Решение парадокса лжеца (+ парадокс Рассела)

[epros]

ArshakA в сообщении #1137349 писал(а):

какие ещё есть (если вообще есть) положения в любой теории множеств, кроме её собственных и аксиом логики?

В любой теории (не только теории множеств), нет ничего, кроме логических и прикладных (т.е. "её собственных") аксиом. Не считая того, что ещё и язык может отличаться. Например, в языке арифметики есть функциональные символы $+$ и $\times$, а в языке теории множеств есть предикатный символ $\in$.

[ArshakA]

epros
Спасибо

-- 12.07.2016, 00:19 --

Someone в сообщении #1137354 писал(а):

И с этим багажом Вы заявились сюда, чтобы указывать профессиональным математикам, как им строить теорию множеств?

Нет. Это просто прочитанная книжка, а не основа моих знаний. Но багаж у меня правда скудный. Я не пытаюсь указывать как строить теорию множеств, я предлагаю вернутся к исходной , скорее всего дополненной, но не в коем случае не изменённой. (И я предлагаю, а не указываю.) Всё мной сказанное всего лишь мои мысли и мои мнения. Я никого не заставляю перестраивать всю математику по ним, но я пытаюсь донести их до Вас. Что бы услышать Ваше мнение.

[Someone]

ArshakA в сообщении #1137358 писал(а):

я предлагаю вернутся к исходной

То есть, вернуться почти на полтораста лет назад? Вы с ума сошли?

Вы сами подумайте, что Вы предлагаете: отказаться от всего, сделанного в математике за эти годы, изуродовать математическую логику, которая служит базой для современной математики, и разрабатывать заново всю математику (включая даже элементарную геометрию и алгебру). При этом сами толком не понимаете, о чём говорите и чего хотите.

Может быть, стоит на этом дискуссию прекратить? Вам, конечно, пытаются помочь разобраться в вопросе, и я в этом немного участвую, но толку я не вижу.

ArshakA в сообщении #1137358 писал(а):

но я пытаюсь донести их до Вас. Что бы услышать Ваше мнение.

Мнение о ваших предложениях уже было высказано.

ArshakA в сообщении #1137349 писал(а):

Как для самого большого числа ($\infty$) прибавление 1 ничего не меняет

Символ $\infty$ никакого числа не обозначает.

ArshakA в сообщении #1137349 писал(а):

так и для самого большого множества (универсального) переход к булеану не даёт множества с большей мощностью.

Извините, но в аксиомах теории множеств ничего не говорится о "самом большом" множестве, и доказательство, опирающееся на эти аксиомы, также ничего не "знает" о "самом большом" множестве. Оно работает одинаково для любого множества, и получается противоречие. И ваши попытки "разрешения парадокса" ничего не дают.

-- Вт июл 12, 2016 01:39:58 --

Кстати, о книгах. Есть ещё "Справочная книга по математической логике" в четырёх частях, которые называются "Теория моделей", "Теория множеств", "Теория рекурсии", "Теория доказательств и конструктивная математика".

[kp9r4d]

Раз уж зашла тема о книгах, то мне очень понравился Cori Lascar "Mathematical Logic : A course with exercises", - короткий и очень аккуратный курс логики, без лишней компьютеризации и формализма и с отсылками к современным резлуьтатам.

[ArshakA]

Someone в сообщении #1137371 писал(а):

То есть, вернуться почти на полтораста лет назад? Вы с ума сошли?

Вы сами подумайте, что Вы предлагаете: отказаться от всего, сделанного в математике за эти годы, изуродовать математическую логику, которая служит базой для современной математики, и разрабатывать заново всю математику (включая даже элементарную геометрию и алгебру).

Я не предлагаю отказтся от всего сделанного в математике. Более того, вообще ни от чего сделанного не предлагаю отказыватся. Я предлагаю вернуть (восстановить, создать заново) наивную теорию множеств. Это будет параллельнная аксиоматическим теориям множеств теория. Она будет использовать (скорее всего) очень нетрадиционную логику, но тем не менее ни каким образом не будет мешать всем остальным теориям. Она займёт своё место в фундаментальной математике, как например геометрия Лобачевского в Геометрии.

Someone в сообщении #1137371 писал(а):

Может быть, стоит на этом дискуссию прекратить? Вам, конечно, пытаются помочь разобраться в вопросе, и я в этом немного участвую, но толку я не вижу.

