Очередной холиварчик вокруг определений и т.п.

[epros]

(сырники)

Red_Herring в сообщении #1152711 писал(а):

А может быть это "сырники"?

Ой, извиняюсь за бездумный копипаст. Если не возражаете, я исправлю.

-- Вт сен 20, 2016 11:20:22 --

Munin в сообщении #1152717 писал(а):

Это не направленные отрезки, а пары точек, переходящие друг в друга при отображении

Упорядоченные пары точек или направленные отрезки прямых - суть одна.

Munin в сообщении #1152717 писал(а):

Это могут быть вообще не точки, а табуретки - и что вы тогда назовёте "направленными отрезками"?

Я увидел точки, а Вы выше подтвердили мою догадку. Но если вдруг это окажутся не точки, а некие фигуры, то закономерно возникает вопрос о том, какие точки первой фигуры отображаются в какие точки второй. Ибо пространство, как ни крути, всё-же является множеством точек.

Munin в сообщении #1152717 писал(а):

Это очень топорно. Примерно на уровне дифгема в ЛЛ-2.

Мы сейчас говорили не об аккуратной математической формализации, а о происхождении идеи. Насколько я понимаю, первыми кандидатами в векторы являются $dx^i$ (в том смысле, что все остальные векторы можно получить умножением их на что-то). А связь между $dx^i$ и $\Delta x^i$, как я понимаю, примерно такая же, как между $df$ и $\Delta f$.

[Munin]

epros в сообщении #1153033 писал(а):

Упорядоченные пары точек или направленные отрезки прямых - суть одна.

Вот примерно против такого VAL и возражает.

Вы ещё скажите, что круг и окружность - суть одна.

epros в сообщении #1153033 писал(а):

Я увидел точки, а Вы выше подтвердили мою догадку.

Я не подтвердил вашу догадку, что это отрезки.

epros в сообщении #1153033 писал(а):

Мы сейчас говорили не об аккуратной математической формализации, а о происхождении идеи.

Вы можете сколько угодно заявлять о том, о чём говорили вы, но меня в свою демагогию не вовлечёте. Я вас не первый день знаю. Валяйте трепитесь с кем-нибудь другим.

epros в сообщении #1153033 писал(а):

Насколько я понимаю, первыми кандидатами в векторы являются $dx^i$

Если говорить о происхождении идеи, то первыми кандидатами в векторы были векторные части кватернионов. О чём можно узнать в любом мало-мальски непустом изложении. А то, о чём говорите вы, - самое меньшее примерно на полвека позже.

[epros]

(Заранее спасибо за то, что хотя бы это не комментируете)

Munin в сообщении #1153081 писал(а):

но меня в свою демагогию не вовлечёте. Я вас не первый день знаю. Валяйте трепитесь с кем-нибудь другим

Буду только рад, если Вы, наконец, избавите меня от Ваших комментариев. При всей Вашей начитанности, Munin, Вы совершенно не способны к конструктивному обсуждению чего-либо. И я уже давно потерял надежду, что Вы когда-нибудь этому научитесь.

VAL, хочу заметить, что с понятием о векторе как о направленном отрезке я впервые столкнулся как раз в школьные годы. Причём тогда это меня страшно возмутило: Как же так, если вектор имеет только величину и направление, то причём тут какой-то направленный отрезок, у которого куча лишнего, типа точки начала и т.п. Но со временем я стал как-то спокойнее относиться к этому, признав, что применительно именно к геометрии вектор следует понимать как объект, определённый в точке. По этой причине направленным отрезком он как раз неплохо представляется.

Разумеется, это не исключает обобщение этого понятия до чисто алгебраического - элементов множества, удовлетворяющего аксиомам линейного пространства. Но это примерно как и с натуральными числами: В школе же учат не аксиомам Пеано, а действиям со строками десятичных цифр.

[VAL]

epros в сообщении #1153232 писал(а):

VAL, хочу заметить, что с понятием о векторе как о направленном отрезке я впервые столкнулся как раз в школьные годы. Причём тогда это меня страшно возмутило: Как же так, если вектор имеет только величину и направление, то причём тут какой-то направленный отрезок, у которого куча лишнего, типа точки начала и т.п. Но со временем я стал как-то спокойнее относиться к этому, признав, что применительно именно к геометрии вектор следует понимать как объект, определённый в точке. По этой причине направленным отрезком он как раз неплохо представляется.

