Диаметр последовательности простых чисел

[Begemot82]

Это нечестный поединок, надо соперников ставить в равные условия - поиск максимумов на данном интервале. Кому повезет, тому повезет.

Dmitriy40 в сообщении #1056372 писал(а):

Правда я не помню где видел утверждение что проверены все числа до $2^{64}$

У главного по "gap"-ам Dr. Thomas R. Nicely проверено до $4e18$

[Dmitriy40]

Решил для начала прочесать числа от 805е15 до 1425е15 (чтобы использовать $D(x)=1442$) с шагом 1e15 и интервалом проверки 10e9. Потом придумаю как сделать случайную (в заданном интервале) начальную точку.
Первые результаты (я хитро начал с конца), самый большой максимум той дроби: 1424000006634787277:168960=0.081256 (начальное число, произведение следующих двух интервалов, дробь).
Похоже интервал 10млрд маловат, перезапустил с интервалом 100млрд.

[grizzly]

Begemot82 в сообщении #1056380 писал(а):

Это нечестный поединок, надо соперников ставить в равные условия - поиск максимумов на данном интервале.

Согласен. Никто не мешает, конечно, смотреть и так и этак, но хотя бы максимальные Gap на тестируемом интервале просьба показывать. Всё равно ведь это не стоит доп.ресурсов.

У меня есть ещё просьба: нельзя ли посмотреть на небольшом интервале в начале ряда, как ведёт себя тройка $r1\cdot r2 \cdot r3 / D2^3$ (эта сокращённая запись -- полный аналог обсуждаемой "двойки" $r1\cdot r2 / D2^2$). И если для двойки результат колебался в районе 0.3, то для тройки я ожидаю не половину (как можно было подумать), а только четверть этого. Если такое несложно в программировании, то интервал до $10^{10}$ вполне удовлетворил бы моё любопытство (но можно и меньше).

[Dmitriy40]

grizzly
Держите, до $10^{10}$. http://pastebin.com/uvCwmueK
До $10^{12}$ будет через час-два.
Формат файла: простое число, произведение следующих трёх интервалов, максимум для интервала между простыми (включая и три следующих), отношение второго к кубу третьего. Вывод производится лишь при увеличении или произведения трёх интервалов, или максимума одного интервала, таким образом пропущены оказываются дроби не превышающие последнюю выведенную.

[Begemot82]

grizzly
Для четверки предполагаю предел $ \dfrac {1}{3^3}= \dfrac {1}{27}$

Если в знаменатели поставить $D4$ ( в кубе ), то отношение всегда меньше $ \dfrac {1}{27} < 0.037$. Отношение $ \dfrac {D4}{D2}$ на интервале $1e10-1e12$ падает с 1.45 до 1.28 . Цифры приблизительные т.к взяты только на концах интервала.

[grizzly]

Dmitriy40
Большое спасибо! Заразная это штука -- эмпирика :)

-- 25.09.2015, 02:50 --

Begemot82
Здесь сложно спорить, и трактовать связь данных с предсказаниями можно неоднозначно.

Я думаю, что тратить вычислительный ресурс на эту подзадачу за пределами $10^{12}$ уже безыдейно (если, конечно, не будет свежей идеи :)

[Dmitriy40]

grizzly
Вот данные до $10^{12}$ - http://pastebin.com/KJfdriwn
Прошу прощения что долго - не поверил что кончаются так рано, подумал глюк (были основания), перепроверял.

-- 25.09.2015, 04:38 --

Результаты нечестного поединка в интервале 1405е15-1425е15 (выборка по 100млрд от начала): 1406000002073028979:303600=0.146006 - максимум дроби.

