Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1146189 писал(а):

commator в сообщении #1145100 писал(а):

от непрерывности к рациональности

Почему бы непрерывности не существовать вечно, не будучи следствием каких-либо ещё причин?

Наверное, эти мысли очень созвучны таковым у Д. Скотта (они Вам раньше, кажется, очень нравились):
http://www.px-pict.com/preprints/Lambda/1.html

[Свободный Художник]

Тот "оттенок" понятия непрерывности, о котором пишет Скотт, лучше разбирать в определенном контексте. Изначально это было связано с моделями интуиционистской логики:
http://www.px-pict.com/9/6/2/3/7/1/4.html
http://www.px-pict.com/9/6/2/3/7/1/2.html

Нас особенно будет интересовать разновидность этой идеи, связанная с форсингом:
http://www.px-pict.com/9/6/2/8/1/2/8.html

Вот теперь будет очень ясным понятие "информационных моделей", которые Д. Скотт специально ввел для объяснения своих конструкций:
http://www.px-pict.com/9/6/4/7/4/2/2.html
"Условия" $p, q$ в теории форсинга соответствуют элементам семейства $Con$ у Скотта. Элементами этого семейства являются "совместные (непротиворечивые) конечные множества объектов данных" (в его терминологии). В первом приближении "объектом данных" можно считать отдельную пропозициональную переменную или ее отрицание языка классического пропозиционального исчисления. Полезные формализмы для этого простого случая содержатся в статье Б. Вольниевича:
http://www.px-pict.com/9/6/2/8/5.html

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1147014 писал(а):

было связано с моделями интуиционистской логики: http://www.px-pict.com/9/6/2/3/7/1/4.html

<< каждый момент времени ассоциируется со специфическим состоянием, или уровнем знания >>

Уже давно приходил к пониманию, что введение в логику дополнительного элемента с отрезком времени делает возможным превратить парадокс Лжец в логический мультивибратор. Вы согласны ?

[Свободный Художник]

Давайте все же держаться ближе к понятию "непрерывности по Скотту" в контексте системы положительных рациональных чисел, которую часто используют в качестве "моделирующей среды" для универсума рациональных музыкальных интервалов:
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/1/1/1/1/11.html
Как я отмечал, с этой системой можно естественным образом ассоциировать "домен" в смысле Скотта:
http://www.px-pict.com/9/6/4/7/4/1/14.html

Свободный Художник в сообщении #1133554 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1133434 писал(а):

С обсуждаемыми в данной теме системами $\mathrm{Q^+}$ и $\mathrm{R^+}$ можно естественным образом ассоциировать "домены" в смысле Скотта. При их определении я буду пользоваться приведенной ниже (на примере) процедурой трансляции цепных дробей в термы некоторой связанной с системами $\mathrm{Q^+}$ и $\mathrm{R^+}$ теории:
http://www.px-pict.com/preprints/grundlagen/12.html
А также редукцией этих термов к "позитивной" нормальной форме.

С каждым таким термом $t(z)$ можно однозначно ассоциировать замкнутый интервал в линейном порядке положительных рациональных чисел. Левым концом этого интервала будет рациональное число, соответствующее терму $t(0)$, а правым концом -- рациональное число, соответствующее терму $t(\infty)$.

Свободный Художник в сообщении #172994 писал(а):

Чтобы при формулировке “любопытного факта” не апеллировать к диаграмме с изображением Stern-Brocot Tree, можно ввести в системе $\mathbf{Q^+_{\, 0,\: \infty}}$ понятие “интервала, ассоциированного с данным положительным рациональным числом $x$”.
С интуитивной точки зрения, это – интервал, который определяется двумя числами, между которыми на соответствующем уровне дерева вставляется положительное рациональное число $x$ при своем “возникновении”.
Например, для $x = 1/3$ ассоциированный интервал будет $(0, 1/2)$; для $x = 4/7$ – интервал $(1/2, 3/5)$; для $x = 5/1$ – интервал $(4/1, \infty)$ и т. д.

