Чем "равно по определению" отличается от "равносильно"?

[Denis Russkih]

Прошу извинить за бредовый вопрос, но вот начал читать Зорича и завис на этом моменте. :)

Скажем, там приводится такое равенство по определению:

$(A \subset B) := \forallx((x \in A) \Rightarrow (x \in B))$

Так вот, как я ни старался, так и не смог постичь, зачем конкретно нужен выпендрёж с дополнительным значком присваивания. :) Почему нельзя просто написать:

$(A \subset B) \Leftrightarrow \forallx((x \in A) \Rightarrow (x \in B))$

Очевидно, специальный символ "равно по определению" использован не просто так, но какой именно глубокий смысл в этом сокрыт?.. Значок нарисовали просто для того, чтобы показать, в каких случаях его можно использовать?.. Или тут что-то большее?

Далее на той же странице написано:

$(A = B) \Leftrightarrow (A \subset B) \wedge (B \subset A)$

Здесь Зорич символом "равносильно" не побрезговал. :) Но почему так? Почему бы не использовать и здесь "равенство по определению"?

Я долго пытался понять, что же такого есть в одном высказывании, чего нет в другом (придумал сразу несколько версий, одна другой причудливее), и в итоге понял, что мой мозг не справляется с обработкой этой задачи. :)

Такое впечатление, что это никак не объяснимо с логической точки зрения, а относится к чему-то сакральному, что называют "математической культурой" и передают в ходе живого общения.

Поскольку я математику пытаюсь изучать самостоятельно, по книгам, просто как хобби, то с "математической культурой" у меня напряг. :)

Может, кто-нибудь пояснит, в каких случаях используется символ "равно по определению", и почему там нельзя использовать "равносильно"? И в каких случаях, наоборот, можно использовать лишь "равносильно", а "равно по определению" - нельзя?..

Я, конечно, пытался гуглить, но только ещё больше запутался. Оказалось, существует ещё и символ
$:\Leftrightarrow$
который означает "равносильно по определению"! Это слишком для моего разума! :)

Почему очень похожие высказывания в каких-то случаях "равны по определению", в каких-то - "равносильны", а где-то, оказывается, могут быть и "равносильны по определению"?..

[venco]

Равносильно - значит это равенство можно доказать.
Определение же вводит новое понятие, которого ранее не было. В данном случае - понятие подмножества. В принципе это некоторого рода аксиома, хотя аксиома не обязательно вводит новое понятие.
Используя это (и ранее введённые определения и аксиомы) можно доказать равносильность вашего равенства множеств.

Как-то так.

[provincialka]

А что такое определение? Утверждение, придающее смысл некоему новому понятию. Каждое понятие когда-то вводится в первый раз. Например, мы дали определение синусу и косинусу. Можно ли теперь написать $\frac{\sin x}{\cos x}=\tg x$, если понятие "тангенс" еще не вводилось? Ведь такое равенство невозможно будет проверить! Нет, сначала задаем $\tg x :=\frac{\sin x}{\cos x}$, а уже потом можем вставлять его в формулы.

(Оффтоп)

пыталась написать знак равенства, над которым стоит $def$ - то есть "по определению", но не смогла

А вот в вашем примере с равенством множеств, наоборот. Само равенство, видимо, задается (определяется) другим утверждением (например, через элементы множеств). Равносильность же показывает, что это определение можно записать и с помощью знака включения.

В общем первое упоминание нового понятия требует присвоения, а все последующие - равносильности (или, скажем, следования и т.п.)

Кстати, такой простой знак, как "равно" может иметь самый разный смысл. Например, постоянную функцию можно описать равенством $y = 2$. Но равносильно ли оно равенству $2=y$?

[Joker_vD]

(Оффтоп)

$\stackrel{\text{def}}=$
\stackrel{\text{def}}=

[Denis Russkih]

Большое спасибо за ответы! Буду обдумывать.

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #766018 писал(а):

пыталась написать знак равенства, над которым стоит $def$ - то есть "по определению", но не смогла

Можно сделать так:
$\overset{\mathrm{def}}{=}$
\overset{\mathrm{def}}{=}

Или так:
$\stackrel{\rm def}{=}$
\stackrel{\rm def}{=}

Последний вариант самый короткий.

-- 21.09.2013, 00:15 --

Прошу прощения, коряво вставил текст. :) Сейчас поправил пост.

[provincialka]

(Оффтоп)

Спасибо за подсказки! Про stackrel я нашла, просто написала неправильно, без $k$.

Мне кажется, что знак присвоения $:=$ и знак определения $\stackrel{\rm {def}}=$ все же различаются. Я могу написать "Пусть $t=x^2$" (это тоже фактически присваивание), а в программе даже $x:=x+1$. Но это - не определения, это временные соглашения.

Прошу прощения за некоторый уход от темы, этот простой значок $=$ меня давно занимает. Может, создать тему про него? Где-нибудь в "свободном полете"...

[Denis Russkih]

Ещё раз спасибо за подробные ответы! Сейчас как следует изучил их, и вроде бы ситуация стала проясняться. :)

Значит, "равно по определению" используется лишь при введении новых понятий... Но для чего же тогда нужно "равносильно по определению"? Или это одно и то же?

provincialka в сообщении #766018 писал(а):

Кстати, такой простой знак, как "равно" может иметь самый разный смысл. Например, постоянную функцию можно описать равенством $y = 2$. Но равносильно ли оно равенству $2=y$?

