Алгебра в применении к видимому

[provincialka]

Чёрт! Чувствую себя "ответственной за Кляйна" Придется его перечитать... Впрочем, мне с самого начала был интересен именно исторический очерк, то, как разные люди в разные времена отвечали на вопрос о математике. Никаких неожиданных идей и откровений в этой области я не жду.

Сама я больше интересуюсь гуманитарными приложениями, а вот там с "эффективностью" как раз плоховато... Иногда кажется, что математика может создавать в гуманитарных науках скорее заблуждения

Иногда кажется, что вопрос уже пора формулировать так: "Почему физика -- та наука, в которой математика эффективна?"

[Munin]

Вот не только физика.

Интересно, что математика приходит во многие науки. Сначала они сопротивляются: "с эффективностью плоховато". Но иногда с нажимом это сопротивление удаётся преодолеть. И возникают удивительные успехи и опять же эффективность. Примеры:
- химия;
- геология;
- биология;
- лингвистика;
- экономика;
- история (? по крайней мере, есть попытки, типа "клиодинамики")...
Всякую "(псевдо)статистику" типа распространённой в социологии и психологии, я не рассматриваю, поскольку без математизации собственно теоретической науки - это всё всего лишь способ водить себя за нос.

[arseniiv]

provincialka в сообщении #1059751 писал(а):

Чувствую себя "ответственной за Кляйна"

Не стоит.

[Anton_Peplov]

arseniiv в сообщении #1059717 писал(а):

Э нет, потенциально бесконечного не получится

Ладно, бесконечного не получится. Я имел в виду, что можно, скажем, взять за "схему опыта" предсказание времени падения тела с высоты по закону $h = gt^2/2$ и, меняя высоты, получить "бесконечное" количество опытов, в каждом из которых мы можем предсказать результат. Но бесконечности тут, конечно, не получится: если мы будем рассматривать все более близкие высоты, упремся в точность измерений (или формулы, смотря насколько точные у нас приборы), а меняя высоту вверх, тоже выйдем за пределы применимости формулы. Можно написать более совершенную формулу (скажем, учитывающую изменение $g$ с высотой), для нее количество верных предсказаний будет больше, но тоже конечно. Так что бесконечность беру обратно.

arseniiv в сообщении #1059717 писал(а):

тут надо применить теорвер аккуратно, потому что неудивительно, что в случае равномерного распределения чисел на $[0;1]$, выбрав несколько сотен мы практически точно наткнёмся на несколько единиц.

Насколько я понимаю, Вы имели в виду равномерное распределение не на отрезке$[0;1]$, а на множестве $\{0, 1\}$. Т.е., если считать, что каждая математическая модель имеет равные (или хоть сравнимые) априорные шансы описать или не описать каждый кусок реальности, ничего удивительного нет в том, что это порой случается.
Абсолютно с Вами солидарен в том, что теорвер надо применять аккуратно. И тогда первый же вопрос - откуда мы возьмем форму распределения. А взять нам ее неоткуда. Так что, отстаивая тот или иной тезис, придется ссылаться на фундаментальнейшую теорему "Ей-богу, так!".

[arseniiv]

Anton_Peplov в сообщении #1059769 писал(а):

Насколько я понимаю, Вы имели в виду равномерное распределение не на отрезке$[0;1]$, а на множестве $\{0, 1\}$.

Вы правы, я как-то посередине фразы перепрыгнул. Сначала хотел написать «больше половины», хотя, как видно, ничего кроме дискретного распределения здесь и не нужно.

Anton_Peplov в сообщении #1059769 писал(а):

И тогда первый же вопрос - откуда мы возьмем форму распределения. А взять нам ее неоткуда. Так что, отстаивая тот или иной тезис, придется ссылаться на фундаментальнейшую теорему "Ей-богу, так!".

Ну, невероятная эффективность ведь получится при некоторых определённых распределениях, когда вероятность эффективности как раз неоправданно мала. А какие на то могут быть причины? Надо учесть, что мы за свою историю добились от математики точности и накопили большой корпус всяких понятий и связей между ними, и подходами к доказательствам и вычислению. И ведь никакого другого инструмента для объяснения природы мы больше не развивали! Так что хотя бы относительная эффективность совершенно неудивительна.

[Anton_Peplov]

provincialka в сообщении #1059751 писал(а):

Иногда кажется, что вопрос уже пора формулировать так: "Почему физика -- та наука, в которой математика эффективна?"

А мне вот кажется, что вопрос надо ставить так: почему психология (и ее производные - социология и т.д.) - наука, в которой математика неэффективна (чуть в меньшей степени это применимо и к биологии вообще)? И ответ на этот вопрос, по-моему, очевиден: потому что человек - система с:
1) огромным количеством входов (скажем, на наше настроение, а через него на поведение влияет даже цвет, в который окрашены стены);
2) высокой чувствительностью по многим из них, где-то, возможно, доходящей до чувствительности хаотических систем;
3) памятью - причем уходящей на десятилетия назад, в заведомо неконтролируемые дали (пресловутая роль детских переживаний в формировании личности).
Математизация науки начинается с эмпирических формул. Био и Савар позвали Лапласа, чтобы обобщить результаты своих экспериментов в формулу, хотя там всего три величины (две из них, правда, векторные), никакой памяти и тем более никакого динамического хаоса. А психологам кого позвать? И тем не менее, в нейронауке медленно, но верно кое-что получается.

