Логические следствия из противоречия

[Sinoid]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться.
Задача. Расположите формулы так, чтобы из каждой логически следовали все стоящие после нее. Формулки такие: $P\leftrightarrow Q$, $\neg(P\vee Q)$, $\neg(P\rightarrow(\neg P\rightarrow Q))$, $\neg P\rightarrow(P\rightarrow Q)$, $Q\rightarrow(P\vee\neg Q)$. Вот таблицы истинности этих формул:

$$\arraycolsep=0em\begin{array}{|c|c||ccc|cccc|ccccccc|cccccc|cccccc|} & & & & & 2 & & 1 & & 4 & & 3 & 1 & & 2 & & 1 & & 3 & & 2 & & & 3 & & 2 & 1 & \\ \hline P & Q & P & \leftrightarrow & Q & \neg & (P & \vee & Q) & \neg & (P & \rightarrow & (\neg & P & \rightarrow & Q)) & \neg & P & \rightarrow & (P & \rightarrow & Q) & Q & \rightarrow & (P & \vee & \neg & Q)\\ \hline0 & 0 & & 1 & & 1 & & 0 & & 0 & & 1 & & & & & 1 & & 1 & & 1 & & & 1 & & & & \\ \hline0 & 1 & & 0 & & 0 & & & & 0 & & 1 & & & & & 1 & & 1 & & 1 & & & 0 & & 0 & 0 & \\ \hline1 & 0 & & 0 & & 0 & & & & 0 & & 1 & 0 & & 1 & & 0 & & 1 & & & & & 1 & & 1 & & \\ \hline1 & 1 & & 1 & & 0 & & & & 0 & & 1 & 0 & & 1 & & 0 & & 1 & & & & & 1 & & 1 & & \\ \hline \end{array}$$

Глядя на эту таблицу, я могу расположить данные формулы (с учетом порядка их следования) так: 2, 1, 5, 4. Однако в ответе указана та же последовательность, только перед ней написана еще и тождественно ложная формула 3. Скажите, почему так сделано, ведь в определении логического следования пишется только про истинностные значения посылок?

[provincialka]

Sinoid в сообщении #1114661 писал(а):

Скажите, почему так сделано, ведь в определении логического следования пишется только про истинностные значения посылок?

И что? "ложь" -- одно из значений истинности. Из из нее следует любое значение, и истинное, и ложное. А вы куда хотели поставить третью формулу в этом ряду?

[Sinoid]

provincialka в сообщении #1114671 писал(а):

И что? "ложь" -- одно из значений истинности. Из из нее следует любое значение, и истинное, и ложное

Так ведь это же не импликация!

provincialka в сообщении #1114671 писал(а):

А вы куда хотели поставить третью формулу в этом ряду?

Я ее вообще никуда не хотел ставить: она не подходит под определение логического следствия.

[provincialka]

А вы что понимаете под "логическим следованием"? Чем "поведение" третьей формулы отличается от всех остальных?
Например, как вы догадались, что формула (1) следует из (2)?

[gefest_md]

Sinoid в сообщении #1114674 писал(а):

она не подходит под определение логического следствия.

Сформулируйте понятие "$B$ логически не следует из $A$ ($A\not\models B$)" и предположите, что из той самой формулы не следуют остальные.

[Sinoid]

provincialka в сообщении #1114678 писал(а):

А вы что понимаете под "логическим следованием"?

gefest_md в сообщении #1114685 писал(а):

Сформулируйте понятие "$B$ логически не следует из $A$ ($A\not\models B$)"

А я думал, это общепринятое определение. Приведу определение отрывком из книги:

А вот алгоритм проверки логического следования для случая трех посылок, зависящих от трех пропозициональных переменных:

Как видно, например, из алгоритма, нулевые ложные посылки исключаются с самого начала действия алгоритма.

[Someone]

Sinoid в сообщении #1114776 писал(а):

Как видно, например, из алгоритма, нулевые ложные посылки исключаются с самого начала действия алгоритма.