Формально этот интервал можно определить следующим образом. Пусть $\varphi$ будет произвольной строкой из символов $V$ и $H$ и пусть выражение $\varphi(x)$ будет обозначать соответствующий терм, составленный из символов операций $V$ и $H$; например, выражение $VHV(x)$ будет обозначать терм $V(H(V(x)))$.

Каждому положительному рациональному числу $x$ соответствует единственная строка $\varphi$, определяемая из соотношения $x = \varphi(1)$. Если длина строки $\varphi$ равна $n$, то число $x$ возникает на $n$ - ом уровне дерева, вставляясь при этом, как можно показать, между числами $\varphi(0)$ и $\varphi(\infty)$, которые и определяют “интервал $(\varphi(0), \varphi(\infty))$, ассоциированный с данным положительным рациональным числом $x$”.

При вычислении выражений $\varphi(0)$ и $\varphi(\infty)$ можно использовать следующие соотношения:
$H(0) = 1, H(\infty) = \infty, V(0) = 0, V(\infty) = 1.$

Например, разобранному ранее конкретному терму $H(N(H(N(H(p)))))$:
http://www.px-pict.com/preprints/grundlagen/12.html
(если только заменить в нем индивидную константу $p$ на некоторую индивидную переменную $z$, т. е. получить терм $H(N(H(N(H(z)))))$) будет соответствовать интервал $\left[\dfrac{3}{2}, \dfrac{2}{1}\right]$.

-- Чт июн 23, 2016 19:58:00 --

Совокупность всех таких замкнутых интервалов в линейном порядке положительных рациональных чисел будет образовывать некоторый "домен" в смысле Скотта. На русском языке о "доменах Скотта" можно почитать, например, здесь:
http://www.px-pict.com/9/6/2/10/1/1/1/2.html

Другое дело, что, как отмечает сам Скотт:
http://www.px-pict.com/9/6/4/7/4/2/1.html
вместо теоретико-решетчатых конструкций при описании доменов можно эквивалентным образом использовать несколько иную "парадигму", которую он связывает с "информационными системами".

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1147996 писал(а):

Давайте все же держаться ближе к понятию "непрерывности по Скотту"

Скотт 1991 писал(а):

Ну мне-то легче держаться за сонантометрию (она давно уже в руках) не отвлекаясь на изучение степени близости к понятиям Скотта.

Надо как можно быстрее закончить MIDI модель таблицы:

Datta & Others 2006 писал(а):

Намерен отправить её коллективу авторов в надежде получить от них что-то по обратной связи, пока не началось как в одесском анекдоте джентельменских времён.

[Свободный Художник]

Это все же тактическая (хотя и важная) задача. А подход Скотта более фундаментален и способен, на мой взгляд, вдохнуть новую жизнь в модель, на которую Вам указали англичане:

Свободный Художник в сообщении #1141213 писал(а):

Ведь Вам же вручили в Англии статью Флетчера:
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/5/1/0.html
именно как релевантную для занятий в области Just Intonation. Фигурирующая там в качестве основной модели плоская квадратная целочисленная решетка точек как раз и представляет собой очень гармоничное сочетание рационального и иррационального, дискретного и непрерывного, как об этом пишет Клейн:
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/1/2.html

[commator]

Моя

Свободный Художник в сообщении #1148200 писал(а):

тактическая (хотя и важная) задача

поставилась так, что через множество элементарных машинных расчётов, выполняемых под ручным управлением, постепенно выясняются очертания автомата, способного доводить до чёткого интонирования любую верно нотированную в системе 12РДО музыку для естественного исполнения и восприятия.

Если такой автомат сложится, что мне фантастикой не кажется, то стратегические штучки в нём сами собой упакуются.

[Свободный Художник]

Стратегическая идея о необходимости гармоничного сочетания дискретного и непрерывного уже упаковалась. См., например, предисловие к книге "Конкретная математика":
"Ее назначение -- дать читателю технику оперирования с дискретными объектами, аналогичную технике для непрерывных объектов":
http://www.px-pict.com/9/6/6/8.html
(в конце указанной страницы)
Хотелось бы применить эту идею к построению алгебры музыкальной гармонии.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1148392 писал(а):

Хотелось бы применить эту идею к построению алгебры музыкальной гармонии.

