2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Чем "равно по определению" отличается от "равносильно"?
Сообщение20.09.2013, 23:25 
Аватара пользователя


05/01/13

3968
Прошу извинить за бредовый вопрос, но вот начал читать Зорича и завис на этом моменте. :)

Скажем, там приводится такое равенство по определению:

$(A \subset B) := \forallx((x \in A) \Rightarrow (x \in B))$

Так вот, как я ни старался, так и не смог постичь, зачем конкретно нужен выпендрёж с дополнительным значком присваивания. :) Почему нельзя просто написать:

$(A \subset B) \Leftrightarrow \forallx((x \in A) \Rightarrow (x \in B))$

Очевидно, специальный символ "равно по определению" использован не просто так, но какой именно глубокий смысл в этом сокрыт?.. Значок нарисовали просто для того, чтобы показать, в каких случаях его можно использовать?.. Или тут что-то большее?

Далее на той же странице написано:

$(A = B) \Leftrightarrow (A \subset B) \wedge (B \subset A)$

Здесь Зорич символом "равносильно" не побрезговал. :) Но почему так? Почему бы не использовать и здесь "равенство по определению"?

Я долго пытался понять, что же такого есть в одном высказывании, чего нет в другом (придумал сразу несколько версий, одна другой причудливее), и в итоге понял, что мой мозг не справляется с обработкой этой задачи. :)

Такое впечатление, что это никак не объяснимо с логической точки зрения, а относится к чему-то сакральному, что называют "математической культурой" и передают в ходе живого общения.

Поскольку я математику пытаюсь изучать самостоятельно, по книгам, просто как хобби, то с "математической культурой" у меня напряг. :)

Может, кто-нибудь пояснит, в каких случаях используется символ "равно по определению", и почему там нельзя использовать "равносильно"? И в каких случаях, наоборот, можно использовать лишь "равносильно", а "равно по определению" - нельзя?..

Я, конечно, пытался гуглить, но только ещё больше запутался. Оказалось, существует ещё и символ
$:\Leftrightarrow$
который означает "равносильно по определению"! Это слишком для моего разума! :)

Почему очень похожие высказывания в каких-то случаях "равны по определению", в каких-то - "равносильны", а где-то, оказывается, могут быть и "равносильны по определению"?..

 Профиль  
                  
 
 Re: Чем "равно по определению" отличается от "равносильно"?
Сообщение20.09.2013, 23:43 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
Равносильно - значит это равенство можно доказать.
Определение же вводит новое понятие, которого ранее не было. В данном случае - понятие подмножества. В принципе это некоторого рода аксиома, хотя аксиома не обязательно вводит новое понятие.
Используя это (и ранее введённые определения и аксиомы) можно доказать равносильность вашего равенства множеств.

Как-то так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чем "равно по определению" отличается от "равносильно"?
Сообщение20.09.2013, 23:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
А что такое определение? Утверждение, придающее смысл некоему новому понятию. Каждое понятие когда-то вводится в первый раз. Например, мы дали определение синусу и косинусу. Можно ли теперь написать $\frac{\sin x}{\cos x}=\tg x$, если понятие "тангенс" еще не вводилось? Ведь такое равенство невозможно будет проверить! Нет, сначала задаем $\tg x :=\frac{\sin x}{\cos x}$, а уже потом можем вставлять его в формулы.

(Оффтоп)

пыталась написать знак равенства, над которым стоит $def$ - то есть "по определению", но не смогла


А вот в вашем примере с равенством множеств, наоборот. Само равенство, видимо, задается (определяется) другим утверждением (например, через элементы множеств). Равносильность же показывает, что это определение можно записать и с помощью знака включения.

В общем первое упоминание нового понятия требует присвоения, а все последующие - равносильности (или, скажем, следования и т.п.)

Кстати, такой простой знак, как "равно" может иметь самый разный смысл. Например, постоянную функцию можно описать равенством $y = 2$. Но равносильно ли оно равенству $2=y$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Чем "равно по определению" отличается от "равносильно"?
Сообщение21.09.2013, 00:04 
Заслуженный участник


09/09/10
3729

(Оффтоп)

$\stackrel{\text{def}}=$
\stackrel{\text{def}}=

 Профиль  
                  
 
 Re: Чем "равно по определению" отличается от "равносильно"?
Сообщение21.09.2013, 00:07 
Аватара пользователя


05/01/13

3968
Большое спасибо за ответы! Буду обдумывать.


