Решение парадокса лжеца (+ парадокс Рассела)

[mihaild]

Mikhail_K в сообщении #1137666 писал(а):

mihaild в сообщении #1137486 писал(а):

$a > b, c \geqslant d \Leftarrrow a + c > b + d$.

Это Вы что-то невнятное написали.

Это я стрелку неправильно написал (а еще не в ту сторону). $a > b, c \geqslant d \Rightarrow a + c > b + d$

[ArshakA]

Благодарность Mikhail_K-у, а то я думал, что чего-то не догоняю.

[Someone]

По поводу формулировки парадокса лжеца. Эвбулиду (IV век до нашей эры) приписывается такой вариант: «Некто говорит: "Высказывание, которое я сейчас произношу, ложно." Ложно это высказывание или истинно?»

Подозреваю, что это и была первоначальная формулировка. Здесь не возникает вопроса о том, кем является этот "некто" — лжецом или "правдецом". Сможете его "разрешить"? Посмотрите http://dic.academic.ru/dic.nsf/logic/156.

ArshakA в сообщении #1137475 писал(а):

Можно подробней насчёт преобразования формул?

В теории пределов множество действительных чисел расширяется "бесконечными" элементами двумя способами:
1) добавляется один элемент $\infty$, который называется проективной бесконечностью и соединяет "концы" числовой прямой так, что она превращается в "окружность": двигаясь по прямой в направлении возрастания чисел, мы проходим через $\infty$ и попадаем в область отрицательных чисел;
2) добавляются два элемента $-\infty$ и $+\infty$, которые называются аффинными бесконечностями и превращают числовую прямую в отрезок с наименьшим и наибольшим элементами.

В первом случае для элемента $\infty$ нельзя определить отношение порядка: этот элемент оказывается одновременно и больше, и меньше любого действительного числа.
Во втором случае отношение порядка естественно продолжается на элементы $-\infty$ и $+\infty$.

В теории пределов можно частично определить операции с бесконечными элементами (именно частично, полноценной арифметики для них не получается).
При любом определении арифметических операций для бесконечных элементов нарушаются какие-нибудь аксиомы кольца (эту ссылку я уже давал). Преобразование формулы, использующее нарушенную аксиому, становится невозможным.

[ArshakA]

Someone в сообщении #1137712 писал(а):

«Некто говорит: "Высказывание, которое я сейчас произношу, ложно." Ложно это высказывание или истинно?»

Подозреваю, что это и была первоначальная формулировка. Здесь не возникает вопроса о том, кем является этот "некто" — лжецом или "правдецом". Сможете его "разрешить"?

Обозначим данное высказывание как $s$ . Имеем:
$s = $ "Высказывание, которое я сейчас произношу, ложно"
Т.к. "Высказывание которое я произношу сейчас" ссылка на само высказывание, то этот оборот заменяем на $s$ :
$s = $ "$s$ ложно",
$s = s \Leftrightarrow 0 $,
$s = \neg s$.
Итак по условию $s=\neg s$. А это противоречит аксиом мат. логики (по крайней мере классической). Таким образом вместо "парадокса" имеется просто некорректно составленная задача (задача с противоречивым условием).

P.S. вообще говоря парадокс лжеца - это самая простая формулировка человеческим языком уравнения $a=\neg a$ . Ощущение парадокса возникает от того, что мы пытаемся решить задачу, которая с самого начала не имеет ни какого решения. Как например $a \wedge 0 = 1$ , $a \vee 1 = 0$ и т.п. Подобные задачи легко придумываются десятками (достаточно взять обычную задачу и добавить какое-нибудь условие, выполнение которого при уже имеющихся не возможно) и конечно не являются парадоксами.

[Mikhail_K]

ArshakA в сообщении #1137799 писал(а):

P.S. вообще говоря парадокс лжеца - это самая простая формулировка человеческим языком уравнения $a=\neg a$ . Ощущение парадокса возникает от того, что мы пытаемся решить задачу, которая с самого начала не имеет ни какого решения.

Вы не различаете между собой две вещи: когда противоречие выводится из условия некоторой задачи, и когда оно выводится из утверждений теории.

Между этими двумя вещами есть сходство, которое сбивает Вас с толку. Например, если у нас есть уравнение $x+5=x+6$, мы можем эквивалентными преобразованиями привести его к виду $5=6$. Это будет противоречие, но отсюда мы сделаем только лишь вывод, что уравнение не имеет корней; мы не сделаем отсюда вывода, что это новый математический парадокс. Совсем другое дело, если бы мы взяли известные нам строго доказанные формулы, стали бы их комбинировать, и в итоге у нас получилось бы $5=6$. Это была бы уже вторая ситуация, это был бы настоящий парадокс.

Вы не замечаете, что в парадоксе лжеца не ставится никакая задача, никакое уравнение. Там не ставится вопрос: а существует ли такое утверждение $s$? Более того, там оно существует, его существование напрямую следует из нашей "наивной логики". Там оно даже приведено, вот оно: $s = $ "Высказывание, которое я сейчас произношу, ложно".