[provincialka]

Munin
Ну, понятно, что не только физика. Но все же, чем дальше в лес, тем больше дров чем ниже по вашему списку, тем математика менее эффективна.
У меня иногда возникает такой образ: система наук как вложенные оболочки. Внутри -- математика в виде некоего скелета или шарнирного механизма. На нее накладывается физика, потом химия, биология, другие естественные науки, лингвистика, гуманитарные науки...
И чем дальше, тем меньше детали это "организма" становятся похожими на его скелет. Примерно как в милой девушке совершенно не угадывается структура лучевых и тазовых костей или кишечного тракта

-- 06.10.2015, 21:01 --

Anton_Peplov
Насчет психологии и иже с нею я с вами отчасти согласна... Конечно, гуманитарные науки изучают системы гораздо более сложные, чем естественные и тем более физика...

Но может математика просто не занималась в достаточной степени этими вопросами? Долгое время она черпала задачи в физике, но найденные там закономерности совсем не обязаны описывать все сложные системы!

[arseniiv]

Выше, если вдруг это дополнение нужно, я хотел сказать, математические модели не подходят для описания ещё реже, чем не подходят для описания всё остальные (которые мы можем сейчас сделать). Подходить они при этом могут сколь угодно редко, но мы, люди, найдём в такой ситуации повод сказать об удивительной эффективности.

Anton_Peplov
Тоже примерно так понимаю плохую применимость математики к гуманитарным наукам на данное время. И как раз это та часть реальности, которая неохотно позволяет разделять факторы в экспериментах ((2)) и обеспечивать повторяемость ((1)), если мало накопить способов ужимания того количества информации в какие-то «правильные» статистические показатели (и здесь уже упоминавшийся человеческий/исторический фактор). И иногда вот хотим мы, скажем, банально сделать МРТ, а человек пугается (я каждый раз в какой-то степени пугаюсь, несмотря на знания и уверенность — и дополнительные беруши) и всю картину портит (я до сих пор не понял, как с этим справляются в исследованиях тонких психофизиологических эффектов).

provincialka
Угу, вполне возможно, и опыта недостаточно (в принципе, это в какой-то степени другими словами то же, что я написал только что). Хотя у математики современной, конечно, есть куча вещей, в возникновении которых физика не виновата. Вигнер даже пишет, что физики часто сами перевыдумывали понятия, и лишь потом брали из математики наиболее похожие. С учётом нераспространённости пока практического применения математики в других областях как-то не удивляет, что делающие это специалисты могут быть не вполне компетентны [ну, этим не удивишь, это везде есть, но т. к. их там мало, флуктуации сильно влияют] ещё часто не уверены, что им лучше брать.

-- Вт окт 06, 2015 23:19:37 --

Кстати, поздравляю нас! Мы, кажется, нашли определение естественной науки. Это такая наука, в которой математика на данный момент невероятно эффективна.

[provincialka]

arseniiv в сообщении #1059787 писал(а):

Кстати, поздравляю нас! Мы, кажется, нашли определение естественной науки. Это такая наука, в которой математика на данный момент невероятно эффективна.

А "неестественная" -- та, в которой математика, вероятно, неэффективна

[arseniiv]

(Оффтоп)

Хорошее отрицание!

[Anton_Peplov]

arseniiv в сообщении #1059787 писал(а):

Хотя у математики современной, конечно, есть куча вещей, в возникновении которых физика не виновата.

Еще меньше виновата в них психология.

arseniiv в сообщении #1059787 писал(а):

(я до сих пор не понял, как с этим справляются в исследованиях тонких психофизиологических эффектов)

Я думаю, просто отбраковывают. Тревогу и страх прекрасно видно по активности миндалевидного тела. К слову, травма этой части мозга, бывает, лишает человека упомянутых чувств.

provincialka в сообщении #1059796 писал(а):

А "неестественная" -- та, в которой математика, вероятно, неэффективна

А противоестественная?:)

[Xaositect]

Anton_Peplov в сообщении #1059829 писал(а):

provincialka в сообщении #1059796 писал(а):

А "неестественная" -- та, в которой математика, вероятно, неэффективна

А противоестественная?:)

А это та, которой применение математики вредит :)

[Munin]

provincialka в сообщении #1059780 писал(а):