[Begemot82]

В полной мере не удалось провести, но есть данные для двух стартовых интервалов - $10^{21}$ и $10^{30}$.
Далее M3 и M4 означают рекорды $r_1\cdot r_2$ и $r_1\cdot r_2 \cdot r_3 $,
Формат для тройки - точка наблюдения $k \cdot 10^{8} $ $ ;D2;D3;M3;M3/D2^2;M3/D3^{2}$
Формат для четверки - точка наблюдения $k \cdot 10^{8} $ $ ;D2;D3;D4;M3;M4;M4/D2^3;M4/D4^{3}$

 тройки 1e21
 1   726  840  175500 0.33297  0.248724
 10  744  862  175500 0.31705  0.236191
 57  882  960  204800 0.26326  0.222222
 тройки 1e30
 1    856  1112  279936 0.38204  0.226386
 10  1046  1182  349272 0.31923  0.249994
 45  1182  1288  401856 0.28763  0.242236

четверки  1e21
 1   726  840  954  19827360 0.05181  0.022836
 10  744  862  1036  30510144 0.07408  0.027439
 57  882  960  1106  406195520 0.59201  0.300241
четверки  1e30
 1    856  1112  1170  52150560 0.08315  0.032561
 10  1046  1182  1374  65432640 0.05717  0.025225
 45  1182  1288  1486  118834560 0.07196  0.036215

Интересно отметить, что для простого числа $p_n=1000000000000000000000527530627$ два рекорда, для диаметра$ D3=1182$ и для произведения разностей $M3=r_1 \cdot r_2=349272$, причем разности близки - $r_1=588$ и $r_2=594$
Отношение $ r_1 \cdot r_2 / 1182^{3} $ очень близко к $1/4$

[Begemot82]

Begemot82 в сообщении #1057076 писал(а):

Формат для четверки - точка наблюдения $k \cdot 10^{8} $ $ ;D2;D3;D4;M3;M4;M4/D2^3;M4/D4^{3}$

$ M3 $ лишнее, должно быть
Формат для четверки - точка наблюдения $k \cdot 10^{8} $ $ ;D2;D3;D4;M4; M4/D2^3; M4/D4^{3}$

[Dmitriy40]

Рекорды диаметров последовательностей простых чисел длины 2..100 для чисел до 5е13, вдруг кому пригодятся: https://cloud.mail.ru/public/HUjC/zDHAxaiM4

[Begemot82]

Dmitriy40
Огромное спасибо за ценный материал!
Я сразу схватился за самый большой набор из 100 простых чисел.

n D2 D100 D100/D2
6 114 1762 15,46
9 282 2858 10,13
12 540 4376 8,10
13 674 4954 7,35

Тенденции к уменьшению есть, но отношение еще велико.
Появляются и мысли о возможности предела отличного от $1$. А вслед вопрос о его численном значении.
Буду думать и спать, спать и думать.

[Begemot82]

Для рекордов D100 решил посмотреть какие разности составляют рекорд.
Для начала выбрал максимальную разность из 99 для данного рекорда, а затем среди них выбрал рекордные.
Формат:
- рекорд для D100
- максимальная разность для рекорда
- начальное простое число

539 18 2
644 20 263 
684 22 467  
708 34 653 
1030 36 13339  
1032 42 15791  
1134 54 34763 
1144 60 42709 
1344 86 155863
1518 96 359231 
1812 110 3063409 
1964 146 6033743 
2328 150 49442791 
2382 156 78601009 
2520 178 166060073 
2910 180 1002781757 
3834 188 98092684609 
3848 224 114913083911 
4080 268 310683251969 
5104 276 33485387765659 
5176 292 33994032582793 

То же самое, но добавлены разности

(Оффтоп)

