В чем ошибка Гильберта и принцип причинности.

[Munin]

Утундрий в сообщении #1072749 писал(а):

Что главное в физической величине - это какой буквой она обозначается...

Охосподи, нет. Обозначьте хоть $\zeta.$ Главное, что она принадлежит $\mathbb{R}^+$ и имеет физическую интерпретацию времени (хотя бы локально около начальных условий, дальше-то плевать куда зарулит).

Любите вы извратить чужие слова...

[schekn]

Ilja в сообщении #1072380 писал(а):

Хороший вопрос, и мой честный ответ: не знаю.

На всякий случай. По метрике Гёделя в стартовом сообщении плотность : $8{\pi}G{\epsilon}=1/a^2$, скалярная кривизна : $R=1/a^2$, угловая скорость: $\omega=2\sqrt{{\pi}G{\epsilon}}$, космологический член: $\Lambda=-4{\pi}G{\epsilon}=-1/2a^2$, $a^2$ - постоянная множитель перед всеми членами в метрике.

Область определения координаты $\varphi$ в статье : $0<\varphi<2{\pi}$ . То есть Гёдль оговаривает область определения координат (цилиндрическая СК).

[manul91]

epros в сообщении #1072753 писал(а):

manul91, ладно, Вы меня убедили. Случай двумерия постоянной положительной кривизны накладывает ограничения на топологию. Но, по-моему, это как раз то частное исключение, которое только подтверждает общее правило.

Доказательство вроде нетрудно обобщается до случая двухмерия положительной сигнатуры, с "центральной симметрии положительной кривизны" - где гауссова кривизна $K(L)$ по всех геодезических исходящих из некоторой специальной "центральной" точке $O$, зависит только от "длины удаления по геодезической" от этой точки (и для одного и то же $L$, не зависит от направления - $K$ одинакова на любой "окружности" вокруг центра $O$).
Сама кривизна $K(L)$ может меняться в радиальном направлении оставаясь всегда существенно положительной (больше чем какую-нибудь фиксированную положительную величину $K \geqslant K_{{\min}} > 0$).
Это визуально отвечает эллиптическому 2-пространству с центральной симметрии (типа эллипсоидов/"яиц" ротации, и их фактор-пространств).
Также я читал что то аналогичное верно не только для 2, но и для n-мерных эвклидовых пространств существенно положительной кривизны (там должны быть положительны и одинаковы секционные кривизны).

Для псевдоэвклидового случая лоренцева многообразия, такое тоже бывает вкл. для метрик-решений ОТО.
Хотя хронопетли у ЧД Керра под горизонтом довольно "далеко от бытовых условий" - пишут решение ОТО Bonnor-Steadman (точнее там анализируются свойства самого решения - оно в аналитическом виде не записывается) - обеспечивает хронопетлей уже в "лабораторных условий" малых масс (двух вращающихся тел; или аналогичного распределения пыли) хотя подробности не читал.

Правда в том, что все эти случаи - существенно требуют наличия определенных типов идеальной симметрии - чтобы из метрику следовали с необходимости геодезические петли.
Хотя и симметрию идеального случая можно возмутить сохраняя хронопетлей - после возмущения метрики, наличие хронопетлей уже не следует с необходимостью - хотя для этого нужно предположить что из-за возмущения исходной идеально-симметричной метрики многообразие вдруг меняет глобальную топологию чтобы "избежать хронопетлей" - что не менее странно.
Но да - во всех случаев как минимум нужно "исходить" из некоторого вида идеальной симметрии - так что да, их можно назвать "исключениями" с чистой совестью (и считать что они "на практике" никогда не реализируются, ибо "на практике" идеальная симметрия никогда не реализируется, либо "запрещается" "принципом каузальности", принципом "сохранения глобальной не-хронопетлевой топологии", или еще чего).

-- 13.11.2015, 17:13 --

Кстати.
Аналогичная ситуация вроде, имеет место и безо всякой ОТО.
Для идеально изолированной конечной системы квантовая информация/энтропия сохраняется; волновой вектор обязан быть периодическим (на другом языке: возможных квантовых состояний конечное количество и они рано или поздно обязаны повторяться из-за детерминированности эволюции волновой функции).
В этом смысле, уже только пространственно-замкнутая топология - обеспечивает также и замкнутость по временном направлении (интересным образом перекликаясь с энтропийной интерпретации гравитации типа Верлинде).
Это вроде, никак нам жить не мешает и без учета/возможности детекции хронопетлей (хотя при надкритической средней плотности, вселенная по ОТО - обязана быть пространственно замкнутой).