Тема ещё не исчерпана, но пока мне сказать нечего.

Someone в сообщении #1137371 писал(а):

Извините, но в аксиомах теории множеств ничего не говорится о "самом большом" множестве

В каких аксиомах, какой теории множеств?

Someone в сообщении #1137371 писал(а):

Мнение о ваших предложениях уже было высказано.

Да и я пытаюсь защитить свои предположения. А вы пытаетесь их опровергнуть. Все правильно. В итоге, если никто не будет упрямится, мы придем к какому-то согласию. На данный момент большинство моих предложений опровергнуто. Мне необходимо время на размышления.

Someone в сообщении #1137371 писал(а):

Символ $\infty$ никакого числа не обозначает.

что тогда он обозначает? Ничего просто некий символ? Тогда ничто не пострадает если мы причислим его к $\mathbb{R}$ или $\mathbb{Z}$ ?

Someone в сообщении #1137371 писал(а):

И ваши попытки "разрешения парадокса" ничего не дают.

Это не разрешение, это просто соображения опирающиеся на анологию. Разрешеных парадоксов у меня только два: парадокс лжеца и парадокс Керри.

-- 12.07.2016, 14:46 --

Someone в сообщении #1137371 писал(а):

Кстати, о книгах. Есть ещё "Справочная книга по математической логике
" в четырёх частях, которые называются "Теория моделей", "Теория множеств", "Теория рекурсии", "Теория доказательств и конструктивная математика".

Спасибо. Попробую изучить. У меня теперь материала для чтения как минимум до нового года

kp9r4d в сообщении #1137381 писал(а):

Раз уж зашла тема о книгах, то мне очень понравился Cori Lascar "Mathematical Logic : A course with exercises",

На английском?

[Anton_Peplov]

ArshakA в сообщении #1137451 писал(а):

что тогда он обозначает? Ничего просто некий символ? Тогда ничто не пострадает если мы причислим его к $\mathbb{R}$ или $\mathbb{Z}$ ?

Теорема. Пусть $A$ - уровень знания математики и $P$ - желание устраивать ревизию ее оснований. Тогда $P \propto A^{-5}$ и при $A = 0$ становится бесконечным.
Правда, $P$ зависит еще от $Z$ (здравомыслие) и при малых $A$ выполняется $Z \ne 0 \Rightarrow P = 0$.

[arseniiv]

ArshakA в сообщении #1137451 писал(а):

что тогда он обозначает? Ничего просто некий символ? Тогда ничто не пострадает если мы причислим его к $\mathbb{R}$ или $\mathbb{Z}$ ?

Пострадают структуры поля и кольца на них соответственно. Можете поискать на этом форуме всевозможные темы о делении на ноль, тут эффект практически тот же.

[Someone]

ArshakA в сообщении #1137451 писал(а):

Я предлагаю вернуть (восстановить, создать заново) наивную теорию множеств.

Хм… Подавляющее большинство математиков ей благополучно пользуются, не упоминая вообще никаких аксиом. Они просто используют конструкции и рассуждения, широко применяемые в различных областях математики. Если существование определённого каким-то способом объекта (наподобие множества всех множеств) приводит к противоречию, это интерпретируется как несуществование такого объекта. Аксиоматика (почти всегда это ZFC или NBG) привлекается в тех случаях, когда на уровне неформализованной теории вопрос в принципе не решается (таких вопросов очень много; самый "знаменитый", наверное, континуум-гипотеза). Исключение составляют всякие теории множеств и тесно связанные с ними области математики. Там, разумеется, без аксиоматики вообще ничего нельзя делать.
Теории ZFC и NBG почти равносильны (NBG чуть сильнее) и формализуют как раз эти широко применяемые математиками конструкции и методы рассуждения. Собственно, я не знаю ни одной математической теории, которую нельзя было бы формализовать в NBG, но я, разумеется, знаком не со всей математикой. На роль оснований математики может претендовать также теория категорий.

ArshakA в сообщении #1137451 писал(а):

Она будет использовать (скорее всего) очень нетрадиционную логику, но тем не менее ни каким образом не будет мешать всем остальным теориям.

