Двойственность в булевой алгебре и не только

[Свободный Художник]

Свободный Художник в сообщении #1132904 писал(а):

... в языке теории, выражение, помещенное в самом начале пункта 1 у Хованского:
http://www.px-pict.com/7/4/4/9/1/1.html
является, ведь, именно бесконечным термом по своему смыслу.

epros в сообщении #1133466 писал(а):

Там конечное количество буковок. К тому же это вообще не терм, ибо использование троеточий грамматикой не определено. Вообще, если мы поставим троеточие после какого-нибудь $1+2+3$, то это не значит, что мы определили бесконечный терм.

Хованский, ведь, не ставил перед собой цели развить формализованную теорию цепных дробей. Он развивал ее на содержательном уровне. На этом уровне, наверное, допустимо использование троеточий. Преодоление их Ландау, например, называл в качестве первой трудности, возникающей при попытке формализации:
http://www.px-pict.com/9/6/4/2/2.html

[Свободный Художник]

Свободный Художник в сообщении #1133434 писал(а):

С обсуждаемыми в данной теме системами $\mathrm{Q^+}$ и $\mathrm{R^+}$ можно естественным образом ассоциировать "домены" в смысле Скотта. При их определении я буду пользоваться приведенной ниже (на примере) процедурой трансляции цепных дробей в термы некоторой связанной с системами $\mathrm{Q^+}$ и $\mathrm{R^+}$ теории:
http://www.px-pict.com/preprints/grundlagen/12.html
А также редукцией этих термов к "позитивной" нормальной форме.

С каждым таким термом $t(z)$ можно однозначно ассоциировать замкнутый интервал в линейном порядке положительных рациональных чисел. Левым концом этого интервала будет рациональное число, соответствующее терму $t(0)$, а правым концом -- рациональное число, соответствующее терму $t(\infty)$.

Свободный Художник в сообщении #172994 писал(а):

Чтобы при формулировке “любопытного факта” не апеллировать к диаграмме с изображением Stern-Brocot Tree, можно ввести в системе $\mathbf{Q^+_{\, 0,\: \infty}}$ понятие “интервала, ассоциированного с данным положительным рациональным числом $x$”.
С интуитивной точки зрения, это – интервал, который определяется двумя числами, между которыми на соответствующем уровне дерева вставляется положительное рациональное число $x$ при своем “возникновении”.
Например, для $x = 1/3$ ассоциированный интервал будет $(0, 1/2)$; для $x = 4/7$ – интервал $(1/2, 3/5)$; для $x = 5/1$ – интервал $(4/1, \infty)$ и т. д.

Формально этот интервал можно определить следующим образом. Пусть $\varphi$ будет произвольной строкой из символов $V$ и $H$ и пусть выражение $\varphi(x)$ будет обозначать соответствующий терм, составленный из символов операций $V$ и $H$; например, выражение $VHV(x)$ будет обозначать терм $V(H(V(x))$.

Каждому положительному рациональному числу $x$ соответствует единственная строка $\varphi$, определяемая из соотношения $x = \varphi(1)$. Если длина строки $\varphi$ равна $n$, то число $x$ возникает на $n$ - ом уровне дерева, вставляясь при этом, как можно показать, между числами $\varphi(0)$ и $\varphi(\infty)$, которые и определяют “интервал $(\varphi(0), \varphi(\infty))$, ассоциированный с данным положительным рациональным числом $x$”.

При вычислении выражений $\varphi(0)$ и $\varphi(\infty)$ можно использовать следующие соотношения:
$H(0) = 1, H(\infty) = \infty, V(0) = 0, V(\infty) = 1.$

Например, разобранному ранее конкретному терму $H(N(H(N(H(p)))))$:
http://www.px-pict.com/preprints/grundlagen/12.html
(если только заменить в нем индивидную константу $p$ на некоторую индивидную переменную $z$, т. е. получить терм $H(N(H(N(H(z)))))$) будет соответствовать интервал $\left[\dfrac{3}{2}, \dfrac{2}{1}\right]$.

-- Чт июн 23, 2016 19:58:00 --

Совокупность всех таких замкнутых интервалов в линейном порядке положительных рациональных чисел будет образовывать некоторый "домен" в смысле Скотта. На русском языке о "доменах Скотта" можно почитать, например, здесь:
http://www.px-pict.com/9/6/2/10/1/1/1/2.html

[Свободный Художник]

Свободный Художник в сообщении #1138613 писал(а):

... При этом лучше опираться на стандартную терминологию из замечательной книги:
Кейслер Г. Дж., Чэн Ч.Ч.
Теория моделей. Пер. с англ., М.: Мир, 1977
Ее оглавление и предисловие к ней приведены по ссылке ниже:
http://www.px-pict.com/9/6/2/8/4.html

Чтение замечательной книги Кейслера - Чэна ценно еще и тем, что естественным образом подводит к мысли о фундаментальном дуализме между семантическим и синтаксическим пространствами. Попробую по горячим следам зафиксировать этот дуализм. Буду, как и раньше, исходить из определения языка первопорядковой теории по Кейслеру - Чэну:

Свободный Художник в сообщении #1138712 писал(а):

... Я позволю себе воспользоваться определением первопорядкового языка по Кейслеру - Чэну:
http://www.px-pict.com/9/6/2/4/1/1.html

Семантическим пространством $Sem(L)$ языка $L$ назовем класс всех возможных интерпретаций языка $L$.
Синтаксическим пространством $Sint(L)$ языка $L$ назовем класс всех возможных предложений языка $L$.
Образуем декартово произведение $Sem(L) \times Sint(L)$ семантического пространства $Sem(L)$ и синтаксического пространства $Sint(L)$.
Определим бинарное отношение $\Vvdash$ полярного спаривания, являющееся подмножеством множества $Sem(L) \times Sint(L)$, следующим образом: для любой интерпретации $i \in Sem(L)$ и для любого предложения $\sigma \in Sint(L)$,
$i \Vvdash \sigma$ тогда и только тогда, когда предложение $\sigma$ истинно в интерпретации $i$.
Термин "полярное спаривание" для отношения $\Vvdash$ выбран в честь конструкции, впервые описанной в общем виде Гарретом Биркгофом:
http://www.px-pict.com/9/5/5/2/5/7.html

-- Ср июл 20, 2016 15:20:48 --

Поляры множеств интерпретаций. Для любого множества $I$ интерпретаций, $I^*$ есть поляра для $I$. То есть, $I^*$ есть множество всех таких предложений $\sigma$ из синтаксического пространства $Sint(L)$, что $i \Vvdash \sigma$ для всех интерпретаций $i$ из множества $I$ интерпретаций.
Поляры множеств предложений (то есть, по определению, теорий). Для любой теории $T$, ее поляра $T^+$ есть множество всех таких интерпретаций $i$ из семантического пространства $Sem(L)$, что $i \Vvdash \sigma$ для всех предложений $\sigma$ из теории $T$.