Вот аналогия. Пусть нам дано уравнение $x\cdot 0=1$. У этого уравнения нет решений, такого $x$ не существует, и в этом нет никакого парадокса. Парадокс возник бы, если бы кто-нибудь смог всё-таки придумать такое заковыристое $x$, умножил его на $0$ и получил бы в ответе $1$ - это было бы противоречие с тем, что уравнение не имеет решений. Это был бы парадокс.

И в парадоксе лжеца как раз явно приводится такое $s$, которое равно его отрицанию. Парадокс не в том, что такого $s$ не существует. Парадокс в том, что, с одной стороны, такое $s$ не может существовать, а с другой - вот же оно: $s = $ "Высказывание, которое я сейчас произношу, ложно".

С парадоксом Рассела всё точно так же. Там не первая ситуация, а вторая.

[Anton_Peplov]

(Mikhail_K)

Блестящая формулировка, браво.

[epros]

ArshakA в сообщении #1137799 писал(а):

Таким образом вместо "парадокса" имеется просто некорректно составленная задача (задача с противоречивым условием).

Там нет задачи, там есть некорректное (неформализуемое в языке исчисления предикатов) высказывание.

[Xey]

По-моему, никакого высказывания не произносится. Для ясности лучше изменить время. Например - Высказывание , которое я сейчас произнёс ложно.
И в чем же была суть этого высказывания?

[Mikhail_K]

epros в сообщении #1137808 писал(а):

Там нет задачи, там есть некорректное (неформализуемое в языке исчисления предикатов) высказывание.

Разумеется; но если не знать язык исчисления предикатов и пользоваться "наивными" представлениями о логике, то как раз парадокс и получается.
Ведь этот пример с парадоксом лжеца был приведён для ТС как аналогия ситуации с парадоксом Рассела. Там тоже причина парадокса - противоречивость / недостаточная формализованность "наивной" теории.

[ArshakA]

Mikhail_K Огромное спасибо вам за ответ. Это самый лучший из всех, которые я получил по данному вопросу. Но вот послушайте, что я думаю:

Mikhail_K в сообщении #1137803 писал(а):

Например, если у нас есть уравнение $x+5=x+6$, мы можем эквивалентными преобразованиями привести его к виду $5=6$. Это будет противоречие, но отсюда мы сделаем только лишь вывод, что уравнение не имеет корней; мы не сделаем отсюда вывода, что это новый математический парадокс. Совсем другое дело, если бы мы взяли известные нам строго доказанные формулы, стали бы их комбинировать, и в итоге у нас получилось бы $5=6$. Это была бы уже вторая ситуация, это был бы настоящий парадокс.

Полностью согласен. Вы хотите сказать, что сформулировать противоречие и доказать его - это разные вещи. И только второе называется парадоксом, так?

Mikhail_K в сообщении #1137803 писал(а):

Вы не замечаете, что в парадоксе лжеца не ставится никакая задача, никакое уравнение. Там не ставится вопрос: а существует ли такое утверждение $s$? Более того, там оно существует, его существование напрямую следует из нашей "наивной логики". Там оно даже приведено, вот оно: $s = $ "Высказывание, которое я сейчас произношу, ложно".

Вот аналогия. Пусть нам дано уравнение $x\cdot 0=1$. У этого уравнения нет решений, такого $x$ не существует, и в этом нет никакого парадокса. Парадокс возник бы, если бы кто-нибудь смог всё-таки придумать такое заковыристое $x$, умножил его на $0$ и получил бы в ответе $1$ - это было бы противоречие с тем, что уравнение не имеет решений. Это был бы парадокс.

Нет там ставится вопрос

Someone в сообщении #1137712 писал(а):

Ложно это высказывание или истинно?»

а не существует ли оно. Оно существует. Как существует любое высказывание. Как существует любое уравнение. Но не любое уравнение имеет решение. И не для любого высказывания можно определить его истинность. Возможность составить (составить - не значит вывести или доказать) противоречие неотъемлемое свойство любой хоть немножко развитой теории. Но эта возможность не означает противоречивость теории. Оба приведенных вами уравнения не имеют решений. Они противоречивы (не могут выполнятся при соблюдении аксиом описывающих сложение, умножение и равенство целых чисел). Но это противоречие следует из самих уравнений, а не из аксиом теории.
Тоже самое с парадоксом лжеца. Из аксиом классической логики вывести ложные (противоречивые) утверждения невозможно. Но их можно составить. Их всегда легко можно составить. Только это не значит, что теория противоречива. Потому что множество утверждений, которые можно составить, всегда больше множества утверждений, которые можно доказать. Иначе все утверждения были бы истинными.

Mikhail_K в сообщении #1137803 писал(а):

И в парадоксе лжеца как раз явно приводится такое $s$, которое равно его отрицанию. Парадокс не в том, что такого $s$ не существует. Парадокс в том, что, с одной стороны, такое $s$ не может существовать, а с другой - вот же оно: $s = $ "Высказывание, которое я сейчас произношу, ложно".

