гипотеза гольдбаха

[Батороев]

AndAll писал(а):

Число представлений четных чисел $6k - 2,\,\,6k,\,\,6k + 2$ в виде суммы двух простых, начиная с некоторого числа (впрочем, совсем небольшого, порядка несколько десятков), больше числа чисел, меньших $k$ и имеющих вид $2^m 3^n $ где $m,n = 0,1,2, \ldots $
Это утверждение не является фактом простого наблюдения, но имеет строгое доказательство. К сожалению, поля форума…

"Несколько десятков" - это относится к четным числам вида $6k - 2,\,\,6k,\,\,6k + 2$ или к чему-то другому?

Хотел проверить, но пока не получается.
Например, число $ 6\times {55} + 2 = 332$ может быть представлено в виде суммы двух простых чисел $6$ способами:
$ 332=19+313=61+271=103+229=109+223=139+193=151+181 $,
а указанных Вами чисел вида $2^m 3^n $ в пределах $k=55$, вроде бы, как $16$ ($1,2,3,4,6,8,9,12,...54$)?
Или я что-то не так считаю?

[AndAll]

Батороев писал(а):

"Несколько десятков" - это относится к четным числам вида $6k - 2,\,\,6k,\,\,6k + 2$ или к чему-то другому?
Хотел проверить, но пока не получается.

Несколько десятков это относится к $k$
Я считаю 19+313 и 313+19 разными представлениями.
Наверное 55 недостаточно большое. Возьмите числа большие 100

[RIP]

При больших $k$ утверждение скорей всего верно, потому что число представлений чётного числа $n$ в виде суммы двух простых скорее всего (предположительно) растёт, как величина порядка $\frac n{(\log n)^2}$ (по крайней мере для "почти всех" $n$ это так). Так что опровергнуть это утверждение численно вряд ли удастся. Но это не значит, что доказательство верное.

[Руст]

RIP писал(а):

Так что опровергнуть это утверждение численно вряд ли удастся. Но это не значит, что доказательство верное.

Ваши соображения всем известны. Но вдруг для очень редких чётных n вообще не найдётся представление в виде суммы двух простых чисел. Тем не менее есть люди, которые проверили это для $n<10^{18}$ и даже собрались (где то я читал об этом) с помощью типа GIMPS проверит это до $10^{22}$. Правда я считаю это бесполезной тратой компьютерного времени. Ведь если и есть контрпример (правда вряд ли кто считает это вероятным), он может оказаться гораздо больше - скорее всего порядка первого числа x, для которого $R(x)=\pi(x)-Li(x))$ положительна (как никак обе задачи связаны с равномерностью распределения простых чисел). Пока доказано, что $R(x)$ бесконечно раз меняет знак и она отрицательна вплоть до $10^{700}$.

[RIP]

Руст писал(а):

Ваши соображения всем известны. Но вдруг для очень редких чётных n вообще не найдётся представление в виде суммы двух простых чисел.

Так я ж вообще ничего не утверждал. Моё сообщение было адресовано в первую очередь Батороеву, чтобы частично развеять его скепсис, который, как мне показалось, у него присутствует в связи с утверждением. Смысл моего сообщения таков, что утверждение выглядит правдоподобным. Хотя в принципе оно может оказаться неверным, хотя я верю в обратное.

[AndAll]

RIP писал(а):

При больших $k$ утверждение скорей всего верно, потому что число представлений чётного числа $n$ в виде суммы двух простых скорее всего (предположительно) растёт, как величина порядка $\frac n{(\log n)^2}$ (по крайней мере для "почти всех" $n$ это так). Так что опровергнуть это утверждение численно вряд ли удастся. Но это не значит, что доказательство верное.

Я не представлял никаких доказательств. Я только сказал, что доказательство существует, но верить мне на слово тоже не просил. Пока можно считать это просто гипотезой.

[Руст]

А как нам понять это?

AndAll писал(а):

Это утверждение не является фактом простого наблюдения, но имеет строгое доказательство. К сожалению, поля форума…

[AndAll]

Руст писал(а):

А как нам понять это?