539 18 2 1 2 2 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 6 6 2 6 4 2 6 4 6 8 4 2 4 2 4 14 4 6 2 10 2 6 6 4 6 6 2 10 2 4 2 12 12 4 2 4 6 2 10 6 6 6 2 6 4 2 10 14 4 2 4 14 6 10 2 4 6 8 6 6 4 6 8 4 8 10 2 10 2 6 4 6 8 4 2 4 12 8 4 8 4 6 12 2 18 
644 20 263 6 2 6 4 2 10 14 4 2 4 14 6 10 2 4 6 8 6 6 4 6 8 4 8 10 2 10 2 6 4 6 8 4 2 4 12 8 4 8 4 6 12 2 18 6 10 6 6 2 6 10 6 6 2 6 6 4 2 12 10 2 4 6 6 2 12 4 6 8 10 8 10 8 6 6 4 8 6 4 8 4 14 10 12 2 10 2 4 2 10 14 4 2 4 14 4 2 4 20 
684 22 467 12 8 4 8 4 6 12 2 18 6 10 6 6 2 6 10 6 6 2 6 6 4 2 12 10 2 4 6 6 2 12 4 6 8 10 8 10 8 6 6 4 8 6 4 8 4 14 10 12 2 10 2 4 2 10 14 4 2 4 14 4 2 4 20 4 8 10 8 4 6 6 14 4 6 6 8 6 12 4 6 2 10 2 6 10 2 10 2 6 18 4 2 4 6 6 8 6 6 22 
708 34 653 6 2 12 4 6 8 10 8 10 8 6 6 4 8 6 4 8 4 14 10 12 2 10 2 4 2 10 14 4 2 4 14 4 2 4 20 4 8 10 8 4 6 6 14 4 6 6 8 6 12 4 6 2 10 2 6 10 2 10 2 6 18 4 2 4 6 6 8 6 6 22 2 10 8 10 6 6 8 12 4 6 6 2 6 12 10 18 2 4 6 2 6 4 2 4 12 2 6 34 
1030 36 13339 28 14 16 2 12 6 4 20 10 6 6 6 8 10 12 14 10 14 16 14 10 14 6 16 6 8 6 16 20 10 2 6 4 2 4 12 2 10 2 6 22 6 2 4 18 8 10 8 22 2 10 18 14 4 2 4 18 2 4 6 8 10 2 30 4 30 2 10 2 18 4 18 6 14 10 2 4 20 36 6 4 6 14 4 20 10 14 22 6 2 30 12 10 18 2 4 14 6 22 
1032 42 15791 6 6 6 8 6 36 18 4 6 2 12 6 6 6 4 14 22 12 2 18 10 6 26 24 4 2 4 2 4 14 4 6 6 8 16 12 2 42 4 2 4 24 6 6 2 18 4 14 6 28 18 14 6 10 12 2 6 12 30 6 4 6 6 14 4 2 24 4 6 6 26 10 18 6 8 6 6 30 4 12 12 2 16 2 6 4 12 18 2 6 4 26 12 6 12 4 24 24 12 
1134 54 34763 18 26 12 22 2 4 2 22 6 6 14 16 6 20 10 12 2 18 42 4 24 2 6 10 12 2 6 10 8 4 6 12 12 8 4 6 12 30 20 6 24 6 10 12 2 10 20 6 6 4 12 14 10 18 12 8 6 12 4 14 10 2 12 30 16 2 12 6 4 2 4 6 26 4 18 2 4 6 14 54 6 52 2 16 6 6 12 26 4 2 6 22 6 2 12 12 6 10 18 
1144 60 42709 10 8 10 6 8 16 6 14 6 4 24 8 10 2 12 6 4 36 2 22 6 8 6 10 8 6 12 10 14 10 6 18 12 2 12 4 26 10 14 16 18 8 18 12 12 6 16 14 24 10 12 8 22 6 2 10 60 6 2 4 8 16 14 10 6 24 6 12 18 24 2 30 4 2 12 6 10 2 4 14 6 16 2 10 8 22 20 6 4 32 6 18 4 2 4 2 4 8 52 
1344 86 155863 24 4 2 28 86 4 8 22 18 2 10 18 20 10 8 4 8 12 6 60 10 2 12 12 4 2 10 38 12 10 18 6 8 10 48 2 16 30 20 4 2 18 10 18 38 12 4 8 18 4 8 10 18 12 6 2 4 8 12 4 12 8 6 16 32 16 2 18 6 10 8 46 12 2 12 28 2 24 4 8 28 6 6 18 12 2 6 4 20 22 6 18 6 8 22 14 4 8 18 
1518 96 359231 12 20 4 12 12 6 2 12 12 4 26 4 20 12 18 10 2 22 8 28 2 4 18 8 30 10 12 2 18 6 12 22 12 8 16 6 38 12 6 12 16 6 8 6 16 54 14 18 28 14 18 52 6 20 16 14 12 4 18 18 2 72 4 2 12 6 6 4 26 6 4 24 14 6 10 2 4 14 10 6 14 54 16 14 18 18 4 36 12 2 30 10 38 4 18 26 12 4 96 
1812 110 3063409 10 14 10 18 30 2 4 2 40 30 12 2 24 22 24 20 4 24 2 10 14 6 66 4 14 12 10 30 44 4 2 4 44 22 24 14 52 30 12 2 18 10 6 20 30 34 6 44 6 10 30 14 10 2 4 50 4 6 2 4 36 24 38 30 10 6 14 10 2 28 20 6 4 18 8 6 10 20 18 10 110 22 20 4 26 16 18 12 8 6 60 6 18 4 50 12 4 12 62 