Мне представляется более практичным подходом строить алгебру музыкальной гармонии на фундаменте, исторически выложенном судьбами самих музыкантов. К счастью лишь один из четырёх кирпичей их знаменитой формулы

$\mbox{T}\to\mbox{S}\to\mbox{D}\to\mbox{T}$ (произношение тэ эс дэ тэ)

необходимо обозначить иначе, чтобы формула приобрела вид

$\mbox{T}\to\mbox{d}\to\mbox{D}\to\mbox{T}$ (произношение тэ да дэ тэ)

и способность к безграничным преобразованиям для поддержки естественно гармоничных композиций любой сложности.

[Свободный Художник]

Свободный Художник в сообщении #1147014 писал(а):

Тот "оттенок" понятия непрерывности, о котором пишет Скотт, лучше разбирать в определенном контексте. Изначально это было связано с моделями интуиционистской логики:
http://www.px-pict.com/9/6/2/3/7/1/4.html
http://www.px-pict.com/9/6/2/3/7/1/2.html

Нас особенно будет интересовать разновидность этой идеи, связанная с форсингом:
http://www.px-pict.com/9/6/2/8/1/2/8.html

Вот теперь будет очень ясным понятие "информационных моделей", которые Д. Скотт специально ввел для объяснения своих конструкций:
http://www.px-pict.com/9/6/4/7/4/2/2.html
"Условия" $p, q$ в теории форсинга соответствуют элементам семейства $Con$ у Скотта. Элементами этого семейства являются "совместные (непротиворечивые) конечные множества объектов данных" (в его терминологии). В первом приближении "объектом данных" можно считать отдельную пропозициональную переменную или ее отрицание языка классического пропозиционального исчисления. Полезные формализмы для этого простого случая содержатся в статье Б. Вольниевича:
http://www.px-pict.com/9/6/2/8/5.html

Идею построения "информационных систем" Д. Скотта на основе "универсума элементарных ситуаций" Б. Вольниевича начал пояснять здесь:
http://www.px-pict.com/preprints/grundlagen/14.html

-- Пт сен 02, 2016 23:50:46 --

commator в сообщении #1148495 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1148392 писал(а):

Хотелось бы применить эту идею к построению алгебры музыкальной гармонии.

Мне представляется более практичным подходом строить алгебру музыкальной гармонии на фундаменте, исторически выложенном судьбами самих музыкантов.

Золотые слова. А. Г. Шнитке, например, говоря о реформе И. С. Баха, оперировал категорией дискретности:
В свое время в Москве открылась электронная студия. Основатель ее, инженер по профессии, Е. А. Мурзин имел весьма ограниченное музыкальное образование, и, относясь к музыке как ученый, он пытался найти для нее, для суждения о ней чисто физическое обоснование. Он знал, что существует натуральный тон, что есть обертоны и они имеют очень сложную структуру, и что триста лет назад появилась темперация, то есть отказ от натурального звукоряда, и возникла приблизительная дискретность музыкального звукоряда. Зная это, он воспринимал всю историю музыки, начиная от Баха, как результат ошибки, просчета, и призывал вернуться к натуральному звукоряду - истоку музыки, чтобы, пользуясь натуральными тонами и их чистыми обертонами, строить все заново. Все беды музыки, бесконечные смены течений и направлений, существующий между форпостом музыки и ее коммерческим ширпотребом разрыв - все это Мурзин трактовал, исходя из этой, с его точки зрения, исторической ошибки.
Это по ссылке с Форума классической музыки, которая нами уже обсуждалась:

Свободный Художник в сообщении #1127040 писал(а):