AndAll писал(а):

Это утверждение не является фактом простого наблюдения, но имеет строгое доказательство. К сожалению, поля форума…

Это надо понимать так, что доказательство мне известно, но пока выложить его не могу. Я же предлагал в свое время прислать его интересующимся, но таких не нашлось.
А Вы, все же, прежде чем обвинять кого-либо в написании чуши, освежите свою память.

[AndAll]

Руст писал(а):

RIP писал(а):

Так что опровергнуть это утверждение численно вряд ли удастся. Но это не значит, что доказательство верное.

.... Но вдруг для очень редких чётных n вообще не найдётся представление в виде суммы двух простых чисел.

Вообще-то, есть предположение, (только не надо закидывать меня камнями), что каждое четное число, за исключением конечного их числа, может быть представлено в виде суммы двух простых, каждое из которых имеет близнеца. Из первых почти 8000 четных чисел не имеют такого представления только числа вида $6n - 2,\,\,6n,\,\,6n + 2$ для $n = 16,{\text{67}}{\text{, 86}}{\text{, 131}}{\text{, 151}}{\text{, 186}}{\text{, 191}}{\text{, 211}}{\text{, 226}}{\text{, 541}}{\text{, 701}}$ , т.е. всего 33 числа. Конечно же, это ни в коей мере не является каким бы то ни было доказательством.
Очевидно, что если одно число из тройки четных чисел $6n - 2,\,\,6n,\,\,6n + 2$ представимо в виде суммы двух простых, каждое из которых имеет простого близнеца, то представимы в таком виде и два других. То есть все три числа или представимы в виде суммы простых близнецов или не представимы. Число таких представлений для каждого числа любой такой тройки одинаково. Пару простых 3 - 5 я не считаю здесь близнецами.
Если это предположение верно, то из него сразу вытекает справедливость как гипотезы Гольдбаха-Эйлера, так и гипотезы о простых числах-близнецах. Обратное, конечно, не верно. Это предположение гораздо сильнее обеих этих гипотез.
Позволю себе высказать еще одно предположение: между квадратами двух последовательных нечетных простых чисел лежит, по крайней мере, две пары простых близнецов.

[Бодигрим]

Я таких предположений с десяток могу придумать. Особенно с утра. Вы бы доказать что-либо попробовали.

[AndAll]

Бодигрим писал(а):

Я таких предположений с десяток могу придумать. Особенно с утра. Вы бы доказать что-либо попробовали.

За меня не беспокойтесь, конечно я пробовал. А вот насчет придумать - вряд ли. Эти придумал я, а другие будут уже не такие и не столь красивые.
А вообще-то, каждый может подумать над этими предположениями, даже не обсуждая их на форуме. Для этого я их здесь и выложил. Может кому и понравится. Берите, пользуйтесь, мне не жалко.
А если серьезно, предположения эти возникли не на пустом месте. Но здесь и сейчас это только предположения.
PS. Решить с утра с десяток кем-то поставленных задач Вы, наверное, сможете. Тем более, если будете знать, что решения существуют. Вы попробуйте поставить какую-нибудь задачу. Новую, интересную и красивую.

[Azog]

Проблема гольдбаха не является новой. А то что вы говорите какието непонятные высказывания из неясных источников.. Я знаете ли тоже могу выдать предложение: между числами $[10^19, 10^34]$ есть 3 пары близнецов. Идите проверяйте.. У всякой гипотезы должно быть обоснование.. а то что вы говорите - какая - то ерунда... Вы вообще кто? Доктор ф.м. наук по теории чисел? Или академик Виноградов? Или Пьер Ферма? Или Рамануджан?

[bot]

AndAll писал(а):

Вообще-то, есть предположение, (только не надо закидывать меня камнями), что каждое четное число, за исключением конечного их числа, может быть представлено в виде суммы двух простых, каждое из которых имеет близнеца.

Аффтар жжот! Пральна - чего размениваться по пустякам, сразу уж и проблему близнецов закроем, застоялась уж.

[нг]

Azog
Замечание за переход на личности.

[Мат]

Мне кажется, что справедливость проблемы Гольдбаха следует из гипотезы Римана, а именно распределение простых чисел по числовой оси обратно пропорционально натуральному логарифму величины последовательности:
$\frac{x}{ln(x)}
Тогда количество всех возможных комбинаций $\frac{x^2}{ln(x)}$ что значительно превышает расстояния между простыми числами.