1964 146 6033743 18 2 24 30 4 2 34 26 10 8 30 16 12 78 44 28 12 2 16 2 18 18 30 6 28 6 146 4 6 8 22 26 22 12 6 30 8 12 34 8 10 6 14 36 30 16 24 14 10 20 10 68 18 16 54 2 18 10 2 10 18 24 2 46 18 2 12 36 6 4 42 2 10 6 2 42 40 8 12 10 6 20 6 24 40 6 6 2 30 12 28 30 8 34 8 30 22 14 60 
2328 150 49442791 30 10 8 10 8 16 54 2 18 4 18 8 64 20 10 30 26 12 12 16 30 20 4 20 40 2 28 12 20 36 24 6 4 38 16 2 10 30 38 6 54 16 36 38 30 16 6 14 10 26 84 4 84 30 18 14 4 12 14 16 14 10 30 6 8 22 20 54 24 4 6 150 74 18 4 8 16 14 28 20 18 12 4 14 16 20 60 40 54 26 66 10 12 18 20 24 28 18 50 
2382 156 78601009 22 32 6 4 6 14 16 44 46 32 30 16 20 24 30 10 20 48 18 12 18 52 12 6 36 36 18 6 18 6 44 28 12 12 6 12 12 18 8 30 28 12 2 156 12 12 16 26 10 18 38 18 72 4 8 18 10 2 22 24 42 24 14 6 30 6 40 8 12 10 12 38 22 6 6 18 2 30 46 30 42 6 6 38 6 4 78 18 66 78 12 44 12 58 72 14 24 10 44 
2520 178 166060073 26 22 30 6 2 30 12 28 14 6 28 42 14 4 20 154 42 26 58 42 12 32 48 16 2 12 12 24 22 2 10 18 14 30 58 42 26 30 10 2 48 18 16 18 8 4 24 30 72 12 8 24 24 64 6 32 22 18 8 6 16 38 42 12 6 4 2 6 28 20 102 28 6 14 10 30 12 30 20 10 38 4 32 48 30 10 38 4 66 24 8 28 14 18 6 6 178 18 24 
2910 180 1002781757 6 18 42 14 12 34 8 42 4 42 8 6 48 6 24 16 2 18 10 42 8 24 28 24 14 16 96 8 72 84 34 12 14 18 12 34 44 12 18 18 34 6 12 98 24 130 54 20 16 6 14 64 42 8 4 2 34 26 4 42 62 18 28 2 12 88 12 20 6 22 8 4 42 44 6 28 32 6 22 20 78 30 10 8 180 6 30 16 2 66 6 16 60 42 18 2 72 96 58 
3834 188 98092684609 52 6 6 36 12 188 60 90 4 38 82 6 14 16 18 50 34 60 20 96 4 26 154 56 4 92 36 34 50 28 8 48 30 4 20 36 46 6 108 24 8 28 6 44 4 2 108 22 66 14 4 6 24 14 40 18 2 58 8 30 100 12 12 36 6 110 16 48 56 6 10 8 6 36 100 108 12 60 12 6 14 52 66 14 24 120 42 90 22 38 22 48 2 36 132 58 24 30 32 
3848 224 114913083911 2 36 72 30 6 94 42 6 42 2 46 2 10 98 40 18 36 18 2 10 6 20 48 64 12 114 20 42 34 24 60 14 6 10 12 30 20 78 6 24 46 84 20 46 224 132 34 20 24 24 132 84 16 38 12 18 10 68 22 6 30 12 62 10 62 10 30 50 28 126 24 36 12 68 22 132 2 18 12 10 14 30 16 24 42 32 10 18 62 88 2 18 18 24 136 2 10 104 126 
4080 268 310683251969 12 62 48 6 40 32 72 36 6 28 18 38 54 16 110 24 142 30 24 20 10 26 6 48 22 18 6 54 14 28 38 4 42 14 54 36 10 2 28 6 126 20 82 32 94 44 78 10 14 34 60 84 26 6 10 24 2 30 4 38 46 14 42 34 6 8 18 64 36 38 30 36 6 60 24 10 18 30 92 90 58 120 168 54 26 48 102 48 12 24 64 24 20 46 80 66 16 32 268 
5104 276 33485387765659 22 18 74 40 60 26 10 134 6 10 102 50 96 10 102 24 18 12 30 36 14 34 56 88 90 8 34 128 58 12 66 2 4 18 8 28 2 12 16 36 50 24 276 28 50 10 56 42 40 72 18 14 10 20 228 52 50 6 4 30 50 150 106 98 16 68 60 28 62 6 30 6 4 174 78 60 42 26 160 224 22 50 34 42 18 84 138 18 56 34 6 14 66 48 10 86 22 132 102 
5176 292 33994032582793 24 6 24 112 54 48 12 56 54 30 114 34 42 18 18 14 34 6 30 8 168 34 36 14 30 18 88 2 36 4 20 88 32 126 24 28 102 6 80 96 6 4 6 62 82 74 42 94 36 134 76 50 28 2 4 36 12 78 30 114 56 150 52 12 8 82 84 144 128 150 30 70 14 16 30 42 66 66 20 78 76 54 38 64 8 12 60 54 22 42 90 30 20 292 68 22 6 92 88 

