Задачка дифференциальной топологии

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Беседы на околонаучные темы»
Причина переноса: ближе к теме.

[VanD]

На всякий случай уточню: правильно ли я понимаю, что в формулировке задачи немного криво, но определяется векторное поле?

А как кстати показать эквивалентность первым когомологиям если нет звёздочки Ходжа? Я знаю как это сделать через звёздочку, когда связность Риманова, но как если она абы какая аффинная?

[Munin]

мат-ламер в сообщении #1072445 писал(а):

1) Что заниматься этой задачей самостоятельно без руководителя смысла не имеет.

Речь шла о другом. Если maximk (ТС) претендует на какую-то научную работу в области дифференциальной топологии - он эту задачу не то что может решить - он её уже знает. Потому что эта задача играет в дифференциальной топологии такую же роль, как задача $2\times 2$ в арифметике, или $\int\cos x\,dx$ в анализе.

мат-ламер в сообщении #1072445 писал(а):

2) Что если заниматься, то не конкретно этой задачей, а рассмотравить общий контекст, вместе с тем, что с ней связано.

Разумеется, надо учить не один пример $2\times 2,$ а всю таблицу умножения. Это не значит, что знание таблицы умножения нельзя проверить одним этим примером (при отрицательном результате проверки).

мат-ламер в сообщении #1072445 писал(а):

3) Это всё требует много времени.

Как и таблица умножения.

мат-ламер в сообщении #1072445 писал(а):

3) Это всё требует много времени. Поэтому если этим заниматься, то заниматься надо всеръёз, и надо в этом специализироваться.

Как ни странно, никому не приходит в голову специализироваться в таблице умножения. (Для зануд уточню: в таблице умножения натуральных чисел в пределах десяти.)

мат-ламер в сообщении #1072448 писал(а):

Может Munin объяснит нам в чём дело.

Я знакомился с этой задачей по литературе "для физиков", а не в составе систематизированного математического обучения. И даже если заглядывал в литературу "для математиков", меня больше интересовали факты, а не доказательства. Впрочем, как я понял по другим близким примерам, доказательства там скорее технические, чем идейно трудные и важные. Такие доказательства для меня скучны, и единственное - я не уверен, что воспроизводя доказательство, не пропустил бы какой-то нюанс. В этом у меня тренировки нет.

мат-ламер в сообщении #1072452 писал(а):

Тогда топик-стартеру надо специализироваться в топологии

Если вы не заметили, он претендовал на то, что уже специализируется в ней, и в том числе прослушал соответствующие курсы.

-- 11.11.2015 22:39:26 --

VanD в сообщении #1072457 писал(а):

На всякий случай уточню: правильно ли я понимаю, что в формулировке задачи немного криво, но определяется векторное поле?

Нормально определяется.

VanD в сообщении #1072457 писал(а):

А как кстати показать эквивалентность первым когомологиям если нет звёздочки Ходжа?

Здесь пространство трёхмерное евклидово, и такой проблемы нет. Если бы не было звёздочки Ходжа - сама формулировка задачи выглядела бы иначе, по крайней мере без оператора $\nabla\times,$ а с его эквивалентом.

[VanD]

Munin в сообщении #1072458 писал(а):

Нормально определяется.

Ну должно было быть сечение касательного расслоения, а получилось не оно.

Munin в сообщении #1072458 писал(а):

Если бы не было звёздочки Ходжа - сама формулировка задачи выглядела бы иначе, по крайней мере без оператора $\nabla\times,$ а с его эквивалентом.

А в абы какой аффинной связности $\nabla\times$ не означает (также вычисляемый в локальных координатах) ротор?

[provincialka]

мат-ламер
Да я груки не для вас писала! Для ТС. Он все хочет получить "малой кровью".

[Munin]

VanD в сообщении #1072461 писал(а):

Ну должно было быть сечение касательного расслоения, а получилось не оно.

Вы подразумеваете, что там какое-то условие дифференцируемости должно стоять?

VanD в сообщении #1072461 писал(а):

А в абы какой аффинной связности $\nabla\times$ не означает (также вычисляемый в локальных координатах) ротор?

Ротор на векторах есть $\nabla\times=\mathop{{}^\sharp}\mathop{*}\mathop{d\,\!}\mathop{{}^\flat}.$
Можно его рассмотреть на ковекторах как $\nabla\times=\mathop{*}\mathop{d\,\!}.$
Если вы убираете метрику, то вы должны обойтись без ${}^\sharp,{}^\flat.$
Если вы портите связность, то как я понимаю, $d$ не портится.
Но если вы убираете звёздочку Ходжа - то всё, что вас остаётся - просто $\mathop{d\,\!},$ и называть это ротором уже неудобно.

[g______d]

Ну слушайте, ну понятно же, что имелись в виду гладкие отображения из $\mathbb R^3\setminus X$ в $\mathbb R^3$, т. е. векторные поля или 1-формы, без разницы.

А $\nabla\times v$ -- это ротор векторного поля или, что то же самое, внешний дифференциал 1-формы.

На $X$ можно накладывать какие хотите достаточно широкие ограничения: например, компактность, локальная связность/линейная связность.