А мне все же больше нравятся рассуждения Шнитке, рассматренные нами чуть раньше:
http://www.forumklassika.ru/showthread. ... 27&page=13
(постинг 122 и далее)
А.Г.Шнитке. Беседы, выступления, статьи. • часть 2 •
Опубл. в сб.: Проблемы традиций и новаторства в современной музыке. - М., 1982. С. 104-107:
"... И я убедился, что, погружаясь в глубины обертонного спектра, вплоть до 32-го обертона и далее, слух проникает в бесконечный, но замкнутый мир, из магнетического поля которого нет выхода. Становится невозможной не только модуляция в другую тональность, но и невозможно взять второй основной тон, потому что, уловив первый и вслушиваясь в его обертоны, слух уже не может себе представить никакого другого тона. Он довольствуется первым тоном и микрокосмосом его обертонов; таким образом, второй тон становится ошибкой по отношению к первому".
Оголевец бы под этим подписался!
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/9/51.html

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1127040 писал(а):

А мне все же больше нравятся рассуждения Шнитке, рассматренные нами чуть раньше:
http://www.forumklassika.ru/showthread. ... 27&page=13
(постинг 122 и далее)
А.Г.Шнитке. Беседы, выступления, статьи. • часть 2 •
Опубл. в сб.: Проблемы традиций и новаторства в современной музыке. - М., 1982. С. 104-107:
"... И я убедился, что, погружаясь в глубины обертонного спектра, вплоть до 32-го обертона и далее, слух проникает в бесконечный, но замкнутый мир, из магнетического поля которого нет выхода. Становится невозможной не только модуляция в другую тональность, но и невозможно взять второй основной тон, потому что, уловив первый и вслушиваясь в его обертоны, слух уже не может себе представить никакого другого тона. Он довольствуется первым тоном и микрокосмосом его обертонов; таким образом, второй тон становится ошибкой по отношению к первому".
Оголевец бы под этим подписался!
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/9/51.html

commator в сообщении #1127048 писал(а):

что-то про унтертоны там написано и если да, то что?

А если не написано ничего про унтертоны, то ценность сочинения близка к нулю.

[Свободный Художник]

Прошлый раз напутал с диаграммой Хассе. Сейчас поправил:

Свободный Художник в сообщении #1148619 писал(а):

Идею построения "информационных систем" Д. Скотта на основе "универсума элементарных ситуаций" Б. Вольниевича начал пояснять здесь:
http://www.px-pict.com/preprints/grundlagen/14.html

-- Пн сен 05, 2016 23:51:42 --

commator в сообщении #1148232 писал(а):

Моя

Свободный Художник в сообщении #1148200 писал(а):

тактическая (хотя и важная) задача

поставилась так, что через множество элементарных машинных расчётов, выполняемых под ручным управлением, постепенно выясняются очертания автомата, способного доводить до чёткого интонирования любую верно нотированную в системе 12РДО музыку для естественного исполнения и восприятия.
Если такой автомат сложится, что мне фантастикой не кажется, то стратегические штучки в нём сами собой упакуются.

А. С. Оголевец предупреждает нас о возможных последствиях увлечения тактическими задачами в ущерб стратегическим:
"Получается дикий набор звуков ..."
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/50/2/5.html

Свободный Художник в сообщении #1148392 писал(а):

Стратегическая идея о необходимости гармоничного сочетания дискретного и непрерывного уже упаковалась. См., например, предисловие к книге "Конкретная математика":
"Ее назначение -- дать читателю технику оперирования с дискретными объектами, аналогичную технике для непрерывных объектов":
http://www.px-pict.com/9/6/6/8.html
(в конце указанной страницы)
Хотелось бы применить эту идею к построению алгебры музыкальной гармонии.

Свободный Художник в сообщении #1148619 писал(а):

commator в сообщении #1148495 писал(а):

Мне представляется более практичным подходом строить алгебру музыкальной гармонии на фундаменте, исторически выложенном судьбами самих музыкантов.

