Ряд из цифр в числе

[arseniiv]

(Оффтоп)

maximk в сообщении #1056558 писал(а):

которое мне еще с 8 класса "не приелось"

О, так это хорошо, что не приелось! Только со смыслом фразы почему-то не сочетается… (Ну да, приелось = надоело и, соответственно, не приелось = не надоело.)

[maximk]

(Оффтоп)

arseniiv, да я уже понял, некорректно выразился)
ИСН, отвечу, как ни странно, тем же) Если уж на то пошло, что даёт Вам основания думать, что Вы не способны решать актуальные задачи математики? Возьмите себе это право безусловно, увидите, что из этого выйдет)
INGELRII, беру свои слова обратно)

[maximk]

Dmitriy40, и еще, не могли бы вы мне разъяснить, почему эта задача интересна? И почему именно 15, а не 115? Какая литература имеется по изучению интервалов между простыми числами, статьи?

[Nataly-Mak]

Забавная тема!
maximk
прихватите заодно и мою задачку, поразбирайтесь
Только не спрашивайте, почему она интересная; не требуйте ссылки на экспериментальные данные, а также полный список литературы по проблеме.

[Dmitriy40]

maximk
Интересна задача потому что такие последовательности (из 16-ти соседних простых чисел) используются для построения магических квадратов 4х4. Есть разные методы их поиска, например: найти все простые числа и каждые 16 проверить на составление квадрата; найти все простые и проверить совпадение каждых 15-ти последовательных интервалов со всеми допустимыми паттернами квадратов (вариантами последовательности интервалов, не любые их можно превратить в правильный квадрат); найти все простые числа, с которых может начинаться каждый паттерн и проверить все 16 чисел на совпадение со множеством простых чисел; ...
Если ограничиться любым конечным интервалом натуральных чисел, то на нём сумма 15-ти последовательных интервалов между простыми числами не может принимать сколь угодно большие значения, всегда есть максимум, который - что важно! - намного меньше чем $15 \max(D_2)$ (15-ти кратного максимума интервала между соседними просыми). Это на порядки уменьшает количество паттернов для проверки.
Экспериментальные данные есть вот в таком виде по крайней мере до $10^{14}$:
D2:D16:P
766:1564:19581334192423
766:1580:20742861371081
766:1584:29418557625817
766:1590:32415369661733
766:1620:32703517807193
778:1620:42842283925351
778:1634:42998753600279
778:1692:54386558131469
D2 - максимум интервала между соседними простыми, D16 - максимум суммы 15-ти интервалов, P - с какого простого числа обновляется любой из максимумов. Максимумы определяются от 0 до P+D16.
Как видно, $D_{16} \ll 15 D_2$.
Хотелось бы зная $D_2$ и границы интервала как-то уменьшить верхнюю границу для $D_{16}$ c тривиальной $15 D_2$.
Ещё более подробно про задачу (в несколько более общем виде) обсуждалось тут: Диаметр последовательности простых чисел, если задача заинтересует предлагаю продолжить обсуждение именно там.
Насчёт литературы, у меня ссылок на статьи нет, я чисто практик в данном вопросе, но начать можно с вики и ссылок из неё.

PS. Задачка про симметричные кортежи на множестве простых чисел ещё более интересная, но является подмножеством данной с наложенными дополнительными условиями и думаю потому ещё сильно сложнее.

[maximk]

Dmitriy40, занялся этой задачей. Так сходу даже не знаю, как подойти к ней. Очевидно, что константа $15$ подходит сколько большой интервал бы мы не рассматривали, но вот насколько можно уменьшить константу - вопрос тонкий. Есть какие-то результаты уже полученные в пожожих задачах? Уже использовал простейшие леммы, следствия из теоремы Чебышева, оценки из русско-английский статей в википедии асимптотического поведения пробелов между простыми, нижние оценки и т.д.. Пока что есть подозрение, что задача требует сильных аналитических методов. По сути задача сильно не поменяется, если $D_{16}$ заменить на $D_k$, сразу обобщив. Мое мнение.

[Dmitriy40]

maximk
Заменить 16 на произвольное число от 3 и выше конечно можно, при очевидном условии достаточно большой величины самих простых чисел.
Просто 16 имеет хоть какой-то практический смысл уже сейчас, другие длины сейчас применить некуда. Ну разве что кроме 25 и 27, но с ними сложнее т.к. по ним меньше или вовсе нет экспериментальных данных, на которых можно будет проверить выкладки.
Буквально вчера высказано предположение, что для любой длины отношение максимального диаметра кортежа к максимальному интервалу между соседними простыми не превышает 2, начиная с некоторого простого числа. Если это подтвердится - это уже очень сильная и полезная оценка сверху. Тогда интересно к какому именно пределу на бесконечности стремится каждое конкретное $D_k$ в зависимости от $k$ ...
Я совершенно не математик и мне известны лишь чисто экспериментальные результаты, полученные тупо прямым счётом на компьютере, так что с литературой ничем помочь не могу.

[maximk]

Что такое кортёж?
Мне известен тот факт (наверняка сейчас он улучшен, не знаю, насколько сильно), что $D_2 \sim (p_n)^\Theta$, где $\Theta=3/4+\varepsilon$ при сколько угодно малом $\varepsilon$. Ну а асимптотика для $p_n \sim n\cdot \ln{n}$ следует из теоремы Чебышева.

[maximk]

кортеж*

-- 10.10.2015, 15:26 --

Dmitriy40, не могли бы вы перевести гипотезу на формальный математический язык? Не очень понимаю, о чем речь.

[Dmitriy40]

maximk
В данном случае термин "кортеж" понимается в более узком смысле, это именно упорядоченное множество различных элементов, повторы недопустимы. Хотя их и так не будет, по построению, так что термин вполне применим.

Сам формулировать не буду, воспользуюсь почти готовыми формулами (отсюда, отсюда, отсюда, кстати я рекомендовал ознакомиться с той темой, не так уж там много, и не понимаю зачем то же самое обсуждать ещё и тут):

$$f(x, k) = \frac{D_k=\max\limits_{p_a < x}(p_{a+k-1}-p_a)}{D_2=\max\limits_{p_b < x}(p_{b+1}-p_b)}, p_i=prime[i], a,b,i,k \in \mathbb{N}$$

Не уверен стоит ли пояснять, что индексы $a,b$ независимо пробегают все допустимые значения (по величине простого числа) для определения соответствующего максимума диаметра.

-- 10.10.2015, 18:04 --

maximk в сообщении #1060993 писал(а):

Мне известен тот факт (наверняка сейчас он улучшен, не знаю, насколько сильно), что $D_2 \sim (p_n)^\Theta$, где $\Theta=3/4+\varepsilon$ при сколько угодно малом $\varepsilon$. Ну а асимптотика для $p_n \sim n\cdot \ln{n}$ следует из теоремы Чебышева.

Зависимость $D_2$ не так интересна, этим много кто занимался, есть много разных результатов и оценок, потому улучшить их - задача видимо совсем уж сложная. Ей заниматься даже и не предлагаю.

[Dmitriy40]

Вот ещё прекрасная возможность внести свой вклад в высокую науку: разобраться с новым мат.аппаратом из abc-гипотеза доказана?