Решение парадокса лжеца (+ парадокс Рассела)

[ArshakA]

epros в сообщении #1137300 писал(а):

ArshakA в сообщении #1137299 писал(а):

имелась ввиду инверсия

Что это такое?

mihaild в сообщении #1137306 писал(а):

ArshakA, что такое $\neg R$, где $R$ - множество?

дополнение множества до универсального ( в традиционном смысле (хотя в традиционной теории нет универсального множества )),а здесь получается (из-за запрета на снятие двойного отрицания) немного не так
Определим для множества $A$ множество $\neg A$ (инверсия $A$)
пусть $P(x)$ предикат, при использовании для которого второй аксиомы-схемы (вместо $y$ подставляется $A$) образует тождество. Тогда множеством $\neg A$ называется множество, которое при подстановке во вторую аксиому-схемы (вместо $y$) образует тожество при использовании её для предиката $\neg P(x)$

[epros]

ArshakA в сообщении #1137312 писал(а):

пусть $P(x)$ предикат, при использовании для которого второй аксиомы-схемы (вместо $y$ подставляется $A$) образует тождество. Тогда множеством $\neg A$ называется множество, которое при подстановке во вторую аксиому-схемы (вместо $y$) образует тожество при использовании её для предиката $\neg P(x)$

Ничего не понял.

-- Пн июл 11, 2016 23:08:42 --

ArshakA в сообщении #1137312 писал(а):

хотя в традиционной теории нет универсального множества

Вот именно. А непротиворечивой "нетрадиционной" теории у нас пока что нет.

[mihaild]

ArshakA в сообщении #1137312 писал(а):

пусть $P(x)$ предикат, при импользовании для которого второй аксиомы-схемы (вместо $y$ подставляется $A$) образует тождество

Предикат $P(x) := x \in A$ подойдет?

Вообще, вы согласны, что мы показали $R \in R \Leftrightarrow \neg R \in R$ (для нового константного символа $R$)? Если да, то дальше достаточно логических аксиом (см, например, 2.1 "Языков и исчислений" Верещагина и Шеня) для получения $\bot$. От каких логических аксиом (а тут достаточно определения $\Leftrightarrow$, 10й аксиомы и modus ponens), вы предлагаете отказаться?

epros в сообщении #1137317 писал(а):

Ничего не понял.

$P$ - такой предикат, что $\forall x (x \in A \Leftrightarrow P(x))$. Тогда $\neg A$ - такое множество, что $x \in \neg A \Leftrightarrow \neg P(x)$ (по крайней мере я так понял).
(такое существует по неограниченной аксиоме выделения)

[epros]

mihaild в сообщении #1137320 писал(а):

такое существует по неограниченной аксиоме выделения

Я понимаю, что по неограниченной аксиоме выделения существует что угодно.

ArshakA, давайте по-другому. Вы согласились с тем, что Ваша теория в классической логике противоречива, но обещали что-то подправить в логике. Так вот, давайте, подправляйте, не используя понятия "множества". Потому что логика определяется независимо от множеств. Вот и возьмите классическое исчисление предикатов и скажите, что хотите в нём изменить.

[ArshakA]

mihaild в сообщении #1137320 писал(а):

$P$ - такой предикат, что $\forall x (x \in A \Leftrightarrow P(x))$. Тогда $\neg A$ - такое множество, что $x \in \neg A \Leftrightarrow \neg P(x)$ (по крайней мере я так понял).
(такое существует по неограниченной аксиоме выделения)

Да именно так

[epros]

ArshakA в сообщении #1137323 писал(а):

Да именно так

mihaild в сообщении #1137320 писал(а):

$P$ - такой предикат, что $\forall x (x \in A \Leftrightarrow P(x))$.

Нетрудно заметить, что этот $P(x)$ - ни что иное, как $x \in A$.

mihaild в сообщении #1137320 писал(а):

Тогда $\neg A$ - такое множество, что $x \in \neg A \Leftrightarrow \neg P(x)$

Тогда $\forall x (x \in \neg A \leftrightarrow x \notin A)$. Итак, пришли к тому самому, что ArshakA хотел изменить.

[ArshakA]

epros в сообщении #1137322 писал(а):

Я понимаю, что по неограниченной аксиоме выделения существует что угодно

Существуют любые множества. Но не более того.

epros в сообщении #1137322 писал(а):

ArshakA, давайте по-другому. Вы согласились с тем, что Ваша теория в классической логике противоречива, но обещали что-то подправить в логике. Так вот, давайте, подправляйте, не используя понятия "множества".

