Алгебра в применении к видимому

[arseniiv]

Кстати, на эту тему тут даже была тема… А вот ключевых слов не вспомню, увы.

[provincialka]

Ну, я упоминала уже Мориса Кляйна. Мне понравилось. Там у него и очерк мнений разных ученых есть. К сожалению, у меня постоянно "слетает" комп, так что статьи под рукой нет. Но по мему "непостижимая эффективность математики" нагуглила соответствующую главу в его книге Математика. Поиск истины

[Anton_Peplov]

Спасибо, provincialka, прочитаю эту главу.

[Munin]

provincialka в сообщении #1059410 писал(а):

Ну, я упоминала уже Мориса Кляйна. Мне понравилось.

Некоторые на форуме уже упоминали, что Кляйн, увы, ни уха ни рыла.

А оригинальную статью "О непостижимой эффективности математики" накатал именно Вигнер. Помню её в УФН. Правда, я её так и не читал насквозь (по крайней мере, не помню).

[Anton_Peplov]

Спасибо, Munin. Скачал эту статью с сайта УФН. Почитаю.

[arseniiv]

(Вынудили меня на философию. Переписано два с половиной раза; кажущееся неправильным просьба сразу же комментировать.)

Глава, к сожалению, к середине-концу зацикливается, так и пройдя мимо нескольких вещей:
1) явного упоминания «совместности» всех получаемых результатов опытов;
2) возможности ставить опыты так, чтобы пренебречь не интересными в опыте вещами;
3) человеческого устройства, детали именно которого позволяют нам отделять возможные иллюзии от более-менее одинаково воспринимаемых вещей благодаря неединичному количеству и похожести людей.

Что мы можем рассматривать под эффективностью (особой; не свазянной с тем, что она даёт точный язык описания) математики в приложениях?
• Нельзя рассматривать в качестве эффективности математики уже готовый набор моделей вместе с известными для них хорошими оценками областей применимости, потому что они могли получиться и случайно, и оценки областей применимости тоже, т. к. нехорошие мы отбраковываем.
• Простоту мы тоже ищем сами.
• Можно рассматривать, как мы получаем со временем теории всё более и более применимые. К сожалению, очевидно, что если модель А входит в модель Б как частный случай, потенциально модель Б более применима, так что нам надо просто уметь делать обобщения. Здесь опять я не вижу никакого эффективного метода, а только отбор угодивших обобщений из всех приходящих в голову при данной истории (так мы учитываем то, что получилось аналогией с уже известным).
• Остаётся искать эффективность математики только с учётом конкретной человеческой истории, и делать только проверяемые будущим состоянием науки предположения, не имея права искать подтверждения в прошлом. Весьма скучно становится.

Более того, вообще математика в 1900 и математика в 2000 — это, грубо говоря, разные математики. В свете того, как мы живём, совершенно неудивительно, что математика-2000, если не было глобальных кризисов, будет не хуже в приложениях, чем математика-1900. И про эту относительную эффективность вряд ли можно спрашивать что-то интересное. К тому же, у нас есть больше, но у нас нет многого того, что хотелось бы иметь, хотя хотим мы многого из этого уже давно и пытаем долго — это совсем не о слове «эффективность». Похоже, эффективность математики — всего лишь cognitive bias, ЧЯДНТ?

P. S. Это можно ужать, но уже лень.

Почитаем Вигнера…

P. S. Как мне нравится Вигнер с первых страниц… Ага, вот и (1) он уже отметил — это обещающе.

P. P. S. И сразу же (2). Надеюсь, такими темпами он уложит в моей голове то, что я разворошил, когда, казалось бы, там нечего было ворошить in the first place.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1059451 писал(а):

Похоже, эффективность математики — всего лишь cognitive bias, ЧЯДНТ?

Мне тоже похоже на то, но ведь сначала её надо было заприметить, чтобы потом развенчать...

[zt09]

maximk в сообщении #1058552 писал(а):

По той же причине не получилось даже подобрать такой нейтральный элемент, чтобы выполнялась ассоциативность для какого-то закона композиции (этот закон также не нашел по той же простой причине, что нет возможности выполнить такую композицию дважды идентичным образом). В качестве такого нейтрального элемента пробовал рассматривать например человека (наивно и смешно?).