Направленный отрезок определяется двумя точками: началом и концом. А радиус-вектор, о котором, по сути, Вы ведете речь - одной. Начало-то фиксировано.
Как говорится: почувствуйте разницу.

Цитата:

Разумеется, это не исключает обобщение этого понятия до чисто алгебраического - элементов множества, удовлетворяющего аксиомам линейного пространства. Но это примерно как и с натуральными числами: В школе же учат не аксиомам Пеано, а действиям со строками десятичных цифр.

Еще раз. Я стал противником определения вектора, как направленного отрезка, не в силу того, что это определение чем-то коробит лично меня, а лишь когда обнаружил его пагубное влияние на изучение линейной алгебры.
Мои же оппоненты спорят со мной на основании того, что им лично это не помешало.
(При этом, возможно, некоторые из них просто чего-то не замечают )

[Munin]

epros

(Оффтоп)

epros в сообщении #1153232 писал(а):

При всей Вашей начитанности, Munin, Вы совершенно не способны к конструктивному обсуждению чего-либо.

К конструктивному??? Вы на себя оглядывались? Вы именно тот человек, который в данной теме  тупо  стоит на своём, и не показывает никаких шагов к конструктивности.

VAL в сообщении #1153254 писал(а):

Еще раз. Я стал противником определения вектора, как направленного отрезка, не в силу того, что это определение чем-то коробит лично меня, а лишь когда обнаружил его пагубное влияние на изучение линейной алгебры.
Мои же оппоненты спорят со мной на основании того, что им лично это не помешало.

Я повторю свою позицию: я не против того, что это определение, может быть, плохое. Но меня интересует ваше объяснение, чем же именно оно плохое, и как именно оно привело к указанному пагубному влиянию. Вот по этому поводу вы ничего внятного не произносите.

Я боюсь, что пагубное влияние может быть обусловлено иными причинами (полной заменой курса школьной геометрии, например). А ваше мнение - это ошибка "post hoc ergo propter hoc" и "корреляция есть причинно-следственная связь".

[VAL]

Munin в сообщении #1153271 писал(а):

Я повторю свою позицию: я не против того, что это определение, может быть, плохое. Но меня интересует ваше объяснение, чем же именно оно плохое, и как именно оно привело к указанному пагубному влиянию. Вот по этому поводу вы ничего внятного не произносите.

По-видимому, я зря прибил часть цитаты, спрятанную под offtop. Там были подходящие слова

Ладно, попробую еще раз. Я же препод, мне не привыкать

Цитата:

Я боюсь, что пагубное влияние может быть обусловлено иными причинами (полной заменой курса школьной геометрии, например). А ваше мнение - это ошибка "post hoc ergo propter hoc" и "корреляция есть причинно-следственная связь".

Я вполне отдаю себе отчет, что "после того" не обязательно означает "вследствие того". Более того, я вполне согласен с тем, что на определении векторов клин светом не сошелся. Как-то мне попалось на глаза школьное определение многогранника (сейчас уже не помню в каком, но в действующем учебнике"). Так оно вызвало у меня значительно большую идиосинкразию, чем определение векторов в том же учебнике.

Но это идиотское определение не мешает (нормальным) школьникам и студентам правильно представлять многогранники и успешно работать с ними. И это несмотря на то, что в целом школьная стереометрия в глубоком упадке.
Почему не мешает? Понятно почему. Школьник еще в раннем детстве видел деревянные кубики, а затем в школьном кабинете пыльные картонные модели призм и пирамид. В такой ситуации ему вообще не особенно нужно определение многогранника. Вполне хватает интуитивного представления о том, что это за зверь.

Ведь определение нужно только для того, чтобы в сознании возник адекватный образ определяемого объекта. А мыслим мы все (ну или почти все) образами, а не цепочками подставленных друг в друга определений.

