Существует или может существовать.

[Коровьев]

Поскоку начальное условие в док-ве Yarkin-а "три целых положительных числа" в дальнейшем док-ве нигде не применяется и даже не упоминается, то расширяя это условие до всех действительных чисел док-во не изменится.
Следовательно я доказал, что БТФ верна не тока для целых чисел, но и для всех действительных чисел!!!
Так как я первый это открыл, то и приоритет мой!
Ссылки на меня обязательны.

[AD]

Yarkin писал(а):

Уравнение (1) из системы (2) мы получим при

$$ C = \pi/2, x^{n/2} = z^{n/2}\cos B, y^{n/2} = z^{n/2}\cos A. \eqno (4) $$

.
С другой стороны, по определению, имеем

$$ x^{n/2} = z^{n/2}\cos A, y^{n/2} = z^{n/2}\cos B. \eqno (5) $$

Yarkin, ну тут вы не правы. Косинусы в обоих равенствах от одних и тех же углов. Вы что-то напутали. Из вашего доказательства следует, что все прямоугольные треугольники равнобедренные -- свойство сторон быть n/2-ными степенями целых чисел при этом существенно не используется.

[Yarkin]

Алексей К. писал(а):

ПОЧЕМУ??? Несуществание такого треугольника означает лишь $x^{n/2}+y^{n/2}<z^{n/2}$ и ничего более.

(А теорему косинусов и теорему $\angle A+\angle B+\angle C=\pi$ можно применять только к существующим треугольникам. Примерно, как атрибуты "кислый---сладкий" можно применять лишь к существующим продуктам.)

Если теорема косинусов не выполняется, то треугольник не существует и не выполняются неравенства для сторон.

Добавлено спустя 17 минут 59 секунд:

Коровьев писал(а):

Следовательно я доказал, что БТФ верна не тока для целых чисел, но и для всех действительных чисел!!!

Зачем останавливаться. Надо до комплексных идти.

AD писал(а):

Yarkin, ну тут вы не правы. Косинусы в обоих равенствах от одних и тех же углов. Вы что-то напутали. Из вашего доказательства следует, что все прямоугольные треугольники равнобедренные -- свойство сторон быть n/2-ными степенями целых чисел при этом существенно не используется.

Нет, уважаемый AD, они разные. Да, для уравнения Ферма можно использовать только равнобедренные прямоугольные треугольники. При доказательстве теоремы косинусов, показывается, что свойства сторон выполняются, если выполняются условия теоремы.

[shwedka]

Yarkin писал(а):

Алексей К. писал(а):

ПОЧЕМУ??? Несуществание такого треугольника означает лишь $x^{n/2}+y^{n/2}<z^{n/2}$ и ничего более.

(А теорему косинусов и теорему $\angle A+\angle B+\angle C=\pi$ можно применять только к существующим треугольникам. Примерно, как атрибуты "кислый---сладкий" можно применять лишь к существующим продуктам.)

Если теорема косинусов не выполняется, то треугольник не существует и не выполняются неравенства для сторон.

Коллега Yarkin выбрал наименее существенный вопрос и привычно бестолково на него ответил. А основное вранье, в котором улучен, оставил без комментария. По формуле (2) $B$ угол между сторонами, отвечающими $x,z$, и никакое определение не дает

Цитата:

по определению, имеем

$$ x^{n/2} = z^{n/2}\cos A, y^{n/2} = z^{n/2}\cos B. \eqno (5) $$

Уже не в трех соснах, а в двух катетах заблудился коллега Yarkin.

Цитата:

для уравнения Ферма можно использовать только равнобедренные прямоугольные треугольники

под угрозой дефакторизации

[Yarkin]

shwedka писал(а):

Уже не в трех соснах, а в двух катетах заблудился коллега Yarkin.

Уважаемыеshwedka и AD, точно, заблудился, извиняюсь за ложь.