[12d3]

Begemot82 в сообщении #1057128 писал(а):

Появляются и мысли о возможности предела отличного от $1$. А вслед вопрос о его численном значении.

А еще возникаете вопрос, где в ряду $\frac{D_k}{D_2}$ пределы 1, а где не 1. Лично я склоняюсь к тому, что везде 1.

[Begemot82]

12d3 в сообщении #1057476 писал(а):

Лично я склоняюсь к тому, что везде 1.

Когда разностей было мало, я так и подумал. Да и сейчас пока подтверждается, может еще c D3 не так ясно. Но рассматривая под сотню разностей начинаешь размышлять. Ясно, что D100 не может быть меньше D2, который предположительно пропорционален квадрату логарифма. Но может на рост влияет количество разностей или рост пропорционален квадрату двойного логарифма ( тогда предела вообще нет). На малых количествах ( 25 и 27-ки подробно не рассматривал ) или в начале ряда особенность не проявляется. Размышляю какой выбрать ( выдумать, сконструировать, прочувствовать ) критерий, чтобы проявилась какая-то закономерность. Понимаю, что слабо, но вдруг...
Численно может быть $1+a(n)$. Достаточно $ a(3)=0.001 $, $ a(100)=0.74 $

[Dmitriy40]

Поддерживаю предположение что везде будет 1 при неограниченном возрастании величины чисел.
Я бы сказал что из-за "случайности" величины каждого конкретного интервала между соседними простыми их сумма будет случайной более высокого порядка малости, чем сама величина интервала (криво выразился, не знаю как правильно назвать мысль). Т.е. отношение быдет выглядеть как $\dfrac{D_k}{D_2}(1+\varepsilon)$ и разумеется стремиться к 1. Просто для больших $k$ при гораздо бОльших абсолютных значениях чисел.