Пустяки Вас заботят. Никому не нужные.
Видите ли, математики напридумывали тьму логических систем, но используют, фактически, только две: классическую логику и итуиционистскую логику, которая от классической отличается тем, что из числа тавтологий (аксиом исчисления высказываний) исключён "закон исключённого третьего" ($A\vee\neg A$), и ещё некоторыми деталями. Все остальные "логики" — это такая экзотика, что я с ними никогда не встречался, если не считать статей, посвящённых специально этим системам. Как я уже говорил, подавляющее большинство математиков если и сталкиваются с теорией множеств, то аксиоматикой не заморачиваются, а логику используют классическую или (в конструктивном направлении) интуиционистскую.

Если Вы придумаете какую-то свою логику, то это никому не нужно. Кроме того, заниматься этим надо не после прочтения популярной книжки, а после тщательного изучения предмета. Иначе ничего, кроме глупостей, не получится.

ArshakA в сообщении #1137451 писал(а):

Она займёт своё место в фундаментальной математике, как например геометрия Лобачевского в Геометрии.

Мания величия? Я рад, что мне удалось решить кое-какие задачи, которые до меня никто решить не смог, и на мои работы иногда ссылаются, а уж о вкладе в фундаментальную математику я и говорить боюсь.

ArshakA в сообщении #1137451 писал(а):

В каких аксиомах, какой теории множеств?

Да почти любой.

ArshakA в сообщении #1137451 писал(а):

Разрешеных парадоксов у меня только два: парадокс лжеца и парадокс Керри.

Ну, Ваше "разрешение" парадокса лжеца сводится к тому, что "никто так сказать не мог". А по-моему, запросто мог. Не тот заформализованный лжец, которого Вы имеете в виду, а настоящий, цель которого — заморочить оппонента напрочь.

ArshakA в сообщении #1137451 писал(а):

что тогда он обозначает? Ничего просто некий символ?

Ну почему же, у него есть полезные функции. В теории пределов, например. Для описания поведения некоторых функций.

ArshakA в сообщении #1137451 писал(а):

Тогда ничто не пострадает если мы причислим его к $\mathbb{R}$ или $\mathbb{Z}$

Символы $\infty$, $+\infty$ и $-\infty$ в теории пределов присоединяются к множеству действительных чисел, но числами не считаются, поскольку на них нельзя распространить арифметические операции. Если же Вы будете считать эти символы числами и каким угодно способом определите для них арифметические операции, то полученная алгебраическая система будет обладать плохими свойствами и из-за этого никому не будет нужна: в ней невозможно делать преобразования формул по обычным правилам.

ArshakA в сообщении #1137451 писал(а):

На английском?

Оригинальный текст на французском, но есть перевод на английский язык.

arseniiv в сообщении #1137463 писал(а):

Пострадают структуры поля и кольца на них соответственно. Можете поискать на этом форуме всевозможные темы о делении на ноль, тут эффект практически тот же.

Например: http://dxdy.ru/post243117.html#p243117.

[ArshakA]

Anton_Peplov в сообщении #1137462 писал(а):

ArshakA в сообщении #1137451 писал(а):

что тогда он обозначает? Ничего просто некий символ? Тогда ничто не пострадает если мы причислим его к $\mathbb{R}$ или $\mathbb{Z}$ ?

Теорема. Пусть $A$ - уровень знания математики и $P$ - желание устраивать ревизию ее оснований. Тогда $P \propto A^{-5}$ и при $A = 0$ становится бесконечным.
Правда, $P$ зависит еще от $Z$ (здравомыслие) и при малых $A$ выполняется $Z \ne 0 \Rightarrow P = 0$.

Но при достаточно высоких $R$ (уровень фантазии), игнорируя другие велечины, зависимость $P$ от $R$ становится экспоненциальной.

arseniiv в сообщении #1137463 писал(а):

Пострадают структуры поля и кольца на них соответственно. Можете поискать на этом форуме всевозможные темы о делении на ноль, тут эффект практически тот же.

Спасибо

[Anton_Peplov]

ArshakA в сообщении #1137469 писал(а):

Но при достаточно высоких $R$ (уровень фантазии), игнорируя другие велечины, зависимость $P$ от $R$ становится экспоненциальной.

Ошибка. При $Z \ne 0$ человек понимает, что при малых $A$, сколько бы ни придумывал, придумает глупости. Поэтому либо начинает повышать $A$, либо направляет свою фантазию на что-нибудь другое. Попробуйте фэнтези писать, что ли, вдруг получится.