[epros]

manul91 в сообщении #1072989 писал(а):

Доказательство вроде нетрудно обобщается до случая двухмерия положительной сигнатуры, с "центральной симметрии положительной кривизны" - где гауссова кривизна $K(L)$ по всех геодезических исходящих из некоторой специальной "центральной" точке $O$, зависит только от "длины удаления по геодезической" от этой точки (и для одного и то же $L$, не зависит от направления - $K$ одинакова на любой "окружности" вокруг центра $O$).
Сама кривизна $K(L)$ может меняться в радиальном направлении оставаясь всегда существенно положительной (больше чем какую-нибудь фиксированную положительную величину $K \geqslant K_{{\min}} > 0$).
Это визуально отвечает эллиптическому 2-пространству с центральной симметрии (типа эллипсоидов/"яиц" ротации, и их фактор-пространств).
Также я читал что то аналогичное верно не только для 2, но и для n-мерных эвклидовых пространств существенно положительной кривизны (там должны быть положительны и одинаковы секционные кривизны).

Ну нет, всё не так просто. Случаи сферы или эллипсоида вращения достаточно специфичны. Нужно очень аккуратно подбирать кривизну, чтобы расходящийся из точки $O$ веер геодезических сходился не просто в одной точке, но и "правильным образом". Я уж не говорю о том, что при отсутствии симметрии между геодезическими они вообще не сойдутся в одной точке. Даже если симметрия есть, а значит все геодезические сойдутся в одной точке, это ещё не всё. Может получиться что-то вроде поверхности типа "капля". Т.е. если мы выберем кривизну как у капли (а начальную точку $O$ выберем внизу капли), то в точке схождения геодезических (в верхней точке, в "углу" капли) мы никак не сможем удовлетворить первому Вашему условию: локальной эквивалентности плоскости. Капля в верхней точке больше похожа на конус, чем на плоскость. Это значит, что продолжения геодезических никак не вернут нас в точку $O$.

[manul91]

epros в сообщении #1073080 писал(а):

Капля в верхней точке больше похожа на конус, чем на плоскость. Это значит, что продолжения геодезических никак не вернут нас в точку $O$.

Про капли - не так; если предел кривизны в "конусоподобную вершину" одинаков со всех сторон - никаких проблем нет - геодезические проходят через вершину единственным способом; хотя и в точку самой вершины - кривизна будет прерывна (возможен точечный скачок кривизны); она тем не менее положительна и "все нормально".
То что вы вписали поверхность капли в 3d таким неудачным образом, ничего не значит.
Например, "куб" вполне годен продолжить геодезических через любоых его ребр - так что его "ребра" - не "внутреннее", а "внешнее" свойство (вложения). Также и "вершина капли", "вершина конуса" (в которых кривизна имеет точечно-прерывный скачок) и пр.

А насчет скачков кривизны и пр. - все-таки мы ведь такие случаи вообще не рассматриваем изначально. Тоесть всякие случаи со скачков кривизны, геометрических сингулярностей (например бесконечная кривизна - как в вершин/ребра поверхности вращения четверть-окружности вокруг радиуса и пр.), разветвлений поверхности и пр. - исключаются уже в самом начале.

Иначе-то легко выдумать геометрическое множество в котором вывод не выполняется (постоянная положительная кривизна также не поможет) - например, "сфера накрытия" в которой поворот по параллели на $2\pi$ не возвращает нас в исходной точке на сфере, а в ее "соответной", "на новом листе накрытия" (эту поверхность в плоском 3d не вложить но тем не менее она возможна - однако эта "поверхность" будет иметь особенности неоднозначности геодезических через точек полюсов - и не будет гомеоморфна плоскости в их окрестности).

Так что я не случайно так детально расписывал исходное условие 1, и его следствия 2, 3 ...

[epros]

manul91 в сообщении #1073122 писал(а):

Как вы правильно сказали - это не отвечает "первому условию - локальной эквивалентности плоскости".

Мы ведь такие случаи вообще не рассматриваем изначально

К сожалению, этот случай придётся рассматривать, потому что геометрия в точке схождения геодезических однозначно определяется тем, какова будет кривизна поверхности вдоль геодезической на пути туда. Т.е. если кривизна на всём пути константа, то в точке схождения геодезических получим гладкую поверхность, а если кривизна убывает (но остаётся положительной), то в точке схождения геодезических получим вершину конуса. Так что Ваше условие удастся непротиворечивым образом удовлетворить только в отдельных специальных случаях..

