Решение парадокса лжеца (+ парадокс Рассела)

[ArshakA]

whitefox в сообщении #1137840 писал(а):

"высказывание записанное на данной карточке" = "высказывание записанное на данной карточке ложно".

Разве эти две строки равны?

Возможно я использую какие-то знаки не правильно, но эти две "строки" равны. Причём по условию. "Высказывание записанное на данной карточке" и есть "высказывание записанное на данной карточке ложно" (Первая "строка" название высказывания (идентификация), вторая его содержание)

-- 14.07.2016, 20:10 --

(Оффтоп)

whitefox если вас не затруднит объяните мне вкратце когда используется $=$, когда $\Leftrightarrow$, когда $\Longleftrightarrow$, а когда $:=$. Я в самых общих чертах понимаю, но иногда возникают затруднения.

[epros]

ArshakA в сообщении #1137844 писал(а):

но эти две "строки" равны. Причём по условию

Утверждение ""Высказывание записанное на данной карточке" и есть "высказывание записанное на данной карточке ложно"" - несомненно ложно, даже если Вам вдруг захотелось заложить его в какое-то "условие". В чём парадокс?

[ArshakA]

Не знаю в чём парадокс. Я как раз утверждаю, что никакого парадокса нет.

-- 14.07.2016, 20:21 --

epros в сообщении #1137846 писал(а):

если Вам вдруг захотелось заложить его в какое-то "условие"

Не мне.

buddy в сообщении #1137826 писал(а):

Парадокс 2.
Карточка с одним высказыванием:
на данной карточке написано ложное высказывание.

[epros]

ArshakA в сообщении #1137847 писал(а):

epros в сообщении #1137846 писал(а):

если Вам вдруг захотелось заложить его в какое-то "условие"

Не мне.

buddy в сообщении #1137826 писал(а):

Парадокс 2.
Карточка с одним высказыванием:
на данной карточке написано ложное высказывание.

Вы написали другое:

ArshakA в сообщении #1137844 писал(а):

"Высказывание записанное на данной карточке" и есть "высказывание записанное на данной карточке ложно"

Это неверно. Буковки в первых и вторых кавычках не совпадают.

Правильно так:
На данной карточке написано: "на данной карточке написано ложное высказывание".
Тем не менее, написанное на данной карточке по правилам исчисления предикатов вообще не является высказыванием, а стало быть оно вообще неизвестно что такое. Так, набор буковок.

[Someone]

ArshakA в сообщении #1137817 писал(а):

И не для любого высказывания можно определить его истинность.

В классической логике (неважно, формализованной или нет), каждое (синтаксически правильно записанное) высказывание должно быть либо истинным, либо ложным. Высказывание "Высказывание, которое я сейчас произношу, ложно", с точки зрения естественного языка, сформулировано синтаксически правильно. Поэтому здесь нельзя отвертеться, заявив, что "нельзя определить его истинность".

Другое дело, что формализованная классическая логика не разрешает формулировать высказывания о высказываниях, в частности, высказывание не может говорить о себе самом. Кроме того, истинность или ложность высказывания определяется, вообще говоря, не самой формальной теорией, а её интерпретацией. По этим причинам парадокс лжеца в такой формулировке формализовать нельзя.

P.S. Парадоксы, возникающие при возможности формулировать высказывания о высказываниях, заставляют разделять теорию и метатеорию: метатеория нужна для того, чтобы построить формализацию нужной нам (предметной) теории, и позволяет обсуждать выводимость и истинность высказываний предметной теории (истинность — при построении модели предметной теории).

[ArshakA]

Anton_Peplov в сообщении #1137838 писал(а):

В любой формальной теории (включая логику предикатов) есть правила, задающие, какой набор символов является, а какой не является формулой этой теории. Так вот по этим правилам "s = "s ложно"" составить нельзя.

Формальные теории специально построенны так, что бы подобные формулы были не составимы. Вообще я не очень понимаю как формальные теории связаны с парадоксом лжеца, если он в них даже не формулируется, то о чём может идти речь.

epros в сообщении #1137836 писал(а):

Нельзя их составить. В языке логики первого порядка можно составить высказывания, опровержимые в аксиоматике логики первого порядка, но нельзя составить "противоречивых". Это означало бы противоречивость аксиоматики логики как таковой.

То же самое, если нельзя составить противоречивых высказываний, то о каких парадокса может идти речь?

Anton_Peplov в сообщении #1137838 писал(а):

В который раз говорю Вам: заканчивайте придумывать глупости, начинайте читать учебники. Вам кажется, что Вы высказываете разумные мысли,которых окружающие просто пока не понимают, но вот сейчас Вы объясните, и все встанет на свои места. Однако это не разумные мысли, а тривиальные ошибки, которых Вы не видите в силу безграмотности в обсуждаемых вопросах. Отложите свои фантазии в сторону и возьмите учебник. Усвоив учебник, вернитесь к своим мыслям и посмотрите на них новыми глазами. Потом можно и пообсуждать, если останется что.

Я тоже уже пришёл к такому решению. Все эти дни читаю Клини. Постепенно, вдумчиво. Бывало уже: проглотил книгу и ничего не усвоилось. Очень хочется нормально овладеть мат.логикой, что бы корректно сформулировать свои мысли. (Не могу поверить, что после прочтения всего откажусь от своего разрешения парадокса лжеца. Настолько оно сейчас кажется очивидным и правильным)

[epros]

ArshakA в сообщении #1137855 писал(а):

То же самое, если нельзя составить противоречивых высказываний, то о каких парадокса может идти речь?