Золотые слова. А. Г. Шнитке, например, говоря о реформе И. С. Баха, оперировал категорией дискретности:
В свое время в Москве открылась электронная студия. Основатель ее, инженер по профессии, Е. А. Мурзин имел весьма ограниченное музыкальное образование, и, относясь к музыке как ученый, он пытался найти для нее, для суждения о ней чисто физическое обоснование. Он знал, что существует натуральный тон, что есть обертоны и они имеют очень сложную структуру, и что триста лет назад появилась темперация, то есть отказ от натурального звукоряда, и возникла приблизительная дискретность музыкального звукоряда. Зная это, он воспринимал всю историю музыки, начиная от Баха, как результат ошибки, просчета, и призывал вернуться к натуральному звукоряду - истоку музыки, чтобы, пользуясь натуральными тонами и их чистыми обертонами, строить все заново. Все беды музыки, бесконечные смены течений и направлений, существующий между форпостом музыки и ее коммерческим ширпотребом разрыв - все это Мурзин трактовал, исходя из этой, с его точки зрения, исторической ошибки.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1149475 писал(а):

"Получается дикий набор звуков ..." http://www.px-pict.com/7/3/2/4/50/2/5.html

По мне как раз такой набор звуков получается, если следовать пифагореистским наставлениям АСО 1941.

-- 05.09.2016, 22:59 --

Над

commator в сообщении #1149497 писал(а):

диаграммой Хассе

ничего не написано про $\Delta\dots$

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1149497 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1149475 писал(а):

"Получается дикий набор звуков ..." http://www.px-pict.com/7/3/2/4/50/2/5.html

По мне как раз такой набор звуков получается, если следовать пифагореистским наставлениям АСО 1941.

А как же мнение С. С. Прокофьева?
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/50/2/14/1.html
Мнение музыканта, причем гениального?

-- Вт сен 06, 2016 23:45:15 --

commator в сообщении #1149497 писал(а):

Над

commator в сообщении #1149497 писал(а):

диаграммой Хассе

ничего не написано про $\Delta\dots$

Это предложение, содержащее "нулевую информацию". В начале страницы с диаграммой Хассе приведены ссылки на работу Скотта, где объясняется смысл этого "объекта данных". Особенно существенны эти две страницы из работы Скотта:
http://www.px-pict.com/9/6/4/7/4/2/2.html
http://www.px-pict.com/9/6/4/7/4/2/3.html

-- Вт сен 06, 2016 23:51:59 --

Обратите внимание на вид этого предложения "нулевой информации" в Примере 2:
http://www.px-pict.com/9/6/4/7/4/2/2/1.html
Естественная модификация этого примера позволит построить математическую "зонную теорию" для универсума музыкальных интервалов (не совсем в духе Гарбузова!). Но важны будут вот эти Скоттовские конструкции:
http://www.px-pict.com/9/6/4/7/4/2/4/1/1.html
(они уже нами ранее кратко обсуждались)

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1149707 писал(а):

А как же мнение С. С. Прокофьева? http://www.px-pict.com/7/3/2/4/50/2/14/1.html

Он посоветовал рассечённые клавиши по высоте инвертировать.

Не видел той клавиатуры, но обычно на энгармонических клавиатурах рассекают чёрные клавиши поперёк. АСО, вероятно, поступил также. Поскольку он тогда налегал на пилу пифагореистов, каковой выглядит пифагорейская энгармоническая гамма в пятилинейной нотной записи, у него чёрные секции для $\flat$-ей были, скорее всего, ниже чёрных секций для $\sharp$-ов.

Получается, что композитору Прокофьеву такая пила на нотной бумаге и на клавиатуре не нравилась. Вот он и посоветовал по высоте инвертировать $\flat$-и с $\sharp$-ами, чтобы $\sharp$-ы стали ниже $\flat$-ей. У пилы бы отпали дикие зубья и стала бы она красивой ступенчатой линией, как и подобает ска́ле, т.е. лестнице.

А что, гениальный Прокофьев гениально обломал сомнительный пифагореизм гениального Оголевца, хотя по алфавиту гениальность АСО расположена выше гениальности ССП.

-- 07.09.2016, 12:35 --

Опять сцепился в уме с Вашим убеждением:

Математик в Сети писал(а):

Первым делом первым делом интервалы
Ну а функции а функции потом

Довелось уделить пристальное внимание ещё одному похожему мнению:

Datta & Others 2006, p. 18 писал(а):

индийская система всецело полагается на интервалы, не на границы (высотно представляющие так называемые музыкальные ноты) больших интервалов

(English)

Indian system implicitly relies upon the intervals not on the boundaries (the pitch representing the so called Musical Notes) of the major intervals