[manul91]

epros в сообщении #1073138 писал(а):

К сожалению, этот случай придётся рассматривать, потому что геометрия в точке схождения геодезических однозначно определяется тем, какова будет кривизна поверхности вдоль геодезической на пути туда. Т.е. если кривизна на всём пути константа, то в точке схождения геодезических получим гладкую поверхность, а если кривизна убывает (но остаётся положительной), то в точке схождения геодезических получим вершину конуса. Так что Ваше условие удастся непротиворечивым образом удовлетворить только в отдельных специальных случаях..

Я передумал и только-что исправил свой ответ, извиняюсь..
Чему мешает "вершина конуса"? Ведь через ней однозначно можно проводить геодезических - даже на самом конусе как таковом (который везде с нулевой кривизны кроме в вершине где она положительна)? Эта вершина - деффект вложения. В внутренном смысле - единственная особенность что там имеет место - это точечный скачок кривизны. В данном случае он "не мешает" (хотя и в общем случае, хорошо бы его исключить - а мы так и сделали).

Когда я говорил:

Доказательство вроде нетрудно обобщается до случая двухмерия положительной сигнатуры, с "центральной симметрии положительной кривизны" - где гауссова кривизна $K(L)$ по всех геодезических исходящих из некоторой специальной "центральной" точке $O$, зависит только от "длины удаления по геодезической" от этой точки (и для одного и то же $L$, не зависит от направления - $K$ одинакова на любой "окружности" вокруг центра $O$).
Сама кривизна $K(L)$ может меняться в радиальном направлении оставаясь всегда существенно положительной (больше чем какую-нибудь фиксированную положительную величину $K \geqslant K_{{\min}} > 0$). ...

то конечно имел ввиду, что кроме этого остальные условия выполняются (а значит, изменение $K(L)$ должно быть именно таковым - что капли исключаются).

Так что скорее всего капли - это расширение рассматриваемого множества специальных случаев (мы ввели слишком жестких ограничений) - а не сужение ; )

[epros]

manul91 в сообщении #1073144 писал(а):

Так что скорее всего капли - это расширение рассматриваемого множества специальных случаев

Я бы сказал, что капли -- это общий случай, а гладкое схождение геодезических -- как раз очень специальный. Причём мне эта "единственная особенность" каплевидного решения представляется весьма мешающей. Потому что я сильно не уверен, что продолжение геодезической через эту особенность по противоположной стороне капли -- это правильно. Мне кажется более правильным гладкое продолжение геодезической за пределы капли. Но в этом случае мы явно уже не вернёмся в исходную точку $O$ и топология получится совсем другой.

[manul91]

epros в сообщении #1073157 писал(а):

Причём мне эта "единственная особенность" каплевидного решения представляется весьма мешающей. Потому что я сильно не уверен, что продолжение геодезической через эту особенность по противоположной стороне капли -- это правильно. Мне кажется более правильным гладкое продолжение геодезической за пределы капли. Но в этом случае мы явно уже не вернёмся в исходную точку $O$ и топология получится совсем другой.

Вы слишком сильно мысленно "привязываетесь" к внешнему вложению в 3d.
Никакого "за пределы капли" не может быть во внутренном смысле - т.к. поверхность двухмерная и две измерения исчерпывают многообразие, разветвления не разрешаются (ибо тогда это вообще говоря, не будет "многообразие" в стандартном смысле).

Насчет "вершин" и прохода через них.

Геодезические никаких "ребер" и "вершин" не "ощущают" локально/внутренне - этого легко понять если мысленно развернуть в плоскости конус, или куб.
Насчет изолированных точек скачка положительной кривизны ("вершин") - геодезическая "ощущает" их только глобально, из-за дефицита угла который накапливается интегрально когда геодезическая "идет прямо" помимо этой точки ("вершины" куба или конуса).
Поэтому "с точки зрения геодезических" на поверхности куба - куб этакое замкнутое, плоское пространство с топологию сферы - и совсем гладкое везде, за исключения восьми специальных точек где кривизна ненулевая, положительна и во всех восьми одинакова (из-за дефицита угла); "ребер" геодезическая не ощущает ни глобально ни локально.

Насчет продолжения геодезических через изолированных точек скачка кривизны - точно также никаких проблем нет.
Приходя к такой вершине, геодезическая "выходит" на угол $\pi$ по отношению к направлению "прихода" - как она и делает пересекая любой другой обычной точки. Геодезическая по-прежнему локально экстремализирует расстояние при локальной вариации пути, остается совершенно "гладкой", и так далее.
Так что точечные скачки кривизны ("вершины") - в данном конкретном смысле (прохода геодезических через них) - также локально/внутренне "неощутимы".