Не совсем так. Делом в том, что я хотел устранить не что-нибудь, а именно то тождество, которое запрещает некоторому элементу принадлежать сразу обоим множествам, соответствующим противоположным (являющимися отрицанием друг друга) предикатам (соответствие предиката и множества надеюсь понятно (неограниченная аксиома выделения) и если да, то не здесь не далее поясняться не будет). Или не принадлежать ни одному из подобной пары множеств. Я с самого начала говорил о таком решении парадокса.

ArshakA в сообщении #1137088 писал(а):

По аналогии как правдецом себя называют и правдец, и лжец, так и множество всех ненормальных множеств принадлежит и себе, и множеству всех нормальных. И как лжецом себя не называет никто ( и парадокс возникает когда мы пытаемся определить кто это мог сделать) так и множество всех нормальных множеств не принадлежит ни себе, ни множеству всех ненормальных множеств ( и парадокс возникает когда мы пытаемся определить кому оно может принадлежать)

[epros]

ArshakA в сообщении #1137336 писал(а):

Существуют любые множества

Даже те, которых не существует.

ArshakA в сообщении #1137336 писал(а):

я хотел устранить не что-нибудь, а именно то тождество, которое запрещает некоторому элементу принадлежать сразу обоим множествам

В логике нет никаких "множеств", "элементов" и "принадлежит". Так что если хотите подправить логику, то не употребляйте эти слова. А если Вы употребляете эти слова и никак без этого не можете обойтись, значит Вы пытаетесь подправить что угодно, только не логику.

[mihaild]

ArshakA

mihaild в сообщении #1137320 писал(а):

Вообще, вы согласны, что мы показали $R \in R \Leftrightarrow \neg R \in R$ (для нового константного символа $R$)? Если да, то дальше достаточно логических аксиом (см, например, 2.1 "Языков и исчислений" Верещагина и Шеня) для получения $\bot$. От каких логических аксиом (а тут достаточно определения $\Leftrightarrow$, 10й аксиомы и modus ponens), вы предлагаете отказаться?

Для этого вывода уже вообще неважно, что означает значок $\in$ - важно лишь, что это предикатный символ валентности 2, и $x \notin y = \neg x \in y$ (это определение $\notin$ - теорию множеств можно сформулировать вообще без этого значка).

[Someone]

ArshakA, зачем Вам "универсальное множество", под которым Вы, по-моему, понимаете "множество всех множеств"? Чего полезного Вы от него ожидаете? Оно противоречиво, причём, кроме парадокса Рассела, есть и другие парадоксы. Например, парадокс Кантора.
Парадокс Кантора связан с понятием мощности множества. Непосредственно из определения неравенства $\lvert A\rvert\leqslant\lvert B\rvert$ следует, что если $A\subseteq B$, то $\lvert A\rvert\leqslant\lvert B\rvert$. С другой стороны, легко доказывается (теорема Кантора), что для любого множества $A$ выполняется неравенство $\lvert A\rvert<\lvert 2^A\rvert$.
Теперь рассмотрим множество всех множеств, которое будем обозначать $V$. Так как множество $V$ содержит в качестве элементов вообще все множества, то и его подмножества являются его элементами, поэтому $2^V\subseteq V$. Поэтому $\lvert 2^V\rvert\leqslant\lvert V\rvert$. С другой стороны, по теореме Кантора выполняется противоположное неравенство $\lvert 2^V\rvert>\lvert V\rvert$. Получается противоречие.
Ещё один парадокс связан с ординалами (порядковыми числами). Если существует множество всех множеств, то существует множество всех ординалов. С другой стороны, для всякого множества ординалов существует ординал, который строго больше их всех. И опять имеем противоречие.

Так для чего Вам нужно множество всех множеств?

P.S. Теории с универсальным множеством существуют, причём, универсальное множество в них понимается не как множество всех множеств, а как множество всех объектов, которые могут быть элементами множеств. Тогда все множества являются подмножествами универсального множества (не обязательно всевозможными).

С другой стороны, никто не запрещает в той же ZFC рассматривать такие объекты, как совокупность всех множеств. Для этого язык ZFC дополняется конструкцией $\{x:\Phi(x)\}$, где $\Phi(x)$ — формула со свободной переменной $x$. Эта конструкция рассматривается как терм (имя некоторого объекта), и интерпретируется как совокупность всех множеств, обладающих свойством $\Phi$, и называется классом. Это расширение языка оказывается консервативным: утверждение о множествах, не содержащее упоминаний классов, в расширенной теории доказуемо тогда и только тогда, когда оно доказуемо в исходной ZFC.

Наконец, есть теории (например, NBG), в которых основным понятием является класс, а множества определяются как классы, которые являются элементами каких-нибудь классов.