(Оффтоп)

provincialka в сообщении #766018 писал(а):
пыталась написать знак равенства, над которым стоит $def$ - то есть "по определению", но не смогла

Можно сделать так:
$\overset{\mathrm{def}}{=}$
\overset{\mathrm{def}}{=}

Или так:
$\stackrel{\rm def}{=}$
\stackrel{\rm def}{=}

Последний вариант самый короткий.


-- 21.09.2013, 00:15 --

Прошу прощения, коряво вставил текст. :) Сейчас поправил пост.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чем "равно по определению" отличается от "равносильно"?
Сообщение21.09.2013, 00:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань

(Оффтоп)

Спасибо за подсказки! Про stackrel я нашла, просто написала неправильно, без $k$.

Мне кажется, что знак присвоения $:=$ и знак определения $\stackrel{\rm {def}}=$ все же различаются. Я могу написать "Пусть $t=x^2$" (это тоже фактически присваивание), а в программе даже $x:=x+1$. Но это - не определения, это временные соглашения.

Прошу прощения за некоторый уход от темы, этот простой значок $=$ меня давно занимает. Может, создать тему про него? Где-нибудь в "свободном полете"...

 Профиль  
                  
 
 Re: Чем "равно по определению" отличается от "равносильно"?
Сообщение21.09.2013, 00:47 
Аватара пользователя


05/01/13

3968
Ещё раз спасибо за подробные ответы! Сейчас как следует изучил их, и вроде бы ситуация стала проясняться. :)

Значит, "равно по определению" используется лишь при введении новых понятий... Но для чего же тогда нужно "равносильно по определению"? Или это одно и то же?


provincialka в сообщении #766018 писал(а):
Кстати, такой простой знак, как "равно" может иметь самый разный смысл. Например, постоянную функцию можно описать равенством $y = 2$. Но равносильно ли оно равенству $2=y$?

Вы мимоходом взорвали мой мозг. :) Честно говоря, не знаю, как правильно ответить на этот вопрос. (В смысле, правильными словами.) Вообще, для меня ещё со школы является загадкой, почему в одних случаях можно ставить "равносильно", а в других допускается только "следовательно". Где бы об этом почитать?


provincialka в сообщении #766027 писал(а):
Прошу прощения за некоторый уход от темы

Мне кажется, что это не такой уж и оффтопик. Ведь правильное написание символа - это ещё одна сторона проблемы. :) И я очень благодарен, что Вы подняли данный вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чем "равно по определению" отличается от "равносильно"?
Сообщение21.09.2013, 00:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #766027 писал(а):
Мне кажется, что знак присвоения $:=$ и знак определения $\stackrel{\rm {def}}=$ все же различаются. Я могу написать "Пусть $t=x^2$" (это тоже фактически присваивание), а в программе даже $x:=x+1$. Но это - не определения, это временные соглашения.

В программах используются другие знаки, чем в математике, это вызвано в том числе скудностью доступных для набора обозначений, и необходимостью автоматического разбора компилятором.

А фраза "Пусть $t=x^2$", имхо, ровно это и делает: вводит определение значка $t$ для употребления ниже по тексту.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чем "равно по определению" отличается от "равносильно"?
Сообщение21.09.2013, 01:35 
Аватара пользователя


05/01/13

3968
Ещё по поводу символов "равносильно" и "следовательно"... Как я понимаю, выбор значка определяется тем, является ли преобразование выражений тождественным?

Например, можно написать:

$x + 2 = 5y \Leftrightarrow y = \dfrac{x + 2}{5}$

Но при этом нельзя писать:

$y = \dfrac{x + 2}{5} \Leftrightarrow y = \dfrac{x(x + 2)}{5x}$

(Потому что область определения функции меняется, $x \neq 0$.)

А можно ли записать:

$y = \dfrac{x + 2}{5} \Rightarrow y = \dfrac{x(x + 2)}{5x}$

Вроде бы можно?.. Или надо писать как-то иначе?

(Понимаю, что детские вопросы, но вот остались у меня такие пробелы в знаниях, не разобрался толком в этом вопросе в своё время.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Чем "равно по определению" отличается от "равносильно"?
Сообщение21.09.2013, 01:46 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
Denis Russkih в сообщении #766033 писал(а):
Но для чего же тогда нужно "равносильно по определению"?
Не нужно. Его и не используют. Используют "равносильно".