В итоге, такие точки изолированных скачков положительной кривизны (при вложении в 3d мы воспринимаeм их как "вершины") - нам никак "не мешают" - то что важнее (и на что по сути крепится доказательство, кроме симметрии) - это однозначное проведение геодезических через любой точке, их самоидентичности (пункты 2 и 3) и отсутствиe разветвлений (1) что с этим связано.

[epros]

manul91 в сообщении #1073198 писал(а):

Вы слишком сильно мысленно "привязываетесь" к внешнему вложению в 3d.

Нет, это только для понятности объяснений. Но всё сказанное относится к внутренней геометрии, независимо от вкладываемости поверхности.

manul91 в сообщении #1073198 писал(а):

Никакого "за пределы капли" не может быть во внутренном смысле - т.к. поверхность двухмерная и две измерения исчерпывают многообразие, разветвления не разрешаются (ибо тогда это вообще говоря, не будет "многообразие" в стандартном смысле).

Я говорю про то, как конус продолжается за пределы вершины. Продолжите "конус прошлого" на "конус будущего" и получите везде гладкое продолжение геодезических.

manul91 в сообщении #1073198 писал(а):

Геодезические никаких "ребер" и "вершин" не "ощущают" локально/внутренне - этого легко понять если мысленно развернуть в плоскости конус, или куб

Вы ошибаетесь. Геодезическая через такую особенность вообще не определена. Чтобы убедиться, сравните результаты переноса вектора по линиям, обходящим особенность с разных сторон.

-- Сб ноя 14, 2015 12:35:50 --

manul91 в сообщении #1073198 писал(а):

Приходя к такой вершине, геодезическая "выходит" на угол $\pi$ по отношению к направлению "прихода" - как она и делает пересекая любой другой обычной точки.

Ну Вы зажигаете... Какое $\pi$? Вы не подумали, что полный оборот в вершине конуса отличается от $2\pi$?

[manul91]

epros в сообщении #1073257 писал(а):

Я говорю про то, как конус продолжается за пределы вершины. Продолжите "конус прошлого" на "конус будущего" и получите везде гладкое продолжение геодезических.

Опять, это специфика вложения в 3d в котором вы рассуждаете (не совсем ясно причем тут конусы будущего-прошлого ведь это эвклидово многообразие о котором мы говорим).
Линии обретают "негладкость" только при выборе их вложения в надпространстве с измерений выше 1; как одномерные штуки они "всегда гладки" и "внутренную кривизну" не имеют. А внутри двухмерной поверхности конуса, через "вершины конуса" их можно продолжить вполне гладко.

epros в сообщении #1073257 писал(а):

Вы ошибаетесь. Геодезическая через такую особенность вообще не определена. Чтобы убедиться, сравните результаты переноса вектора по линиям, обходящим особенность с разных сторон.

Не вижу никакую связь между переноса векторам по линиям обходящим "особенность", и продолжения геодезической через саму "особенность".
Эта "особенность" состоит только в дефиците угла вокруг данной точки многообразия (что и есть точечная ненулевая кривизна) - и только об этом и говорят эффекты вашего переноса вокруг нее.
Те же "эффекты переноса", имеются при переносом вектора вокруг любой "нормальной" точки $P$ на поверхности везде непрерывной положительной кривизны - не мешает же вам это, проводить геодезических через таких точек.

epros в сообщении #1073257 писал(а):

Ну Вы зажигаете... Какое $\pi$? Вы не подумали, что полный оборот в вершине конуса отличается от $2\pi$?

И что с того? Чтобы набежал угол $\pi$ вокруг центра, может потребоваться несколько обмоток.
Если это вас смущает - скажем так: если полный угол в вершине $2\theta$ ($\theta < $pi) - то угол между направлении выхода и направлении входа, будет $\pi \text{mod} \theta$.

Представьте себе развертку на плоскости, некоторого "тупого" конуса с очень малым дефицитом угла в вершине - скажем полный угол не 360, а 359 градуса.
Как однозначно проводить геодезическую через центр этой развертки - ведь совершенно очевидно.

Если полный угол достаточно острый (полный угол меньше чем 180 град, дефицит до 360 больше чем 180 град) - это уже не так очевидно, да.
Но можно взять предел обычных геодезических которые исходя из некоторой фиксированной точке, все более и более по направлению приближаются к центре развертки ("вершины") - петляя вокруг центра - они в итоге "выйдут" из его окрестности, и по мере того как геодезические по направлению "входа" все более "прямо" падают к центр - будут иметь направление "выхода" из окрестности центра которое будет стремиться к $\pi$ относно направлению "входа к области центра" (если полный угол меньше чем $\pi$, то чтобы набежало $\pi$ потребуется больше чем одной обмотки).
В пределе, когда геодезическая входит "прямо" на центр - направление "выхода" будет ровно $\pi относно направления "входа" (если полный угол меньше чем $\pi$, то чтобы набежало $\pi$ потребуется больше чем одной обмотки).

