С обсуждаемыми в данной теме системами

и

можно естественным образом ассоциировать "домены" в смысле Скотта. При их определении я буду пользоваться приведенной ниже (на примере) процедурой трансляции цепных дробей в термы некоторой связанной с системами

и

теории:
http://www.px-pict.com/preprints/grundlagen/12.htmlА также редукцией этих термов к "позитивной" нормальной форме.
можно однозначно ассоциировать замкнутый интервал в линейном порядке положительных рациональных чисел. Левым концом этого интервала будет рациональное число, соответствующее терму
.
Чтобы при формулировке “любопытного факта” не апеллировать к диаграмме с изображением Stern-Brocot Tree, можно ввести в системе

понятие “интервала, ассоциированного с данным положительным рациональным числом

”.
С интуитивной точки зрения, это – интервал, который определяется двумя числами, между которыми на соответствующем уровне дерева вставляется положительное рациональное число

при своем “возникновении”.
Например, для

ассоциированный интервал будет

; для

– интервал

; для

– интервал

и т. д.
Формально этот интервал можно определить следующим образом. Пусть

будет произвольной строкой из символов

и

и пусть выражение

будет обозначать соответствующий терм, составленный из символов операций

и

; например, выражение

будет обозначать терм

.
Каждому положительному рациональному числу

соответствует единственная строка

, определяемая из соотношения

. Если длина строки

равна

, то число

возникает на

- ом уровне дерева, вставляясь при этом, как можно показать, между числами

и

, которые и определяют “интервал

, ассоциированный с данным положительным рациональным числом

”.
При вычислении выражений

и

можно использовать следующие соотношения:

, т. е. получить терм
.
Совокупность всех таких замкнутых интервалов в линейном порядке положительных рациональных чисел будет образовывать некоторый "домен" в смысле Скотта. На русском языке о "доменах Скотта" можно почитать, например, здесь: