Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.

[commator]

commator в сообщении #1154639 писал(а):

31-й обертон должен быть в категории высотного класса $C\flat$, но для такой ноты у первого дотошного исследователя обертонов не нашлось места

И не должно было найтись. Всё таки 31-й обертон в категории высотного класса $C\natural$, будучи там пониженным на четвертинатон, приблизительно.

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1154639 писал(а):

На этой неделе имел удовольствие ознакомиться с гораздо более старым, хотя и не древним правописанием:

Mersenne 1636 II:V:196 писал(а):

$Octaue~diuisee~en~douze~demi\mbox{-}tons. \begin{matrix} \\ _.~~~~~ &1~~~~~~2~~~ &3~~~~ &4~~~~~~5~~ &6~~~~~7~~ &8~~~~~9~~ &10~~~~ &11~~~12~ &13\\ \end{matrix} $

$\hline ^{`\phantom{........................}~~~~~~~~~~\phantom{......................}\phantom{........}~~~~~~~~~~~~~|\phantom{......}~~~~~~~~|\phantom{...}~\phantom{....}|\phantom{......}~~~~\bigwedge} _{.\phantom{........................}~~~~~~~~~~\phantom{.....................}~~~~~~|\phantom{........}~~~~~~~|\phantom{......}~~~~~~~~|\land~\bigwedge~\sqcap\bigwedge~~~~~\bigvee} $
$\hline ^{`\phantom{........................}~~~~~~~~~~|\phantom{....................}~~~~~~|\phantom{........}~~~~~~~|\phantom{.}~~~~~\bigwedge~~~~|\diagup\bigvee~\sqcup\bigvee} _{.\phantom{........................}~~~~~~~~~~|\phantom{....................}~~~~~~|\phantom{..}~~~~\bigwedge~~~\nparallel\bigwedge~~~~~\bigvee\phantom{...........}|~~~|} $
$\hline ^{|\phantom{.............}~~|\phantom{......}~~~~~~~|\phantom{...}~|\phantom{....}|\phantom{......}~~~~~\bigwedge~~~\nparallel\bigwedge~~~~~\bigvee~~~\nparallel\bigvee~~~~~~~~~~~~~~~|} _{|\phantom{.............}~~|\phantom{......}~~~~~~~|\land~\bigwedge~\lceil\sqcap\rceil\bigwedge~~~~~\bigvee~~~\nparallel\bigvee~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\phantom{..}|} $
$\hline ^{|\diagdown \phantom{..........}~~|\phantom{..}~~~~\bigwedge~~~|\diagup\bigvee~\lfloor\sqcup\rfloor\bigvee} _{|\diagdown| ~\bigwedge~~~\nparallel\bigwedge~~~~~\bigvee\phantom{.............}~~|} $
$\hline ^{|\diagdown| ~\bigvee~~~\nparallel\bigvee} _{\phantom{|}\diagdown|} $
$_.\phantom{........}^|$
$ \begin{matrix} _.~~~~~ &[c^1,~c^1\sharp] &[d^1] &[e^1\flat,~e^1\natural] &[f^1,~f^1\sharp] &[g^1,~g^1\sharp] &[a^1] &[b^1\flat,~b^1\natural] &[c^2] & \end{matrix} $

Самым безукоризненным образом предписана нотация гармонического ряда звуков до 29-го обертона. 31-й обертон должен быть в категории высотного класса $C\flat$, но для такой ноты у первого дотошного исследователя обертонов не нашлось места среди 12-ти клавиш.

Незадолго до работы Марена Мерсенна:
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0 ... 0%B5%D0%BD
https://en.wikipedia.org/wiki/Marin_Mersenne
на которую Вы ссылаетесь, Salomon de Caus развил свою нотационную систему, которая лично мне представляется очень интересной, поскольку естественным образом связана с "музыкальными пропорциями". Мерсенн с ним спорил:
http://www.px-pict.com/7/3/2/3/13/8/1/02/1/10.html

Оригинальный текст Salomon de Caus's Institution Harmonique доступен здесь:
https://archive.org/details/imslp-harmo ... salomon-de

[Свободный Художник]

Salomon de Caus достаточно много говорит о "музыкальных пропорциях" в посвящении к работе, которое он адресовал Anne of Denmark, wife of James:
http://www.px-pict.com/7/3/2/3/13/8/1/1/02.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Anne_of_Denmark
На странице по последней ссылке в разделе "Patron of the arts" есть такие строки: Jones, a gifted architect steeped in the latest European taste, also designed the Queen's House at Greenwich for Anne, one of the first true Palladian buildings in England; and the Dutch inventor Salomon de Caus laid out her gardens at Greenwich and Somerset House. Anne particularly loved music and patronised the lutenist and composer John Dowland, previously employed at her brother's court in Denmark, as well as "more than a good many" French musicians.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1157622 писал(а):

Jones, a gifted architect steeped in the latest European taste, also designed the Queen's House at Greenwich for Anne, one of the first true Palladian buildings in England; and the Dutch inventor Salomon de Caus laid out her gardens at Greenwich and Somerset House. Anne particularly loved music

Архитектура есть замороженная музыка, как говорится.

Теперь можно музыку архитектуры размораживать:

https://www.youtube.com/watch?v=iWEld4VdG4g

[Свободный Художник]

Истинная правда. Многие архитекторы вдохновлялись музыкальными пропорциями. Альберти, например:
http://www.aboutscotland.com/harmony/prop2.html

Картинка на этой странице:
http://www.house-design-coffee.com/proportions.html
показывает, что предложенный мною ранее "набросок алгебры прямоугольников":
http://www.px-pict.com/9/6/4/5.html
может быть, наверное, как-то пристроен в этом контексте.

[commator]

commator в сообщении #993836 писал(а):

Щутен (по Бенсону) демонстрировал несколько жестокие для ушей свистки частот 1800, 2000, 2200 и 1840, 2040, 2240 Гц, для которых комбинационный тон, похожий на ощущение частоты 200 или 204 Гц (по Бенсону), не может быть слышимым для всех, вероятно.

Тогда была у меня грандиозная возня, чтобы проверить на себе действие резидуума.

Теперь удалось гораздо проще сочинить собственный нотный пример, звучащий намного убедительнее, притом в рамках чудовищной 24РДО, где таки есть, помимо нескольких хороших аппроксимаций ЧИП3, добавочные очень близкие к чёткой интонации высоты.

[Свободный Художник]

Свободный Художник в сообщении #1157361 писал(а):

Незадолго до работы Марена Мерсенна:
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0 ... 0%B5%D0%BD
https://en.wikipedia.org/wiki/Marin_Mersenne
на которую Вы ссылаетесь, Salomon de Caus развил свою нотационную систему, которая лично мне представляется очень интересной, поскольку естественным образом связана с "музыкальными пропорциями". Мерсенн с ним спорил:
http://www.px-pict.com/7/3/2/3/13/8/1/02/1/10.html

Оригинальный текст Salomon de Caus's Institution Harmonique доступен здесь:
https://archive.org/details/imslp-harmo ... salomon-de

Может ли перспектива считаться не только "дочерью живописи":
http://www.px-pict.com/10/3/3/3/1.html
но еще также и "дочерью музыки"?

Свободный Художник в сообщении #1151019 писал(а):

Вас интересует Дерево Штерна - Броко, а Д. Кнут и др. по указанной выше ссылке:
http://www.px-pict.com/10/4/4/13.html
пишут, что "оно радует глаз обильным урожаем закономерностей".
Хотелось бы выделить среди них наиболее фундаментальные. Я рискну предложить на роль таковых закономерности, связанные с "гармонической сопряженностью". Одну из них я продемонстрировал на примере:
http://www.px-pict.com/preprints/grundlagen/15.html
Пример связан как раз с музыкальными интервалами из "древнейшего арийского звукоряда":

Свободный Художник в сообщении #1150168 писал(а):

Даже если и совсем за "доисторическое" время зацепиться, то все равно мы будем видеть прежде всего интервалы (древнейший арийский звукоряд:"армонический тетрахорд"):
http://www.px-pict.com/7/3/2/9/4/01.html
http://www.px-pict.com/7/3/2/9/4/1/1.html

и, возможно, проясняет причину, по которой он был назван именно "армоническим" (или "гармоническим") тетрахордом.

Для ответа на этот вопрос попробуем привлечь материал из 9-ой главы фундаментальной монографии Kirsti Andersen "The Geometry of an Art". Список параграфов этой главы можно посмотреть здесь:
http://www.px-pict.com/10/3/4/17/9.html

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1158488 писал(а):

Может ли перспектива считаться не только "дочерью живописи": http://www.px-pict.com/10/3/3/3/1.html
но еще также и "дочерью музыки"?

Думаю перспектива — дочь закона Вебера-Фехнера и потому сестра живописи, музыки и всех прочих его детей.

[Свободный Художник]

Не видно закона Вебера - Фехнера в построениях Н. В. Ефимова:
http://www.px-pict.com/10/3/4/6/5b.html

А гармоническая сопряженность видна. Мы можем адаптировать подобное построение, вдохновляясь теперь уже Деревом Штерна - Броко, для пучка рациональных лучей:
http://www.px-pict.com/preprints/grundlagen/15.html
(пункт 2 на указанной странице)

-- Пт окт 14, 2016 17:03:10 --

Обратите внимание также и на то, что некоторые провозглашают существование в античности некоей "независимой науки гармоники":
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/12/0/3.html
(ссылка из книги Е. Герцмана)

[commator]

На нотных линейках логарифмическую кривую закона Вебера-Фехнера можно увидеть отображая гармонический ряд звуков нотами одинаковой длительности.



Что до гармонической сопряжённости, если Вы её видите, то покажите и мне, где она.

[Свободный Художник]

Гармоническая сопряженность находится в продукте работы нашего мозга, на определенном этапе породившем муз. теорию. Фундаментальный прорыв зафиксирован в известном фрагменте Архита:
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/6.html
Связь арифметического и гармонического средних (двойственных между собою понятий) с гармонической сопряженностью анализировалась мною в контексте Дерева Штерна - Броко, музыкально - теоретическая знАчимость которого сомнению Вами не подвергается:
http://www.px-pict.com/10/4/4/4.html

-- Сб окт 15, 2016 23:44:15 --

Свободный Художник в сообщении #1159741 писал(а):

Не видно закона Вебера - Фехнера в построениях Н. В. Ефимова:
http://www.px-pict.com/10/3/4/6/5b.html
А гармоническая сопряженность видна. Мы можем адаптировать подобное построение, вдохновляясь теперь уже Деревом Штерна - Броко, для пучка рациональных лучей:
http://www.px-pict.com/preprints/grundlagen/15.html
(пункт 2 на указанной странице)

Н. В. Ефимов следует методу Ф. Клейна, оригинальное изложение которого можно посмотреть здесь:
http://www.px-pict.com/10/3/4/5/5/2.html
Там есть интересные для нас мысли о построении гармонической шкалы в некотором пучке прямых (в конце страницы по указанной ссылке).

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1160135 писал(а):

мысли о построении гармонической шкалы

можно изображать так, чтобы стало понятнее как переложить их на ноты:

https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92911f90e5619fc6f46d8ed33140cd533c287537

То же самое в виде наброска партитуры:



Она получается из резидуума полного созвука



после вычитания из него пифагорейского каркаса:



Этими вещами можно было бы здесь на Форуме очень многое выразить, но пока поддержка не обещана:

http://dxdy.ru/post1158484.html#p1158484 писал(а):

все равно работать не будет (и слава богу)

-- 15.10.2016, 23:43 --

По поводу

commator в сообщении #1160166 писал(а):

пифагорейского каркаса:

в созвуке надо отметить, что его странным обоазом не желают замечать музыкальные теоретики:

Когут 2005 писал(а):

Идеальным” решением, на наш взгляд, было бы присвоение элементам, например обертонового звукоряда (или его необходимого сектора за исключением октавных удвоений) соответствующих названий и нотных знаков, а отклонения от этих элементов полученной структуры обозначать дополнительными знаками альтерации <...> К сожалению исторически сложилось так, что свойства развитой обертоновой структуры стали нам известны намного позже, а до осознания этих свойств мы несколько тысяч лет пользовались иной структурой — пифагоровым строем.

Пифагорейский каркас и есть необходимый сектор обертонового звукоряда, которому присвоены соответствующие названия и нотные знаки.

[commator]

В пифагорейском каркасе со́звука выявляется множество квинтовых цепочек.



Партитуру можно переписать и расширить как множество $ \Theta\mbox{-}C}{\mathbf{{:}[1/1]K{\subset}JIL03{\owns\pitchfork}}3a\mathrm{[3/2][1.760kHz]} $:

$ \left\{\begin{matrix} &_{\downarrow(\theta P5\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{\theta6g{:}}_{\mathrm{{:}6TD\o}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow} & &_{\downarrow(\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{{\pitchfork}6a{:}}_{\mathrm{{:}3T3D\o}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow} & &_{\downarrow(\mathrm{{:}Td})\leftarrow} \\ ^{\theta6c{:}}_{\mathrm{{:}7T\o}} &^{\to(\theta P5\mathrm{{:}Dt})\uparrow} & &_{\downarrow(\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{\theta6d{:}}_{\mathrm{{:}4T2D\o}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow} & &_{\downarrow(\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{\theta6e{:}}_{\mathrm{{:}T4D\o}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow} \\ &_{\downarrow(\theta P5\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{\theta5g{:}}_{\mathrm{{:}5TD\o}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow} & &_{\downarrow(\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{{\pitchfork}5a{:}}_{\mathrm{{:}2T3D\o}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow} \\ ^{\theta5c{:}}_{\mathrm{{:}6T\o}} &^{\to(\theta P5\mathrm{{:}Dt})\uparrow} & &_{\downarrow(\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{\theta5d{:}}_{\mathrm{{:}3T2D\o}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow} & &_{\downarrow(\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{\theta5e{:}}_{\mathrm{{:}4D\o}} \\ &_{\downarrow(\theta P5\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{\theta4g{:}}_{\mathrm{{:}4TD\o}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow} & &_{\downarrow(\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{{\pitchfork}4a{:}}_{\mathrm{{:}T3D\o}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow} \\ ^{\theta4c{:}}_{\mathrm{{:}5T\o}} &^{\to(\theta P5\mathrm{{:}Dt})\uparrow} & &_{\downarrow(\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{\theta4d{:}}_{\mathrm{{:}2T2D\o}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow} \\ &_{\downarrow(\theta P5\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{\theta3g{:}}_{\mathrm{{:}3TD\o}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow} & &_{\downarrow(\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{{\pitchfork}3a{:}}_{\mathrm{{:}3D\o}} \\ ^{\theta3c{:}}_{\mathrm{{:}4T\o}} &^{\to(\theta P5\mathrm{{:}Dt})\uparrow} & &_{\downarrow(\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{\theta3d{:}}_{\mathrm{{:}T2D\o}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow} \\ &_{\downarrow(\theta P5\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{\theta2g{:}}_{\mathrm{{:}2TD\o}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow} \\ ^{\theta2c{:}}_{\mathrm{{:}3T\o}} &^{\to(\theta P5\mathrm{{:}Dt})\uparrow} & &_{\downarrow(\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{\theta2d{:}}_{\mathrm{{:}2D\o}} \\ &_{\downarrow(\theta P5\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{\theta1g{:}}_{\mathrm{{:}TD\o}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow} \\ ^{\theta1c{:}}_{\mathrm{{:}2T\o}} &^{\to(\theta P5\mathrm{{:}Dt})\uparrow} \\ &_{\downarrow(\theta P5\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{\theta\mbox{-}g{:}}_{\mathrm{{:}D\o}} \\ ^{\theta\mbox{-}c{:}}_{\mathrm{{:}T\o}} &^{\to(\theta P5\mathrm{{:}Dt})\uparrow} \\ \\ ^{\Theta\mbox{-}C{:}}_{\mathrm{{:}\O\o}} \end{matrix} \begin{matrix} ~~^{\theta6b{:}}_{\mathrm{{:}5D\o}} \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{matrix}\right\} $

Становится очевидным, что от любого тонанта суборигинанта ${:}n\mbox{T\o}$ берёт начало восходящая пифагорейская цепочка квинт $ ^{\downarrow(\theta P5\mathrm{{:}Td})\leftarrow}_{\to(\theta P5\mathrm{{:}Dt})\uparrow} $ и число квинт в цепочке равно коэффициенту $n$.

Таким образом от обертона на высоте пифагорейская-4-й-октавы-до как 5-й тонант суборигинанта $\theta 4c\mbox{:5T\o}$ берёт начало восходящая пифагорейская цепочка из 5-ти квинт и она даёт 6 из семи натуральных белоклавишных высот пифагорейской диатонической ска́лы, а именно:

$ \left\{\begin{matrix} \theta4c\mbox{:5T\o} &\theta4g\mbox{:4TD\o} &\theta5d\mbox{:3T2D\o} &{\pitchfork}5a\mbox{:2T3D\o} &\theta6e\mbox{:T4D\o} &\theta6b\mbox{:5D\o} \end{matrix}\right\} $

В шестой октаве эти шесть ступеней пифагорейской ска́лы собираются диатоническим образом, т.е. интервал между любой парой смежных оказывается полным, целым тоном, либо тоном неполным, недотоном.

$ \left\{\begin{matrix} \theta6c\mathrm{{:}7T\o} &\theta6d\mathrm{{:}4T2D\o} &\theta6e\mathrm{{:}T4D\o} & &\theta6g\mathrm{{:}6TD\o} &{\pitchfork}6a\mathrm{{:}3T3D\o} &\theta6b\mathrm{{:}5D\o} \\ \mathrm{I} &\mathrm{II} &\mathrm{III} &\mathrm{IV} &\mathrm{V} &\mathrm{VI} &\mathrm{VII} \end{matrix}\right\} $

[Свободный Художник]

Свободный Художник в сообщении #1160135 писал(а):

Гармоническая сопряженность находится в продукте работы нашего мозга, на определенном этапе породившем муз. теорию. Фундаментальный прорыв зафиксирован в известном фрагменте Архита:
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/6.html
Связь арифметического и гармонического средних (двойственных между собою понятий) с гармонической сопряженностью анализировалась мною в контексте Дерева Штерна - Броко, музыкально - теоретическая знАчимость которого сомнению Вами не подвергается:
http://www.px-pict.com/10/4/4/4.html

Свободный Художник в сообщении #1159741 писал(а):

Обратите внимание также и на то, что некоторые провозглашают существование в античности некоей "независимой науки гармоники":
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/12/0/3.html
(ссылка из книги Е. Герцмана)

Возможно, что это было одной из ранних разновидностей "теории всего":
http://www.px-pict.com/9/6/6/10/1/2.html
Зародившись из задач теории музыки, она пыталась затем примениться и к другим предметным областям. Как у Альберти:

Свободный Художник в сообщении #1158168 писал(а):

Истинная правда. Многие архитекторы вдохновлялись музыкальными пропорциями. Альберти, например:
http://www.aboutscotland.com/harmony/prop2.html

Картинка на этой странице:
http://www.house-design-coffee.com/proportions.html
показывает, что предложенный мною ранее "набросок алгебры прямоугольников":
http://www.px-pict.com/9/6/4/5.html
может быть, наверное, как-то пристроен в этом контексте.

[commator]

commator в сообщении #1160315 писал(а):

множество $ \Theta\mbox{-}C{\mathbf{{:}[1/1]K{\subset}JIL03{\owns\pitchfork}}3a\mathrm{[\not3~27/1\not2][1.760kHz]} $

должно быть подмножеством пифагорейского каркаса со́звука $ \theta2F{\mathbf{{:}[1/3]K{\subset}JIL03{\owns\pitchfork}}3a\mathrm{[27/1][1.760kHz]} $, чтобы получилась полная диатоническая скала в шестой октаве. Пересечение $ \Theta\mbox{-}C{\mathbf{{:}[1/1]K{\subset}JIL03}\cap \theta2F{\mathbf{{:}[1/3]K{\subset}JIL03} $ обозначено чёрным.