Школьное определение вектора как направленного отрезка очень быстро создает в головах учеников именно образ. Беда в том, что он не адекватен понятию. У направленного отрезка есть начало и конец. Если взять другие начало и конец, это будет другой направленный отрезок, даже если у него та же длина и направление. (Пишу об этом, наверное, раз десятый, но Вы утверждаете, что я так и сообщил, что именно не нравится мне в школьном определении. Сообщаю.) Последующий параграф, про равенство векторов опоздал: простой (но дефективный) образ уже сформировался.

Сотни раз проводил такой мини-эксперимент . Рисую студентам две картинки. На одной - пара неколлинеарных векторов, представленных направленными отрезками с общим началом. На другой - направленные отрезки, представляющие те же векторы (по клеточкам рисую), но не имеющие общих точек. Так вот, 95% процентов студентов убеждены, что на первом рисунке линейно зависимые векторы (они же из одной точки выходят), а на втором линейно независимые.
При этом 30% способны воспроизвести определение линейной зависимости. Остальные произносят заученный текст, похожий на определение. (Подумаешь, сказал "все не равны нулю" вместо "не все равны нулю". Ясно же, что этот козел просто придирается.)

Еще раз резюмирую. Для создания образа вектора, позволяющего без ломки стереотипов перейти от векторов в школьной геометрии к векторам - элементам линейного пространства, нужно представление о векторах, как о классах эквивалентных направленных отрезков, а не одиночных отрезках. Я не утверждаю, что нужно определение, через классы эквивалентности. Я утверждаю, что нужно формировать такое представление. И "5 км на запад" (при временном допущении того, что Земля плоская ) гораздо лучше подходят для формирования такого представления, чем пресловутый "направленный отрезок".

Упреждаю вопрос.
Почему подобных проблем нет в других случаях, когда мы "контрабандой" протаскиваем переход к классам эквивалентности? Например, треугольники, равные по признакам равенства, не равны как множества точек. Недаром в колмогоровском учебнике заморачивались с понятием "конгруэнтность". А теперь не заморачиваются. И ничего. К каким-либо проблемам с пониманием это не приводит. А для векторов приводит.
Полагаю, все просто. На треугольниках, трапециях и тех же многогранниках мы не строим никакой алгебры. А на векторах строим. И проблемы вылезают именно в этот момент.

Фу-у-ух! Готов к дальнейшим разъяснениям своей позиции. Обращайтесь!

-- 21 сен 2016, 22:09 --

PS:
Пришло в голову сравнение.
При отыскании кратчайшего пути во взвешенном графе не всегда годится жадный алгоритм.
То же самое происходит с введением векторов в школьном курсе. Определение их через направленные отрезки - это, по сути, выбор ребра наименьшего веса на первом шаге. Только вот дальнейший путь к формированию основных понятий линейной алгебры при этом выборе оказывается не кратчайшим.

[sa233091]

Ну математике всегда учат сначала на пальцах потом все больше и больше обобщают. Ну конечно правильнее с первого класса вводить формальную логику, теорию множеств, и арифметику основывать на аксиоматике Пеано, а не на яблоках.
Но мы же учим не роботов, а людей. Дети ещё не имеют общности, не могут абстрагироваться от частного случая, не понимают стройность математике, а учителя учат алгоритмам решения. С одной стороны это правильно, ведь все так изучали. А потом наступал момент, когда мозг резко взял и все разложил по полочкам.

[warlock66613]

Попадался мне как-то то ли советский, то ли российский (скорее всё-таки последнее) учебник математики - если не для первого класса, то для начальной школы точно - в котором как раз был упор на теорию множеств и другие подобные абстрактные вещи. Не знаю, применялся ли он и каков был результат, но мне этот учебник понравился.

[Anton_Peplov]

Возрастные психологи говорят, что абстрактное мышление возникает довольно поздно и для ребенка перейти от "пять яблок" и "пять девочек" к абстрактному числу "пять" - уже шаг немалой трудоемкости. Куда уж тут - теорию множеств в начальных классах.

[Brukvalub]

epros в сообщении #1153232 писал(а):

хочу заметить, что с понятием о векторе как о направленном отрезке я впервые столкнулся как раз в школьные годы. Причём тогда это меня страшно возмутило: Как же так, если вектор имеет только величину и направление, то причём тут какой-то направленный отрезок, у которого куча лишнего, типа точки начала и т.п.