Таким образом, возможность рассматривать без противоречий очень большие совокупности множеств, такие, как класс всех множеств, существует и реализуется не одним способом.

[ArshakA]

epros в сообщении #1137330 писал(а):

ArshakA в сообщении #1137323 писал(а):

Да именно так

mihaild в сообщении #1137320 писал(а):

$P$ - такой предикат, что $\forall x (x \in A \Leftrightarrow P(x))$.

Нетрудно заметить, что этот $P(x)$ - ни что иное, как $x \in A$.

mihaild в сообщении #1137320 писал(а):

Тогда $\neg A$ - такое множество, что $x \in \neg A \Leftrightarrow \neg P(x)$

Тогда $\forall x (x \in \neg A \leftrightarrow x \notin A)$. Итак, пришли к тому самому, что ArshakA хотел изменить.

Да, по-видимому, вы правы. Определение инверсии не дало нужно результата. надо ещё раз его обдумать.
P.S. Вопрос:Кроме аксиом классической логики и аксиом объемности и выделения в наивной теории множеств больше нет никаких положений? Всё остальное (включая пресловутое $x \in A \Longleftrightarrow x \notin A$ ) выводиться?

[mihaild]

ArshakA в сообщении #1137344 писал(а):

Кроме аксиом классической логики и аксиом объемности и выделения в наивной теории множеств больше нет никаких положений?

Этих аксиом уже достаточно, чтобы вывести вообще любое утверждение.

[epros]

+

[ArshakA]

Someone в сообщении #1137343 писал(а):

ArshakA, зачем Вам "универсальное множество", под которым Вы, по-моему, понимаете "множество всех множеств"? Чего полезного Вы от него ожидаете?

У меня такой подход к математике, что я не ищу в ней нечего полезного (в прикладном смысле). Я пытаюсь находить в ней что-то красивое (элегантное, замечательное, фундаментальное) и не терплю создания каких-либо безосновательных (конечно имхо) ограничений, уменьшающих свободу теории.

Someone в сообщении #1137343 писал(а):

Например, парадокс Кантора.
Парадокс Кантора связан с понятием мощности множества. Непосредственно из определения неравенства $\lvert A\rvert\leqslant\lvert B\rvert$ следует, что если $A\subseteq B$, то $\lvert A\rvert\leqslant\lvert B\rvert$. С другой стороны, легко доказывается (теорема Кантора), что для любого множества $A$ выполняется неравенство $\lvert A\rvert<\lvert 2^A\rvert$.
Теперь рассмотрим множество всех множеств, которое будем обозначать $V$. Так как множество $V$ содержит в качестве элементов вообще все множества, то и его подмножества являются его элементами, поэтому $2^V\subseteq V$. Поэтому $\lvert 2^V\rvert\leqslant\lvert V\rvert$. С другой стороны, по теореме Кантора выполняется противоположное неравенство $\lvert 2^V\rvert>\lvert V\rvert$. Получается противоречие.
Ещё один парадокс связан с ординалами (порядковыми числами). Если существует множество всех множеств, то существует множество всех ординалов. С другой стороны, для всякого множества ординалов существует ординал, который строго больше их всех. И опять имеем противоречие.

Возможно я ошибаюсь, но как можно было понять из книжки Мир Математики том 18 (если это достоверный источник) это связанные парадоксы, ели вообще не разные интерпретации одного и того же. Но как бы там не было по поводу первого у меня есть вот какие соображения :
Как для любого числа прибавление 1 даёт большее число, так и для любого множества переход к его булеану даёт большую мощность. Как для самого большого числа ($\infty$) прибавление 1 ничего не меняет, так и для самого большого множества (универсального) переход к булеану не даёт множества с большей мощностью. т.е. булеан универсального множества - универсальное множество (именно потому что оно универсальное и выше (по определению) подниматься не куда)

Someone в сообщении #1137343 писал(а):

Так для чего Вам нужно множество всех множеств?

Для самого себя. Для полноты теории.

-- 11.07.2016, 23:43 --

mihaild в сообщении #1137345 писал(а):

ArshakA в сообщении #1137344 писал(а):

Кроме аксиом классической логики и аксиом объемности и выделения в наивной теории множеств больше нет никаких положений?

Этих аксиом уже достаточно, чтобы вывести вообще любое утверждение.

Ладно. Просто какие ещё есть (если вообще есть) положения в любой теории множеств, кроме её собственных и аксиом логики?

[Someone]

ArshakA в сообщении #1137349 писал(а):

как можно было понять из книжки Мир Математики том 18

О, боже!

И с этим багажом Вы заявились сюда, чтобы указывать профессиональным математикам, как им строить теорию множеств?