Здесь есть очень щекотливый момент. Мы сначала полагаем возможность существования такого $s$, а потом уже находим его. Мы предполагаем, что формулировка "Высказывание, которое я сейчас произношу, ложно" описывает некое действительное (а не теоретический описуемое) высказывание. ( То же самое с уравнениями (предполагаем наличие корня, а его нет), то же самое с распространенной формулировкой парадокса лжеца, где мы сначала предполагаем существование человека утверждающего "Я лжец", а потом приходим к выводу, что его быть не может). Может не очень корректно, но по существу верно будет сказать, что формулировка "Высказывание, которое я сейчас произношу, ложно" не имеет решений. Ведь когда мы описываем объект через самого себя, нельзя считать что он представлен нам в явной форме. Типа "Ну вот же он перед нами". Например следующее описание: "число, которое на 1 больше чем оно уже удвоенное" - определяет число через самого себя и это число действительно существует (а не только описывается): $x=2x+1 \Longleftrightarrow x=-1$. А описание: "число, которое больше себя на 1" - только описание для числа, но в действительности числа, удовлетворяющего такому описанию, нет $x=x+1 \Longleftrightarrow 0=1$. (по крайней мере удовлетворяющего аксиомам классической арифметики, а так конечно - $\infty$ )

Mikhail_K в сообщении #1137803 писал(а):

С парадоксом Рассела всё точно так же. Там не первая ситуация, а вторая

Насчёт парадокса Рассела не знаю. Думал, что он полностью эквивалентен парадоксу лжеца. А оказалось: или нет, или я слишком плохо знаю теорию множеств и мат. логику, что бы это показать.

P.S. Вы наверняка не согласны с моими рассуждениями. Я буду благодарен если Вы укажите, где именно у меня ошибки.

[buddy]

Парадокс 1.
Карточка с двумя высказываниями на каждой стороне по одному высказыванию:
1я сторона: на другой стороне карточки написано истинное высказывание.
2я сторона: на другой стороне карточки написано ложное высказывание.

Парадокс 2.
Карточка с одним высказыванием:
на данной карточке написано ложное высказывание.

Определить истинность или ложность высказываний.
А эти парадоксы как решаются?

[ArshakA]

buddy
Парадокс 1

Пусть $a=$"высказывание на 1-ой стороне карточки", а $b=$"высказывание на 2-ой стороне карточки". Тогда по условию задачи:
$a=$"высказывание на 2-ой стороне карточки истинно",
$b=$"высказывание на 1-ой стороне карточки ложно
$a=$"$b$ истинно",
$b=$"$a$ ложно";
$a=b \Leftrightarrow 1$,
$b=a \Leftrightarrow 0$;
$a=b$,
$b=\neg a$;
Подставляем второе в первое:
$b=\neg b$.
Условия задачи противоречят аксиомам исчисления высказываний.

Парадокс 2

Пусть a="высказывание записанное на данной карточке".
По условию задачи
$a=$"высказывание записанное на данной карточке ложно",
$a=$"$a$ ложно",
$a=a \Leftrightarrow 0$,
$a=\neg a$.
Условия задачи противоречят аксиомам исчисления высказываний.

(На первой странице я отвечал на подобные интерпретации "парадокса" лжеца arseniiv-у)

[epros]

ArshakA в сообщении #1137817 писал(а):

Из аксиом классической логики вывести ложные (противоречивые) утверждения невозможно. Но их можно составить. Их всегда легко можно составить.

Нельзя их составить. В языке логики первого порядка можно составить высказывания, опровержимые в аксиоматике логики первого порядка, но нельзя составить "противоречивых". Это означало бы противоречивость аксиоматики логики как таковой.

[Anton_Peplov]

ArshakA
В любой формальной теории (включая логику предикатов) есть правила, задающие, какой набор символов является, а какой не является формулой этой теории. Так вот по этим правилам "s = "s ложно"" составить нельзя.
В который раз говорю Вам: заканчивайте придумывать глупости, начинайте читать учебники. Вам кажется, что Вы высказываете разумные мысли,которых окружающие просто пока не понимают, но вот сейчас Вы объясните, и все встанет на свои места. Однако это не разумные мысли, а тривиальные ошибки, которых Вы не видите в силу безграмотности в обсуждаемых вопросах. Отложите свои фантазии в сторону и возьмите учебник. Усвоив учебник, вернитесь к своим мыслям и посмотрите на них новыми глазами. Потом можно и пообсуждать, если останется что.

[whitefox]

ArshakA в сообщении #1137827 писал(а):

a="высказывание записанное на данной карточке"

Видимо, Вы полагаете, что здесь знак $=$ имеет смысл равенства? Это не так. Здесь Вы определяете новый символ $a$ и присваиваете ему значение. В данном контексте знак $=$ должно читать как "равно по определению", и было бы лучше вместо $=$ использовать, например, $:=$ или $=_{Df}$ или что-то подобное.

ArshakA в сообщении #1137827 писал(а):

$a=$"высказывание записанное на данной карточке ложно",

А какой смысл имеет знак $=$ здесь? Равенство? Но, после подстановки вместо $a$ его значения, получим:

"высказывание записанное на данной карточке" = "высказывание записанное на данной карточке ложно".

Разве эти две строки равны?