[Yarkin]

Извиняюсь за надоедливость. Мои попытки опровергнуть мою же подпись оказались тщетны. Поэтому, я снова перехожу к ее защите. Существует, может существовать или не существует то, что мы ищем?
Теорема антикосинусов. Не существует треугольника со сторонами $x^n, y^n, z^n$, где $n > 0$ - натуральное, а $x, y, z$ - положительные действительные числа, для которого имеет место соотношение

$$ x^{2n} + y^{2n} = z^{2n}, \eqno (1) $$

Доказательство. Допустим, что для произвольного натурального $n$ > 0, существует треугольник со сторонами $x^n, y^n, z^n$, для которого имеет место только одно соотношение (1). Однако для такого треугольника должна выполняться теорема косинусов

$$ \left\{ \begin{aligned} (x^{n})^2 + (y^{n})^2 - 2x^{n} y^{n} \cos C = (z^{n})^2\\ (z^{n})^2 + (x^{n})^2 - 2x^{n} z^{n} \cos B = (y^{n})^2\\ (z^{n})^2 + (y^{n})^2 - 2y^{n} z^{n} \cos A = (x^{n})^2.\\ \end{aligned} \right. \eqno (2) $$

с условиями для сторон, которые выполняются и условиями для углов

$$ 0 < \angle A < \pi, 0 < \angle B < \pi, 0 < \angle C < \pi , \angle A + \angle B + \angle C = \pi. \eqno (3) $$


Из трех соотношений (2), только одно может совпасть с соотношением, поскольку треугольник со сторонами $x^{2n}, y^{2n}, z^{2n}$ не существует (1).
Это может быть если $\angle C = \pi/2$, но

$$ x^n \ne z^n \cos B, y^n \ne z^n \cos A \eqno (4) $$

Получили противоречие основным тригонометрическим соотношениям для прямоугольного треугольника. Следовательно, допущение о существовании такого треугольника неверно. Теорема доказана.
Следствие 1. При натуральном $n > 1$ не существует треугольника со сторонами $x^{n/2}, y^{n/2}, z^{n/2}$, для которого имело место одно и только одно соотношение

$$ x^n + y^n = z^n. \eqno (5) $$

Чтобы убедиться в этом, достаточно в доказательстве теоремы, вместо $2n$ подставить $n$.
Следствие 2. ВТФ. Полагая в соотношениях (2) $\angle C = \pi, \angle B = \angle A = 0$ (треугольник не существует), получим из всех трех соотношений – уравнение Ферма (5), для которого, как следует из доказанной теоремы, нет не только целых решений, но и положительных действительных решений.
Следствие 3. Пифагоровы тройки – корни уравнения (1) при $n = 1$

$$ x^2 + y^2 = z^2 \eqno (6) $$

не являются его решением, так как не удовлетворяют условию (3), поэтому в ВТФ, условие $n > 2$ можно заменить условием $n > 1$.

[Brukvalub]

Yarkin писал(а):

поэтому в ВТФ, условие $n > 2$ можно заменить условием $n > 1$.

Тяжелый случай. Уже древние египтяне знали про египетские треугольники, Пифагор слышал про Пифагоровы тройки и только Вы в 21-м веке взялись сразу доказывать ВТФ, пропустив все эти банальности!

[bot]

Yarkin писал(а):

Извиняюсь за надоедливость. Мои попытки опровергнуть мою же подпись оказались тщетны.

А разве кто пытался это опровергнуть? Во-первых, ищут не все - это легко проверить, вот мой знакомый дядя Вася из ЖЭУ, с которым я на рыбалку хожу, об этом даже и не слыхивал, со вторым тезисом можно было согласиться - да, бывают утверждения, не доказуемые в рамках заданной системы аксиом и правил вывода, в-третьих - это уже индивидуально: одни проверяют, действительно ли доказано, а другие предпочитают доверять тем, кто это проверял.
Откуда убеждение-то?

Цитата:

Поэтому, я снова перехожу к ее защите. Существует, может существовать или не существует то, что мы ищем?
Теорема антикосинусов. Не существует треугольника со сторонами $x^n, y^n, z^n$, где $n > 0$ - натуральное, а $x, y, z$ - положительные действительные числа, для которого имеет место одно и только одно соотношение