Если зашла речь о парадоксах, значит у нас противоречивая аксиоматика, которую необходимо пересмотреть. Нормальная ситуация - это когда аксиоматика непротиворечива (по крайней мере, мы так считаем), так что в нормальной ситуации ни о каких парадоксах речь идти и не должна.

[whitefox]

(Оффтоп)

ArshakA в сообщении #1137844 писал(а):

whitefox если вас не затруднит объяните мне вкратце когда используется $=$, когда $\Leftrightarrow$, когда $\Longleftrightarrow$, а когда $:=$.

Обычно $=$ понимают как знак равенства, $\Leftrightarrow$ как знак эквиваленции, $:=$ это знак присваивания из Алгола, который иногда используют как равно по определению. Каких-то строгих правил использования этих символов нет, и на авторе лежит обязанность указать какой точный смысл он вкладывает в тот или иной знак. При этом желательно, чтобы разные смыслы обозначались разными знаками.

[epros]

(Байка про Сократа)

Сократ как-то изрёк: "Я знаю только то, что ничего не знаю". Ушлый ученик тут же заметил: "Но, учитель, если ты ничего не знаешь, то не знаешь и того, что что-то знаешь". Сократ почесал тыковку и уточнил: "Я знаю только то, что знаю только это". Ученик вытаращил глаза: "Простите учитель, не могли бы Вы ещё раз помедленнее объяснить, что именно Вы знаете"?

[ArshakA]

epros в сообщении #1137852 писал(а):

Вы написали другое:
ArshakA в сообщении #1137844

писал(а):
"Высказывание записанное на данной карточке" и есть "высказывание записанное на данной карточке ложно"
Это неверно. Буковки в первых и вторых кавычках не совпадают.

"И есть" в данном случае означает $\Leftrightarrow$ а не $\Longleftrightarrow$. Всмысле эквивалентно так, как могут быть эквивалентны любые наборы буковок, независимо от их содержания. (До сих пор не могу понять разницу между равенством и эквиваленцией в исчислении высказываний).

epros в сообщении #1137852 писал(а):

Правильно так:
На данной карточке написано: "на данной карточке написано ложное высказывание".

Это не эквивалентно ($\Longleftrightarrow$), тому что написал я?

epros в сообщении #1137852 писал(а):

Тем не менее, написанное на данной карточке по правилам исчисления предикатов вообще не является высказыванием, а стало быть оно вообще неизвестно что такое. Так, набор буковок.

А по правилам исчисления высказываний является?

-- 14.07.2016, 21:30 --

(Оффтоп)

epros в сообщении #1137861 писал(а):

"Байка про Сократа"
Сократ как-то изрёк: "Я знаю только то, что ничего не знаю". Ушлый ученик тут же заметил: "Но, учитель, если ты ничего не знаешь, то не знаешь и того, что что-то знаешь". Сократ почесал тыковку и уточнил: "Я знаю только то, что знаю только это". Ученик вытаращил глаза: "Простите учитель, не могли бы Вы ещё раз помедленнее объяснить, что именно Вы знаете"?

:-) :-) :-)

-- 14.07.2016, 21:40 --

Есть один вопрос: могу ли я задавать возникающие вовремя чтения книг вопросы на этом форуме? Вопросы могут быть не только насчёт понимания каких-то аспектов мат.логики, но и в духе:"Почему математики договорились сделать так, а не иначе? Нельзя ли сделать по другому (вот так-то) и если нет то почему?" При условии, конечно, что я уже буду владеть базой для понимания ваших ответов. (Полного прочтения "Математической логики" Клини хватит?)

[kp9r4d]

Равенство между объектами (термами), а эквивалентность между формулами.
Нет, не является, т.к. исчисление высказываний является частью исчисления предикатов.

[ArshakA]

kp9r4d, спасибо

[whitefox]

ArshakA в сообщении #1137866 писал(а):

"И есть" в данном случае означает $\Leftrightarrow$

То есть на мой вопрос:

whitefox в сообщении #1137840 писал(а):

А какой смысл имеет знак $=$ здесь? Равенство?

Вы отвечаете, что в данном контексте знак $=$ означает эквиваленцию (двухместную булеву функцию с вектором истинности 1 0 0 1). И чему равно истинностное значение набора буковок: "высказывание записанное на данной карточке"?

[ArshakA]

whitefox в сообщении #1137872 писал(а):

Вы отвечаете, что в данном контексте знак $=$ означает эквиваленцию (двухместную булеву функцию с вектором истинности 1 0 0 1). И чему равно истинностное значение набора буковок: "высказывание записанное на данной карточке"?

Да. А истинностное значение набора буковок "высказывание записанное на данной карточке" и требуется определить (это вопрос задачи)

[Anton_Peplov]

ArshakA в сообщении #1137866 писал(а):

Есть один вопрос: могу ли я задавать возникающие вовремя чтения книг вопросы на этом форуме? Вопросы могут быть не только насчёт понимания каких-то аспектов мат.логики, но и в духе:"Почему математики договорились сделать так, а не иначе? Нельзя ли сделать по другому (вот так-то) и если нет то почему?" При условии, конечно, что я уже буду владеть базой для понимания ваших ответов.

Разумеется, можете. Для этого предназначен раздел "Помогите решить/разобраться".
Главное - не путать вопросы с утверждениями. А то модераторы обидятся, они чувствительные.