(Оффтоп)

ArshakA в сообщении #1137469 писал(а):

игнорируя другие велечины

И правила русской орфографии заодно.

[ArshakA]

Someone в сообщении #1137467 писал(а):

Если Вы придумаете какую-то свою логику, то это никому не нужно. Кроме того, заниматься этим надо не после прочтения популярной книжки, а после тщательного изучения предмета. Иначе ничего, кроме глупостей, не получится.

Да. это я уже понял

Someone в сообщении #1137467 писал(а):

Мания величия.

Нет. Я привёл пример, который иллюстрирует место теории относительно её практически пременяемых аналогов (как наивная к аксиоматическими, так лобочевская к евклидовой), а неё уровень. (Может пример не слишком удачный т.к. Лобачевская геометрия всё-таки (насколько я знаю) оказалась довольно полезна) А "В фундаментальной математике" - т.е. в той, в которой рассматриваются самые начала математики (рядом с метаматематикой), я использовал это словосочетание, что бы назвать раздел, а не уровень открытия.

Someone в сообщении #1137467 писал(а):

Ну, Ваше "разрешение" парадокса лжеца сводится к тому, что "никто так сказать не мог". А по-моему, запросто мог. Не тот заформализованный лжец, которого Вы имеете в виду, а настоящий, цель которого — заморочить оппонента напрочь.

Так речь идёт не о настоящем лжеце. Ведь когда Вы формулируете суть парадокса Вы используете правило: правдец говорит только правду, лжец говорит только ложь. Отмените его и вообще никакого парадокса нет. Ну сказал человек: Я лжец. И всё. И ничего из этого заключить нельзя. А если не отменять его, тогда как Вы верно уловили мысль - никто этого сказать не мог. Предположив, что кто-то это сказал (и что люди бывают только правдецами и лжецами) мы сами создаём противоречие. Я прав?

Someone в сообщении #1137467 писал(а):

Если же Вы будете считать эти символы числами и каким угодно способом определите для них арифметические операции, то полученная алгебраическая система будет обладать плохими свойствами и из-за этого никому не будет нужна: в ней невозможно делать преобразования формул по обычным правилам.

Можно подробней насчёт преобразования формул?

-- 12.07.2016, 16:46 --

Anton_Peplov в сообщении #1137472 писал(а):

Поэтому либо начинает повышать $A$, либо направляет свою фантазию на что-нибудь другое. Попробуйте фэнтези писать, что ли, вдруг получится.

Буду повышать $A$

(Оффтоп)

Anton_Peplov в сообщении #1137472 писал(а):

И правила русской орфографии заодно.

Опечатка

[arseniiv]

(Оффтоп)

Тогда это не единичная опечатка, увы, и притом одинаковые опечатки повторяются по несколько раз. Я эту сторону не комментировал, потому что в рунете такие комментарии обычно приводят к флейму вида «вам нечего ответить по существу, и потому говорите о моей орфографии-пунктуации!».

[ArshakA]

(Оффтоп)

Не все орфографические ошибки в моих сообщениях - опечатки. Но велЕчина и т.п. не в укор грамотности
P.S. с орфографией у меня средненько. В школе была 4

[mihaild]

(Оффтоп)

Anton_Peplov в сообщении #1137462 писал(а):

Теорема. Пусть $A$ - уровень знания математики и $P$ - желание устраивать ревизию ее оснований. Тогда $P \propto A^{-5}$ и при $A = 0$ становится бесконечным

Кажется эта зависимость немонотонна. Я больше всего хотел переделать математику после 1го курса.
(даже помню главный результат того времени - эквивалентность связности и линейной связности)

ArshakA в сообщении #1137475 писал(а):

Можно подробней насчёт преобразования формул?

Если вы объявите $\infty + 1 = \infty$, то сломается, например, $a > b, c \geqslant d \Leftarrrow a + c > b + d$.
Вообще добавить к вещественным числам число, большее всех натуральных, можно - см. гипервещественные числа (лучше после изучения более базовых разделов). Но даже в них не существует "самого большого числа" (его не получится ввести, сохраняя свойство $x + 1 > x$).

[Mikhail_K]

mihaild в сообщении #1137486 писал(а):

$a > b, c \geqslant d \Leftarrrow a + c > b + d$.

Это Вы что-то невнятное написали.