Правильно. И что выдаст алгоритм, если, например, для всех $i\in\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$ первая же посылка окажется ложной?

[Sinoid]

Someone в сообщении #1114778 писал(а):

Правильно. И что выдаст алгоритм, если, например, для всех $i\in\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$ первая же посылка окажется ложной?

Выдаст следование, но вот определение в этом случае... Так, хорошо. Пусть $A$, $B$ - две формулы, при этом $A$ - противоречие. Это означает, что не существует ни одного набора пропозициональных переменных, при котором $A$ истинно. И как решить вопрос о следствии $B$ из $A$, исходя только из определения? Для проверки следствия по определению просто-напросто не представится ни одного случая. Вот в определении импликации. Там черным по белому прописан тот единственный случай, при котором она ложна. А тут...

[provincialka]

Эта проблема шире... Если некоторое утверждение говорит о несуществующем объекте, то оно верное.

Например, "всякий крокодил, живущий в Волге -- красный" -- верно!

(Оффтоп)

да простит меня А.М.Райгородский за плагиат

[Someone]

Sinoid в сообщении #1114824 писал(а):

И как решить вопрос о следствии $B$ из $A$, исходя только из определения?

Дык, в первую очередь это определение и надо вспомнить.

[Sinoid]

provincialka в сообщении #1114825 писал(а):

Эта проблема шире... Если некоторое утверждение говорит о несуществующем объекте, то оно верное.

Например, "всякий крокодил, живущий в Волге -- красный" -- верно!

Вот тут, как будто, и импликации нет. Но стоит это предложение переделать на совпадающее по смыслу "Если крокодил живет в Волге, то он красный", как в том же самом по смыслу предложении появляется импликация. Если бы она была ложной, то истинной была бы ее посылка "крокодил живет в Волге". Я вот тут думал-думал... Вот посмотрите, что я надумал и скажите, правильно я надумал или нет. Только бы не сбиться: еще в голове не уложилось. Вот в повседневной жизни мы говорим фразу "Если $P$, то $Q$". А до конца-то, во всяком случае, большинство из нас, не вникает, что это означает. Во-первых, уже меньшее число людей скажет, что это означает, что "Истина то, что если истинно $P$, то истинно и $Q$", хотя истинность фразы "Если $P$, то $Q$ сидит у нас на бессознательном уровне, правда, в повседневной жизни люди иногда и сталкиваются со случаем "Ложь то, что если истинно $P$, то истинно и $Q$", но немногие осознают, что это противоположность предложения "Если $P$, то $Q$". Наш мозг, так сказать, истинность предложения "Если $P$, то $Q$" довоображевывает . Далее, нужно правильно истолковать это объяснение. А означает оно вот что: то рассуждение, которое выводит из справедливости $P$ справедливость $Q$, верно, разрешено. Но даже это, стопудово, данное далеко не подавляющим большинством людей, толкование, на первый взгляд, привычного предложения "Если..., то..." будет неверным. Полное толкование, на мой взгляд, этого предложения, будет таким: "то рассуждение, которое выводит из допущения, предположения справедливости, истинности $P$ (хотя посылка $P$ при этом может быть в действительности и ложной) справедливость истинность $Q$, верно, разрешено". Если принять такую интерпретацию импликации верной, то ее таблица истинности не будет вызывать вообще никаких вопросов, все становится ясным как божий день: всеми употребляемая связка "Если, то" и импликация из матлогики - одно и тоже лицо. Просто в повседневной жизни, как правило, $P$ в предложении "Если $P$, то $Q$" истинно, так что уже в первом толковании "Истина то, что если истинно $P$, то истинно и $Q$" упоминание об истинности $P$ смотрелась бы как-то странно. Именно из этого допущения верности неверного равенства $1=2$ я вот в [[b]этой теме, еще сам того до конца не осознавая, вывел верное равенство $1+2=2+1$. Таким образом, и употребляемое всеми, казалось бы, с детства в полной мере осознанное, предложение "Если $P$, то $Q$" далеко не всегда обозначает истинность посылки $P$. Фух, вроде все написал. И как вы относитесь ко всему этому?