Вы мимоходом взорвали мой мозг. :) Честно говоря, не знаю, как правильно ответить на этот вопрос. (В смысле, правильными словами.) Вообще, для меня ещё со школы является загадкой, почему в одних случаях можно ставить "равносильно", а в других допускается только "следовательно". Где бы об этом почитать?

provincialka в сообщении #766027 писал(а):

Прошу прощения за некоторый уход от темы

Мне кажется, что это не такой уж и оффтопик. Ведь правильное написание символа - это ещё одна сторона проблемы. :) И я очень благодарен, что Вы подняли данный вопрос.

[Munin]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #766027 писал(а):

Мне кажется, что знак присвоения $:=$ и знак определения $\stackrel{\rm {def}}=$ все же различаются. Я могу написать "Пусть $t=x^2$" (это тоже фактически присваивание), а в программе даже $x:=x+1$. Но это - не определения, это временные соглашения.

В программах используются другие знаки, чем в математике, это вызвано в том числе скудностью доступных для набора обозначений, и необходимостью автоматического разбора компилятором.

А фраза "Пусть $t=x^2$", имхо, ровно это и делает: вводит определение значка $t$ для употребления ниже по тексту.

[Denis Russkih]

Ещё по поводу символов "равносильно" и "следовательно"... Как я понимаю, выбор значка определяется тем, является ли преобразование выражений тождественным?

Например, можно написать:

$x + 2 = 5y \Leftrightarrow y = \dfrac{x + 2}{5}$

Но при этом нельзя писать:

$y = \dfrac{x + 2}{5} \Leftrightarrow y = \dfrac{x(x + 2)}{5x}$

(Потому что область определения функции меняется, $x \neq 0$.)

А можно ли записать:

$y = \dfrac{x + 2}{5} \Rightarrow y = \dfrac{x(x + 2)}{5x}$

Вроде бы можно?.. Или надо писать как-то иначе?

(Понимаю, что детские вопросы, но вот остались у меня такие пробелы в знаниях, не разобрался толком в этом вопросе в своё время.)

[venco]

Denis Russkih в сообщении #766033 писал(а):

Но для чего же тогда нужно "равносильно по определению"?

Не нужно. Его и не используют. Используют "равносильно".

-- Пт сен 20, 2013 18:47:23 --

Denis Russkih в сообщении #766042 писал(а):

А можно ли записать:

$y = \dfrac{x + 2}{5} \Rightarrow y = \dfrac{x(x + 2)}{5x}$

Стрелка в другую сторону должна быть.

[Munin]

Denis Russkih в сообщении #766042 писал(а):

А можно ли записать:

$y = \dfrac{x + 2}{5} \Rightarrow y = \dfrac{x(x + 2)}{5x}$

Как раз наоборот:
$y=\dfrac{x+2}{5}\,\,\Leftarrow\,\,y=\dfrac{x(x+2)}{5x}$
А если вас интересует в прямую сторону, то:
$y=\dfrac{x+2}{5}\,\,\Rightarrow\,\,\Bigl(\,y=\dfrac{x(x+2)}{5x}\,\,\vee\,\,\left(x=0\wedge y=2/5\right)\Bigr)$
Обычно в выкладках делят вычисления на два случая, и рассматривают их дальше по отдельности. Часто вторая ветка по каким-то причинам неинтересна.

[Aritaborian]

Стрелка вправо — «достаточно». Стрелка влево — «необходимо». Стрелка туды-сюды — «необходимо и достаточно», «равносильно», «одно и то же», «тождественно», «по определению равно»... Обозначение последнего, соответственно, может быть разным. Таким: $\iff$. Или вот таким: $\equiv$. И таким тоже может быть: $:=$.

[Munin]

Aritaborian в сообщении #766051 писал(а):

Стрелка вправо — «достаточно». Стрелка влево — «необходимо».

Стрелка от A к B - "из A следует B" ("вытекает", или как вам там угодно). Дальше см. таблицу истинности операции импликации: если A истинно, то B также истинно, но если B истинно, то A может быть как истинно, так и ложно.

Aritaborian в сообщении #766051 писал(а):

Стрелка туды-сюды — «необходимо и достаточно», «равносильно», «одно и то же», «тождественно», «по определению равно»... Обозначение последнего, соответственно, может быть разным. Таким: $\iff$. Или вот таким: $\equiv$. И таким тоже может быть: $:=$.

Нет, "по определению равно" и $:=$ - это не просто равносильность. "По определению равно" вводит новый символ. Вы с программированием знакомы? Там очень чётко видна разница между определением символа и его использованием.

Иногда определения выражаются теми же словами, что и равносильность: «одно и то же», «тождественно», ${\equiv}.$ Это можно считать вольностью языка. Но никогда не бывает наоборот: не называют определением простую равносильность. (Иногда бывает, что какое-то соотношение можно принять за определение, хотя выше использовалось иное определение.)

[Denis Russkih]

Огромное спасибо за детальные разъяснения!

Наконец что-то начало складываться. :) После стольких лет сумбура в моей голове впервые забрезжил свет. По крайней мере, в том, что касается этих значков. :)

Раньше я просто старался всюду ставить "следовательно", потому что заметил, что если поставить $\Rightarrow$ вместо $\Leftrightarrow$, то к этому относятся терпимее, чем когда ставишь $\Leftrightarrow$ вместо $\Rightarrow$. :)

Лишь сейчас я наконец решился прояснить этот вопрос, потому что не хочется оставлять в тылу такие "силы противника". :)

[ewert]

Denis Russkih в сообщении #766115 писал(а):

если поставить $\Rightarrow$ вместо $\Leftrightarrow$, то к этому относятся терпимее, чем когда ставишь $\Leftrightarrow$ вместо $\Rightarrow$. :)

Это то же самое, что относиться терпимее к "$\leqslant$", чем к "$<$". Когда можно, а когда следует проявлять и нетерпимость.