Присоединюсь: в школе я так и не смог понять, почему параллельные, одинаково направленные отрезки равной длины, но прикрепленные к разным "началам", являются одним и тем же вектором. Так и жил, мучаясь этим "неразрешимым" вопросом. Учителя лишь отмахивались: "Это всем понятно и так, не требуется дополнительных разъяснений, просто ты - тупой".
Поступив на мехмат, я стал слушать ангем у Ю.М. Смирнова, и О ЧУДО! на первой же лекции тот рассказал, что геометрический вектор - это класс эквивалентности направленных отрезков по известному отношению эквивалентности! Я был на 7-м небе от счастья: этот человек склеил мой разорванный школой шаблон, все встало на свои места!
Мигом пошел в свою школу и заявил учителям, что это они - тупые, не могут объяснить простой вещи. Видимо, сами не знают, недоучки, а берутся детей учить.

[warlock66613]

(Оффтоп)

Anton_Peplov в сообщении #1153412 писал(а):

Возрастные психологи говорят, что абстрактное мышление возникает довольно поздно и для ребенка перейти от "пять яблок" и "пять девочек" к абстрактному числу "пять" - уже шаг немалой трудоемкости. Куда уж тут - теорию множеств в начальных классах.

Нашёл вроде учебник. Автор Петерсон. 3 класс. 2000+ года издания. Можете полюбопытствовать, если не видели. Интересно было бы узнать ваше мнение.

[Munin]

VAL в сообщении #1153381 писал(а):

Школьное определение вектора как направленного отрезка очень быстро создает в головах учеников именно образ... Последующий параграф, про равенство векторов опоздал: простой (но дефективный) образ уже сформировался.

То есть, беда в том, что пояснения произносятся в следующем параграфе? А если их совместить в один параграф, то будет уже ничего? (С учётом того, что в школе любят проходить материал "по параграфам".)

Больше ничего на мой вопрос я не нашёл. И видимо, больше и не выжму из вас.

[Anton_Peplov]

(Оффтоп)

warlock66613 в сообщении #1153442 писал(а):

Интересно было бы узнать ваше мнение.

Мое мнение ничего не стоит, т.к. я не имею опыта преподавания младшеклассникам. Мне учебник может показаться стройным и понятным и при этом быть совершенно неподъемным для целевой аудитории.

[Munin]

Вспомнил ещё кое-что. Я, каждый раз, когда надо рассказать про векторы, завожу разговор с такой стороны:

Сначала пятиминутное напоминание, что слушатель уже знаком с такими вещами, как числа натуральные, целые, рациональные, действительные. Все такие вещи для математики являются системами с операциями (можно сказать про замкнутость относительно операции). Но не только они. Математика рассматривает много таких разных систем, и вводит операции на разных объектах, не только числах. В принципе, операции можно ввести хоть на табуретках. (Тут можно произнести слова "комплексные числа, матрицы, функции, остатки, многочлены" по вкусу и смотря по наслышанности аудитории.) И вот пришла пора познакомиться с ещё одной разновидностью объектов, для которых вводятся "сложение" и "вычитание" - некоторые аналоги сложения и вычитания чисел. Бла-бла-бла...

[пианист]

Munin в сообщении #1153453 писал(а):

VAL в сообщении #1153381 писал(а):

Школьное определение вектора как направленного отрезка очень быстро создает в головах учеников именно образ... Последующий параграф, про равенство векторов опоздал: простой (но дефективный) образ уже сформировался.

То есть, беда в том, что пояснения произносятся в следующем параграфе? А если их совместить в один параграф, то будет уже ничего?

Тож когда-то пытался (объяснять школьникам, что есть вектор).
Не, так (соединить) не выйдет, это содержательно два параграфа.
Типа, чтобы начать объяснение про равенство, у аудитории уже должно иметься представление о том, что, собс-но, сравниваем.
А оно, это представление создает, да, некорректный образ.
Наглядная картинка отрезка со стрелочкой на конце "сильнее" абстрактных рассуждений