[provincialka]

Проблема старая и не вам одному она портила нервы. Если верить фольклору, сам Ч.Л.Доджсон (Льюис Кэрролл) понимал импликацию не так, как это принято сейчас. Выработка понятий импликации и логического следования происходила в обстановке дискуссий.

Но вот что касается

Sinoid в сообщении #1115411 писал(а):

Просто в повседневной жизни, как правило, $P$ в предложении "Если $P$, то $Q$" истинно

Ну... "как правило" -- оборот неопредленный и все же я с ним не могу согласиться. Всяко бывает. Например

М.А.Булгаков писал(а):

— Я, — вступил в разговор этот новый, — вообще не понимаю, как он попал в директора, — рыжий гнусавил все больше и больше, — он такой же директор, как я архиерей!
— Ты не похож на архиерея, Азазелло, — заметил кот, накладывая себе сосисок на тарелку.

Тут можно взять $P=\text{Лиходеев директор}$, $Q=\text{Азазелло архиерей}$. Думаю, что Азазелло как раз имел в виду, что $P$-- ложно.

-- 15.04.2016, 20:11 --

Если вы перейдёте дорогу ка красный сигнал светофора, то...
Если контрольная будет написана на двойку, то...
Если вы не ответите на мой звонок, то...

Я уж не говорю про фразы с оборотом "если бы"

народ писал(а):

Если бы да кабы, да во рту росли бобы, то был бы не рот, а целый огород

[mihaild]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #1115416 писал(а):

М.А.Булгаков
писал(а):
— Я, — вступил в разговор этот новый, — вообще не понимаю, как он попал в директора, — рыжий гнусавил все больше и больше, — он такой же директор, как я архиерей!
— Ты не похож на архиерея, Азазелло, — заметил кот, накладывая себе сосисок на тарелку. Тут можно взять $P=\text{Лиходеев директор}$, $Q=\text{Азазелло архиерей}$. Думаю, что Азазелло как раз имел в виду, что $P$-- ложно.

Тут всё-таки "такой же", то есть эквивалентность, а не импликация.

[provincialka]

mihaild Разумеется. Или импликация "в обе стороны". Просто фраза хороша!

[Sinoid]

provincialka в сообщении #1115416 писал(а):

Ну... "как правило" -- оборот неопредленный и все же я с ним не могу согласиться

Но вы же меня прекрасно поняли: я хотел сказать: "В большей части случаев". При необходимости можно обратиться к лингвистам за статистикой. Стопудово, употребление связки "Если, то" с подразумеванием истинности посылки будет больше 50%.

provincialka в сообщении #1115416 писал(а):

Например
М.А.Булгаков
писал(а):
— Я, — вступил в разговор этот новый, — вообще не понимаю, как он попал в директора, — рыжий гнусавил все больше и больше, — он такой же директор, как я архиерей!
— Ты не похож на архиерея, Азазелло, — заметил кот, накладывая себе сосисок на тарелку. Тут можно взять $P=\text{Лиходеев директор}$, $Q=\text{Азазелло архиерей}$. Думаю, что Азазелло как раз имел в виду, что $P$-- ложно.

Во-первых, это замечание не вступает в противоречие с приведенным мной в этой теме пониманием импликации: Если предположить, что истина то, что Лиходеев директор (ложная посылка), то истинным умозаключением можно будет получить, что я (прости, Господи, не Sinoid) архиерей (ложное заключение). Во-вторых, употребление таких оборотов в повседневной жизни происходит значительно реже из-за того, что сформулировать их в мозгу несколько сложнее, а человек, как и все приматы, по природе своей, увы, ленив. Да это и подтверждается замечанием, сделанным mihaild: вы, чтобы привести пример такого рода импликации, эквивалентность замаскировали под импликацию, затратив на формулировку своих мыслей, опять-таки повторюсь, дополнительные усилия.