Munin
Ну, понятно, что не только физика. Но все же, чем дальше в лес, тем больше дров чем ниже по вашему списку, тем математика менее эффективна.
У меня иногда возникает такой образ: система наук как вложенные оболочки. Внутри -- математика в виде некоего скелета или шарнирного механизма. На нее накладывается физика, потом химия, биология, другие естественные науки, лингвистика, гуманитарные науки...
И чем дальше, тем меньше детали это "организма" становятся похожими на его скелет. Примерно как в милой девушке совершенно не угадывается структура лучевых и тазовых костей или кишечного тракта :D

Это красивый образ, но мне кажется, он относится не ко всей математике, а только к "физической". Это, примерно, матанализ (включая тервер) + дифференциальные уравнения + линейная алгебра над $\mathbb{R},\mathbb{C},$ + смежные области (например, группы симметрий этих дифференциальных уравнений). Это всё, в каком-то смысле, "непрерывная математика".

provincialka в сообщении #1059780 писал(а):

Но может математика просто не занималась в достаточной степени этими вопросами? Долгое время она черпала задачи в физике, но найденные там закономерности совсем не обязаны описывать все сложные системы!

Я именно так думаю. Судя по тому, что я читал по истории науки, "математика" сама по себе - это не нечто определённое и фиксированное, а она просто вырастает по месту для тех задач, которые перед ней ставятся. Хотя, конечно, для этого нужна хорошая "затравка".

Например, математика для лингвистики - ну совсем не похожа на математику для физики.

Если говорить о "непрерывной" математике, то мне кажется, нужды многих наук покрывала бы не её противоположность - "дискретная" математика, а скорее, что-то типа "непрерывно-дискретной" математики. Объясню.

Допустим, мы изучаем экологию какого-то биологического вида. Мы описываем его численность дифференциальными уравнениями, и всё хорошо, но это задача слишком узкая для биологии. Для биолога естественен вопрос: а что если вид разделился на два (или хотя бы даже популяция разделилась на две), и дальше они начинают существовать независимо? Для математики это означает какую-то "перестройку" дифференциального уравнения, смену его состава и размерности. Это можно наложить как условие извне, но математическая модель "дифференциальное уравнение" не умеет порождать такие опции изнутри. А аналогичных ситуаций полно в истории-социологии, экономике, лингвистике.

Вот пример с другой стороны. Допустим, у нас есть какое-то дифференциальное уравнение, которое описывает волны в какой-то пространственной области. Пока эти волны малого размаха, это дифференциальное уравнение может быть линейным или малой нелинейности. Но допустим, эти нелинейные волны у нас растут, растут... и достигают некоторого "потолка" и "пола" очерченного диапазона. И дальше за него перейти не могут. Тогда поведение системы перестаёт быть колебаниями вокруг одной средней величины, а становится поведением двух или нескольких дискретных областей: в одной волны ушли "в потолок", в другой - "в пол". Это поведение может быть даже проще, чем первоначальная колебательная система, но в любом случае, оно идейно другое.

Эти два примера, мне кажется, описывают разные ситуации: в одном "дискретное управляет непрерывным", в другом "непрерывное управляет дискретным", но обе они важны, чтобы представить себе, какой математики не хватает.

-- 07.10.2015 00:02:27 --

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1059787 писал(а):

И иногда вот хотим мы, скажем, банально сделать МРТ, а человек пугается (я каждый раз в какой-то степени пугаюсь, несмотря на знания и уверенность — и дополнительные беруши) и всю картину портит (я до сих пор не понял, как с этим справляются в исследованиях тонких психофизиологических эффектов).

Что-то вспоминается анекдот на тему использования ФМРТ для исследования секса... не помню, в чём там соль, но завязка была именно на той ошибке селекции, что далеко не каждый полезет в МРТ для этого...

-- 07.10.2015 00:03:30 --

Xaositect в сообщении #1059831 писал(а):

Anton_Peplov в сообщении #1059829 писал(а):

provincialka в сообщении #1059796 писал(а):

А "неестественная" -- та, в которой математика, вероятно, неэффективна :D

А противоестественная?:)

А это та, которой применение математики вредит :)

А тогда я даже знаю несколько примеров :-)
Философия, искусствоведения там всякие...

[Anton_Peplov]

arseniiv в сообщении #1059775 писал(а):

И ведь никакого другого инструмента для объяснения природы мы больше не развивали!

Ну как же не развивали? Открываем любой советский учебник по философии на странице "виды познания" и восхищаемся: обыденное познание, философское познание, научное познание, мифологическое познание, религиозное познание, художественное познание... А уж сколько человеко-часов в любой из этих видов познания (или, если хотите, "познания") было вложено - не сосчитать. И, между прочим, в каждый - больше, чем в математику. Так что дело не в том, что человечество ничем, кроме математики, не занималось, а все-таки в том, что только математизированное познание обладает предсказательной силой.

[Yuri Gendelman]

arseniiv в сообщении #1059787 писал(а):

Кстати, поздравляю нас! Мы, кажется, нашли определение естественной науки. Это такая наука, в которой математика на данный момент невероятно эффективна.

Нечто подобное написал Кант лет двести назад:

Цитата:

В каждой естественной науке заключено столько истины, сколько в ней есть математики.