$ \left\{\begin{matrix} {\color{blue}^{\theta6f{:}}_{\mathrm{{:}9Td}}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow~~ ~~ ~~}_{~~ ~~ ~~\downarrow(\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{\theta6g{:}}_{\mathrm{{:}6TD\o}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow~~ ~~ ~~}_{~~ ~~ ~~\downarrow(\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{{\pitchfork}6a{:}}_{\mathrm{{:}3T3D\o}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow~~ ~~ ~~}_{~~ ~~ ~~\downarrow(\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{\theta6b{:}}_{\mathrm{{:}5D\o}} \\ _{~~ ~~ ~~\downarrow(\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{\theta6c{:}}_{\mathrm{{:}7T\o}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow~~ ~~ ~~}_{~~ ~~ ~~\downarrow(\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{\theta6d{:}}_{\mathrm{{:}4T2D\o}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow~~ ~~ ~~}_{~~ ~~ ~~\downarrow(\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{\theta6e{:}}_{\mathrm{{:}T4D\o}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow~~ ~~ ~~} \\ {\color{blue}^{\theta5f{:}}_{\mathrm{{:}8Td}}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow~~ ~~ ~~}_{~~ ~~ ~~\downarrow(\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{\theta5g{:}}_{\mathrm{{:}5TD\o}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow~~ ~~ ~~}_{~~ ~~ ~~\downarrow(\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{{\pitchfork}5a{:}}_{\mathrm{{:}2T3D\o}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow~~ ~~ ~~} \\ _{~~ ~~ ~~\downarrow(\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{\theta5c{:}}_{\mathrm{{:}6T\o}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow~~ ~~ ~~}_{~~ ~~ ~~\downarrow(\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{\theta5d{:}}_{\mathrm{{:}3T2D\o}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow~~ ~~ ~~}_{~~ ~~ ~~\downarrow(\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{\theta5e{:}}_{\mathrm{{:}4D\o}} \\ {\color{blue}^{\theta4f{:}}_{\mathrm{{:}7Td}}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow~~ ~~ ~~}_{~~ ~~ ~~\downarrow(\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{\theta4g{:}}_{\mathrm{{:}4TD\o}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow~~ ~~ ~~}_{~~ ~~ ~~\downarrow(\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{{\pitchfork}4a{:}}_{\mathrm{{:}T3D\o}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow~~ ~~ ~~} \\ _{~~ ~~ ~~\downarrow(\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{\theta4c{:}}_{\mathrm{{:}5T\o}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow~~ ~~ ~~}_{~~ ~~ ~~\downarrow(\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{\theta4d{:}}_{\mathrm{{:}2T2D\o}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow~~ ~~ ~~} \\ {\color{blue}^{\theta3f{:}}_{\mathrm{{:}6Td}}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow~~ ~~ ~~}_{~~ ~~ ~~\downarrow(\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{\theta3g{:}}_{\mathrm{{:}3TD\o}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow~~ ~~ ~~}_{~~ ~~ ~~\downarrow(\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{{\pitchfork}3a{:}}_{\mathrm{{:}3D\o}} \\ _{~~ ~~ ~~\downarrow(\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{\theta3c{:}}_{\mathrm{{:}4T\o}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow~~ ~~ ~~}_{~~ ~~ ~~\downarrow(\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{\theta3d{:}}_{\mathrm{{:}T2D\o}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow~~ ~~ ~~} \\ {\color{blue}^{\theta2f{:}}_{\mathrm{{:}5Td}}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow~~ ~~ ~~}_{~~ ~~ ~~\downarrow(\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{\theta2g{:}}_{\mathrm{{:}2TD\o}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow~~ ~~ ~~} \\ _{~~ ~~ ~~\downarrow(\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{\theta2c{:}}_{\mathrm{{:}3T\o}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow~~ ~~ ~~}_{~~ ~~ ~~\downarrow(\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{\theta2d{:}}_{\mathrm{{:}2D\o}} \\ {\color{blue}^{\theta1f{:}}_{\mathrm{{:}4Td}}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow~~ ~~ ~~}_{~~ ~~ ~~\downarrow(\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{\theta1g{:}}_{\mathrm{{:}TD\o}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow~~ ~~ ~~} \\ _{~~ ~~ ~~\downarrow(\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{\theta1c{:}}_{\mathrm{{:}2T\o}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow~~ ~~ ~~} \\ {\color{blue}^{\theta\mbox{-}f{:}}_{\mathrm{{:}3Td}}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow~~ ~~ ~~}_{~~ ~~ ~~\downarrow(\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{\theta\mbox{-}g{:}}_{\mathrm{{:}D\o}} \\ _{~~ ~~ ~~\downarrow(\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{\theta\mbox{-}c{:}}_{\mathrm{{:}T\o}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow~~ ~~ ~~} \\ {\color{blue}^{\theta\mbox{-}F{:}}_{\mathrm{{:}2Td}}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow~~ ~~ ~~} \\ _{~~ ~~ ~~\downarrow(\mathrm{{:}Td})\leftarrow} &^{\Theta\mbox{-}C{:}}_{\mathrm{{:}\O\o}} \\ {\color{blue}^{\theta1F{:}}_{\mathrm{{:}Td}}} &^{\to(\mathrm{{:}Dt})\uparrow~~ ~~ ~~} \\ \\ {\color{blue}^{\theta2F{:}}_{\mathrm{{:}\O d}}} \end{matrix}\right\} $

В шестой октаве теперь семь ступеней пифагорейской ска́лы. Интервал между любой парой смежных есть целый тон, либо недотон.

$ \left\{\begin{matrix} \theta6c\mathrm{{:}7T\o} &\theta6d\mathrm{{:}4T2D\o} &\theta6e\mathrm{{:}T4D\o} &{\color{blue}\theta6f\mathrm{{:}9Td}}} &\theta6g\mathrm{{:}6TD\o} &{\pitchfork}6a\mathrm{{:}3T3D\o} &\theta6b\mathrm{{:}5D\o} \\ \mathrm{I} &\mathrm{II} &\mathrm{III} &\mathrm{\color{blue}IV} &\mathrm{V} &\mathrm{VI} &\mathrm{VII} \end{matrix}\right\} $