Ответа, который я имел в виду, пока никто не дал. Хотелось бы, чтобы его формулировка зависела от как можно меньшего количества данных, от которых ответ не зависит.

[maximk]

Munin, но ведь вы сами написали, что задача связана далеко не только с дифференциальной топологией, тогда почему я должен знать ее (и уж тем более уметь ее решать)?

-- 12.11.2015, 18:00 --

Да и слышали бы вы курс, который я прослушал. Он ограничивался теорией кривых и поверхностей (азы диф. геометрии) + основами общей топологии. Когомологии встречал только в книге Адамса "Когомологии групп", да и то только на уровне определения, не больше.

-- 12.11.2015, 18:01 --

provincialka, о какой такой "малой крови" речь, да и с чего вы это взяли?

[Munin]

maximk в сообщении #1072650 писал(а):

Munin, но ведь вы сами написали, что задача связана далеко не только с дифференциальной топологией, тогда почему я должен знать ее (и уж тем более уметь ее решать)?

Задача $2\times 2$ связана тоже не только с арифметикой, и в том же смысле. Например, она связана с автотранспортом: эта задача позволяет посчитать число колёс у легкового автомобиля. Но вот почему-то, чтобы её решать, достаточно знать арифметику, а разбираться в автомобилях - не обязательно.

maximk в сообщении #1072650 писал(а):

Да и слышали бы вы курс, который я прослушал. Он ограничивался теорией кривых и поверхностей (азы диф. геометрии) + основами общей топологии. Когомологии встречал только в книге Адамса "Когомологии групп", да и то только на уровне определения, не больше.

Можете не оправдываться. Всем уже всё ясно.

[maximk]

Munin, может быть всем, кроме, по крайней мере, вас, ибо вы утверждаете нечто о курсах, читаемых мне, на основе чего-то, додуманного вами лично? Мало ли, что вы там еще додумали обо мне на основе прочитанного.

[Munin]

maximk в сообщении #1072703 писал(а):

Munin, может быть всем, кроме, по крайней мере, вас

Нет, всем, кроме мат-ламер-а.

-- 12.11.2015 18:47:03 --

Видите ли, что бы вам там ни читали, словосочетание "дифференциальная топология" несёт вполне конкретный смысл.
А так, вы напоминаете кандидатов на собеседовании в http://www.mccme.ru/edu/viarn/obscur.htm (g______d уверен, что это нереалистичная байка).

[мат-ламер]

maximk
Мне почему-то кажется, что тематика, связанная с графами Кэли вам скучна, поскольку вы не понимаете, для чего это нужно. Так ли это?

[provincialka]

maximk в сообщении #1072650 писал(а):

provincialka, о какой такой "малой крови" речь, да и с чего вы это взяли?

maximk в сообщении #1061944 писал(а):

Munin, пф, вот и трудитесь. Тем, кто создан быть одним из лучших математиков на планете, нет необходимости трудиться - они развлекаются, решая задачи "на лету" (хоть и затрачивают некоторое время на то, чтобы словить идею, как решать), ибо им дано заниматься этим разделом математики. Конечно, никто не мешает трудиться, тратить неимоверные усилия на решение элементарных задач. Выбор за каждым.
Пока что в поиске такого интересного раздела аналитической теории чисел, где бы было меньше алгебры, меньше теории $L$-функций и дзетта-функций (если такой есть).

maximk в сообщении #1071127 писал(а):

Но для это быть может и не потребуется штудировать хотя бы одну книгу полностью, быть может достаточно одной главы этой книги.

maximk в сообщении #1071127 писал(а):

Так что можно перестать рыть тоннами информацию в монографиях.

Ну и много такого же аналогичного, лень искать...

[Nsk]

Munin в сообщении #1072711 писал(а):

Видите ли, что бы вам там ни читали, словосочетание "дифференциальная топология" несёт вполне конкретный смысл.
А так, вы напоминаете кандидатов на собеседовании в http://www.mccme.ru/edu/viarn/obscur.htm (g______d уверен, что это нереалистичная байка).

Извините, что вмешиваюсь, но для студента словосочетание "дифференциальная топология" вполне может ассоцироваться с одноимёнными книжками Милнора, Уоллеса или Хирша, в которых, насколько я помню, когомологии Де Рама не упоминаются. (Хотя, конечно, в курсах дифференциальной топологии обычно рассказывают о когомологиях Де Рама, последовательности Майера-Вьеториса и прочем).

[Blancke_K]

g______d в сообщении #1072480 писал(а):

Ну слушайте, ну понятно же, что имелись в виду гладкие отображения из $\mathbb R^3\setminus X$ в $\mathbb R^3$, т. е. векторные поля или 1-формы, без разницы.

А $\nabla\times v$ -- это ротор векторного поля или, что то же самое, внешний дифференциал 1-формы.

На $X$ можно накладывать какие хотите достаточно широкие ограничения: например, компактность, локальная связность/линейная связность.

Ответа, который я имел в виду, пока никто не дал. Хотелось бы, чтобы его формулировка зависела от как можно меньшего количества данных, от которых ответ не зависит.

Полагаю, что с помощью теоремы Атья-Зингера можно сделать какие-то заключения о связи $dim(V/W)$ и количеством нетривиальных голономий векторного поля в $X$.
Так?