-- Пт сен 20, 2013 18:47:23 --

Denis Russkih в сообщении #766042 писал(а):
А можно ли записать:

$y = \dfrac{x + 2}{5} \Rightarrow y = \dfrac{x(x + 2)}{5x}$
Стрелка в другую сторону должна быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чем "равно по определению" отличается от "равносильно"?
Сообщение21.09.2013, 01:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Denis Russkih в сообщении #766042 писал(а):
А можно ли записать:

$y = \dfrac{x + 2}{5} \Rightarrow y = \dfrac{x(x + 2)}{5x}$

Как раз наоборот:
$y=\dfrac{x+2}{5}\,\,\Leftarrow\,\,y=\dfrac{x(x+2)}{5x}$
А если вас интересует в прямую сторону, то:
$y=\dfrac{x+2}{5}\,\,\Rightarrow\,\,\Bigl(\,y=\dfrac{x(x+2)}{5x}\,\,\vee\,\,\left(x=0\wedge y=2/5\right)\Bigr)$
Обычно в выкладках делят вычисления на два случая, и рассматривают их дальше по отдельности. Часто вторая ветка по каким-то причинам неинтересна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чем "равно по определению" отличается от "равносильно"?
Сообщение21.09.2013, 02:57 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Стрелка вправо — «достаточно». Стрелка влево — «необходимо». Стрелка туды-сюды — «необходимо и достаточно», «равносильно», «одно и то же», «тождественно», «по определению равно»... Обозначение последнего, соответственно, может быть разным. Таким: $\iff$. Или вот таким: $\equiv$. И таким тоже может быть: $:=$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чем "равно по определению" отличается от "равносильно"?
Сообщение21.09.2013, 03:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Aritaborian в сообщении #766051 писал(а):
Стрелка вправо — «достаточно». Стрелка влево — «необходимо».

Стрелка от A к B - "из A следует B" ("вытекает", или как вам там угодно). Дальше см. таблицу истинности операции импликации: если A истинно, то B также истинно, но если B истинно, то A может быть как истинно, так и ложно.

Aritaborian в сообщении #766051 писал(а):
Стрелка туды-сюды — «необходимо и достаточно», «равносильно», «одно и то же», «тождественно», «по определению равно»... Обозначение последнего, соответственно, может быть разным. Таким: $\iff$. Или вот таким: $\equiv$. И таким тоже может быть: $:=$.

Нет, "по определению равно" и $:=$ - это не просто равносильность. "По определению равно" вводит новый символ. Вы с программированием знакомы? Там очень чётко видна разница между определением символа и его использованием.

Иногда определения выражаются теми же словами, что и равносильность: «одно и то же», «тождественно», ${\equiv}.$ Это можно считать вольностью языка. Но никогда не бывает наоборот: не называют определением простую равносильность. (Иногда бывает, что какое-то соотношение можно принять за определение, хотя выше использовалось иное определение.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Чем "равно по определению" отличается от "равносильно"?
Сообщение21.09.2013, 10:55 
Аватара пользователя


05/01/13

3968
Огромное спасибо за детальные разъяснения!

Наконец что-то начало складываться. :) После стольких лет сумбура в моей голове впервые забрезжил свет. По крайней мере, в том, что касается этих значков. :)

Раньше я просто старался всюду ставить "следовательно", потому что заметил, что если поставить $\Rightarrow$ вместо $\Leftrightarrow$, то к этому относятся терпимее, чем когда ставишь $\Leftrightarrow$ вместо $\Rightarrow$. :)

Лишь сейчас я наконец решился прояснить этот вопрос, потому что не хочется оставлять в тылу такие "силы противника". :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Чем "равно по определению" отличается от "равносильно"?
Сообщение21.09.2013, 11:14 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Denis Russkih в сообщении #766115 писал(а):
если поставить $\Rightarrow$ вместо $\Leftrightarrow$, то к этому относятся терпимее, чем когда ставишь $\Leftrightarrow$ вместо $\Rightarrow$. :)

Это то же самое, что относиться терпимее к "$\leqslant$", чем к "$<$". Когда можно, а когда следует проявлять и нетерпимость.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 33 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group