротиворечивость аксиом 1)--4). Но это, вроде бы, просто.

[Профессор Снэйп]

AD писал(а):

Для полной убедительности еще хорошо бы доказать непротиворечивость аксиом 1)--4). Но это, вроде бы, просто.

Конечно просто.

Я вообще не понимаю, зачем нужны эти заморочки со временем. На мой взгляд это ни что иное, как просто (не шибко удачная) попытка Литлвуда "объяснить операцию вычитания на примере яблок". Очень благодатное поле для "вовочкиных спекуляций".

Речь ведь по сути идёт просто о последовательности шагов, упорядоченной по типу ординала $\omega+1$ (все шаги, соответствующие натуральным числам, плюс ещё один шаг, больший всех предыдущих, на котором, собственно, и надо смотреть результат). Для наглядности представления этот ординал вкладывают в некий объект физического мира --- временной отрезок. И тут Вовочка сразу же начинает разговор о невозможности мгновенных действий и прочей не имеющей отношения к делу чепухе.

При наличии доброй воли к пониманию всё будет формализовано так, как надо. При отсутствии же этой воли можно до бесконечности растягивать обсуждение процедурных вопросов, так и не переходя к сути. Всё это лишний раз подтверждает подходящий почти ко всем случаям жизни тезис нашего бывшего премьер-министра:

Виктор Черномырдин писал(а):

Хотели, как лучше, а получилось, как всегда.

[juna]

Удивляет меня такое мгновенное навешивание ярлыков и объявление чушью всего, что имеет отношение к реальности. Это плохая манера ведения дискуссии.
Конечно, в математике истина - то, что непротиворечиво, но нельзя же до такой степени забываться.
Могли бы просто написать, что стремление к пустому множеству по вашей метрике не поменяется, если поменять порядок на множестве.
А я введу более естественное расстояние для конечных множеств: $d(X,Y)=abs(|X|-|Y|)$ и не вижу никакого стремления к пустому множеству. Кто прав?

Добавлено спустя 16 минут 2 секунды:

Профессор Снэйп писал(а):

Ладно уж, подпишусь на ещё одно бессмысленное действие: объясню juna, как всё это можно формализовать. Но только чур в последний раз!!! У меня уже терпение кончается...

Я вам никаких одолжений не делал и ваши мне тоже не нужны. Нет желания отвечать, не отвечайте. Зачем кривляться?

[AD]

juna писал(а):

Кто прав?

Профессор Снэйп утверждает, что в огороде бузина, а вы - что в Киеве дядька. Кто прав?

juna писал(а):

А я введу более естественное расстояние для конечных множеств: $d(X,Y)=abs(|X|-|Y|)$ и не вижу никакого стремления к пустому множеству.

То есть десятиэлементное множество в Москве находится на нулевом* расстоянии от множества на Мадагаскаре.

* То есть это даже не метрика!...

Добавлено спустя 48 секунд:

Вообще, да, конечно, пора заканчивать. juna просто не слушает, а все ответы на ее вопросы уже кучу раз прозвучали.

[juna]

AD писал(а):

То есть десятиэлементное множество в Москве находится на нулевом* расстоянии от множества на Мадагаскаре.

Бред какой-то. Посмотрите аксиомы, мое определение им удовлетворяет.

[AD]

juna писал(а):

Бред какой-то. Посмотрите аксиомы, мое определение им удовлетворяет.

А вы подставьте два разных множества одинаковой мощности и проверьте.

Добавлено спустя 53 секунды:

Если $|X|=|Y|=10$, то $d(X,Y)=abs(|X|-|Y|)=abs(10-10)=abs(0)=0$. Где тут бред? Разве что обозначения ужасные, но они ваши.