$$ x^{2n} + y^{2n} = z^{2n}, \eqno (1) $$

Бред. Показываю, рискуя быть не первым и даже далеко не вторым:
$n=1, x=3, y=4, z=5 \Rightarrow x^{2n}+y^{2n}=z^{2n}$ Египтяне в ауте - нет треугольника со сторонами 3, 4, 5, а они то думали, что он прямоугольный.
$n=2, x^2=3, y^2=4, z^2=5\Rightarrow x^{2n}+y^{2n}=z^{2n}$
$n=3, x^3=3, y^3=4, z^3=5\Rightarrow x^{2n}+y^{2n}=z^{2n}$
$n=4, ...$
...
Египтяне призадумались: - оба-на, если из длин сторон корень извлечь, а потом снова в степень возвести, что там получится-то?.. Всем миром порешили: да ну нафик - вот родится Yarkin - пусть он голову и ломает, а нам это без надобности.
Каюсь, буквосочетание "одно и только одно соотношение" я пропустил - не в него-то ли Вы вкладываете весь сакральный смысл теоремы антикосинусов?

Скажите, Yarkin ... нет не так - скажите коллега Yarkin, Вы в своём собственном существовании уверены? А то меня давно уж сомнения на этот счёт грызут.

[shwedka]

Yarkin
Вам и остальным коллегам.
Уезжаю в командировку (в Израиль) на месяц и заниматься там мировыми проблемами не смогу.
Так что вот мое (пока) последнее послание на эту тему, затем справляйтесь сами.

Цитата:

$$ x^n \ne z^n \cos B, y^n \ne z^n \cos A \eqno (4) $$

Еще бы объяснили Вы, почему.

[Yarkin]

bot писал(а):

Бред. Показываю, рискуя быть не первым и даже далеко не вторым:
$n=1, x=3, y=4, z=5 \Rightarrow x^{2n}+y^{2n}=z^{2n}$ Египтяне в ауте - нет треугольника со сторонами 3, 4, 5, а они то думали, что он прямоугольный.
$n=2, x^2=3, y^2=4, z^2=5\Rightarrow x^{2n}+y^{2n}=z^{2n}$
$n=3, x^3=3, y^3=4, z^3=5\Rightarrow x^{2n}+y^{2n}=z^{2n}$
$n=4, ...$

Уважаемый коллега bot, приведенные Вами примеры, удовлетворяют теореме косинусов, а она не имеет вид уравнения (1) или Вам надо это доказать.

Добавлено спустя 2 минуты 22 секунды:

Brukvalub писал(а):

Тяжелый случай. Уже древние египтяне знали про египетские треугольники, Пифагор слышал про Пифагоровы тройки и только Вы в 21-м веке взялись сразу доказывать ВТФ, пропустив все эти банальности!

А против остального Вы не возражаете?

Добавлено спустя 3 минуты 28 секунд:

shwedka писал(а):

Еще бы объяснили Вы, почему.

Объясняю: чтобы все три соотношения теоремы косинусов не обратились в соотношение (1).

[Brukvalub]

Yarkin писал(а):

А против остального Вы не возражаете?

И все остальное - неверно.

[shwedka]

Yarkin

Цитата:

Объясняю: чтобы все три соотношения теоремы косинусов не обратились в соотношение (1).

А почему это нельзя??

Вы, может быть, ответите, что

Цитата:

Из трех соотношений (2), только одно может совпасть с соотношением (1).

Опять же, почему ТОЛЬКО одно??

[Someone]

Yarkin писал(а):

Не существует треугольника со сторонами $x^n, y^n, z^n$, где $n > 0$ - натуральное, а $x, y, z$ - положительные действительные числа, для которого имеет место одно и только одно соотношение

$$ x^{2n} + y^{2n} = z^{2n}, \eqno (1) $$

Вы не могли бы объяснить, что означают выделенные слова? Я как-то со школьных времён привык, что существует громадное количество всяких соотношений между сторонами и углами треугольника, и совершенно не могу себе вообразить никакого треугольника, для которого из всех этих соотношений выполнялось бы только одно.

[shwedka]

Someone
Да как вам не понять!!
Коллега Yarkin имеет в виду, что, скажем, числа 3,4,5 не годятся. Для них выполнено $3^2+4^2=5^2,$
но, кроме того, 3+4=5+2,
то естыь еще одно соотношение.

[AD]

Yarkin, мне ваши манипуляции не понятны. Вы переписываете в десятый раз доказательство, но ключевой переход в нём

Цитата:

$$ x^n \ne z^n \cos B, y^n \ne z^n \cos A \eqno (4) $$

по-прежнему остаётся без пояснений и даже намеков на обоснование