Если по-прежнему не верите - давайте спросим про геодезических через многообразии конуса (и через его "особой точки" ненулевой кривизны) кого-нибудь на форуме, кто профессионально занимается топологией?

[manul91]

epros
Подумавши еще раз внимательнее - я напортачил в своих последних сообщений.
Короче - я теперь согласен с вами, что геодезических через вершину конуса (центра развертки) - нельзя провести однозначно, самосогласованно и гладко внутри поверхности. Хотя и можно "с бодуна" задекларировать что если полный угол в вершине $2\theta$ ($\theta<\pi$) то продолжаем геодезическую на угол $\theta$ по отношению к направлению входа - но это как-то именно "с бодуна", и такой геодезической на поверхности конуса, "прямой" в данной точке вершины можно назвать только с большой натяжки.
Так что оказывается помимо прочего, требование непрерывности кривизны в любой точке - вроде существенно. По меньшей мере для доказательства в таком виде в котором я использовал.

[epros]

manul91 в сообщении #1073394 писал(а):

Подумавши еще раз внимательнее - я напортачил в своих последних сообщений.
Короче - я теперь согласен с вами, что геодезических через вершину конуса (центра развертки) - нельзя провести однозначно, самосогласованно и гладко внутри поверхности.

Ну вот, а я уже ответ настрочил. Пришлось удалить.

manul91 в сообщении #1073394 писал(а):

Так что оказывается требование непрерывности кривизны - существенно.

Дело в том, что в общем случае это требование не поможет. Если кривизна вдоль геодезической меняется как на пути вдоль капли из нижней к верхней её точке, то негладкость в точке схождения геодезических предопределена. Если Вы попытаетесь заложить гладкость по условию, то просто получите противоречие в условиях.

[manul91]

epros в сообщении #1073403 писал(а):

Ну вот, а я уже ответ настрочил. Пришлось удалить.

Да, простите ; ) (хотя на ответом все же интересно было посмотреть)

epros в сообщении #1073403 писал(а):

Дело в том, что в общем случае это требование не поможет. Если кривизна вдоль геодезической меняется как на пути вдоль капли из нижней к верхней её точке, то негладкость в точке схождения геодезических предопределена. Если Вы попытаетесь заложить гладкость по условию, то просто получите противоречие в условиях.

Это "лечится" просто - тупо оговаривая чтобы условия не противоречили друг друга - есть же очевидно варианты при которых они взаимосогласованы (те же эллипсоиды вращения, "яйца" (любой "остроты", лишь бы были гладкие) и пр):

Доказательство вроде нетрудно обобщается до случая двухмерия положительной сигнатуры, с "центральной симметрии положительной кривизны" - где гауссова кривизна $K(L)$ по всех геодезических исходящих из некоторой специальной "центральной" точке $O$, зависит только от "длины удаления по геодезической" от этой точки (и для одного и то же $L$, не зависит от направления - $K$ одинакова на любой "окружности" вокруг центра $O$), притом разрешены не все функции $K(L)$ а только такие при которых кривизна в "антиподальной" точки пересечения остается непрерывной - т.е. выполняется условие 1) .
Сама кривизна $K(L)$ может меняться в радиальном направлении оставаясь всегда существенно положительной (больше чем какую-нибудь фиксированную положительную величину $K \geqslant K_{{\min}} > 0$); притом таким образом чтобы кривизна в "антиподальной" точки пересечения оставалась непрерывной...

-- 14.11.2015, 18:31 --

Хотя.... Я вроде знаю как подправить доказательство, чтобы оно не требовало продолжения геодезических через антиподальной точки.
Напишу несколько позже.

[epros]

manul91 в сообщении #1073408 писал(а):

Это "лечится" просто - тупо оговаривая чтобы условия не противоречили друг друга - есть же очевидно варианты при которых они взаимосогласованы (те же эллипсоиды вращения, "яйца" (любой "остроты", лишь бы были гладкие) и пр)

Если условием оговорено, что кривизна вдоль геодезической может только уменьшаться, то ничто не поможет. Решение для "капли без кончика" можно сгладить в последний момент ("скруглить" кончик), но для этого нужно в последний момент резко увеличить кривизну, причём не абы как, а на определённым образом подобранную величину. Так что решение с гладко сходящимися геодезическими всё же весьма специфично: его вряд ли удастся получить, подобрав кривизну "наугад".