Проблема с математическими структурами состоит в том, что все они покоятся на "трех китах" - аксиомах классической логики. И первый кит - это как раз возможность тождества (которая по сути вытекает из возможности существования одинаковых элементов в мире классической логики). В реальности никаких аксиом нет, единственный исходный материал для построения реального мира - неопределенность, в которой нули и прочие Вычислимые запрещены. Именно поэтому никто и никогда не построит вычислимую модель реальности. Объяснимость Вселенной с помощью классической логики обманчива и имеет границы применимости относительно любого аспекта - времени, пространства, энергии. И бесконечностей никаких нет - все рано или поздно упрется в Неопределеность. С какой стороны не рассматривай реальность.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1059471 писал(а):

Мне тоже похоже на то, но ведь сначала её надо было заприметить

Ну, она доставляет удовольствие посвящённым. Вполне вероятно, что это может привести к попытке какой-то рационализации сверх меры. Успехи нейронаук, при этом, как раз начинаются в наше время, и раньше нечему было занять пустоту, заполняемую закономерно спекуляциями. Так что не очень уж странно, что успели заметить: физика, химия и биология более-менее просто устроенных вещей успели хорошенько обогнать н. и вызвать появление «откровения».

P. S.

(А теперь намешаем ещё кое-чего!)

Тут ещё можно навводить параллелей с некоторыми аспектами матлогики. Можно зафиксировать какую-то алгебраическую систему и рассматривать формулы в соответствующем языке. Из-за неё мы можем давать формулам значения истинности (и существование такой системы* и вообще применимость матлогики для этого примера будем считать моделью принципа (1)). Мы автоматически получаем, что следствия из истинной формулы будут истинными и т. п.. Только я не понимаю, что делать с набором операций и отношений, который у алгебраической системы фиксирован, и его элементам однозначно соответствуют символы в формулах: нам-то реальность никакого такого набора не показывает! OK, сделаем систему и формулы абстрактными, по которым мы не можем установить, какие там символы, и посчитаем, что всё остальное (истинность, логическое следствие, …) осталось тем же.

Теперь можно сравнивать множества, во-первых, следствий из данных конечных наборов формул и, во-вторых, истинных формул среди формул этих теорий. Соотношения между ними к интуиции соответствия моделей реальности друг с другом тоже не дадут, они достаточно безыскусны.

Интересно другое: вот есть у нас набор следствий каких-то формул, непротиворечивый с точки зрения выводимости, но имеющий ложные формулы. Тогда какая-то из аксиом ложна. В физических теориях с конечной областью применимости аналогом такой формулы может быть как какой-то несуществующий набор начальных условий, так и ограниченно применимый исходный постулат. Хотелось бы сформулировать какое-то утверждение насчёт способов «исправления» аксиом так, чтобы множество ложных формул поубавилось (отдельно: множество истинных поприбавилось, но это касается и собственно теорий = наборов истинных формул, замкнутых относительно выводимости, и в нашем случае это даже конечно аксиоматизируемые теории). На данном уровне абстракции ничего сказать нельзя, потому что мы не знаем о внутренней структуре формул по условию, лучшей замены которому я пока не вижу из-за беспощадности вопроса вообще. Наверняка матлогики хоть иногда задумывались о притягивании своего дела подобным образом.

* Вообще мы можем взять не одну систему, а целое множество систем, в которых истинен фиксированный набор формул, изображающий экспериментальные данные, и при исследовании истинности новой формулы мы будем выбирать истинным её или её отрицание таким образом, чтобы хоть одна модель выбранной формулы (система, где эта формула истинна) существовала, и сужать множество принимаемых теперь за реальность алг. систем (а к «фактам» добавлять ту из формулы/её отрицания, которой выпало (или было предопределено) быть истинной). В таком изображении мы можем в конечном итоге остаться как с одной алгебраической системой, так и иметь всегда сколько-то неразличимых. Выберем тогда любую из них.

[Anton_Peplov]

Прочитал упомянутую главу Клайна.

Итак, если выжать из нее воду и обширные цитирования, призванные показать, что автор не сам это придумал, останется следующее.

Существуют два объяснения эффективности математики в объяснении и предсказании опыта:

1. Математика объективно лежит в основе законов, которым подчиняются неодушевленные предметы (одушевленные от греха оставим в покое, чтобы не ввязываться в спор о редукционизме, свободе воли и тому подобных эмпириях). Вопрос о границах применимости теорий здесь второстепенен: раньше мы думали, что физическая величина – это число, а процесс – это функция, теперь мы знаем, что физическая величина – это эрмитов оператор, а результат измерения – собственное значение этого оператора, но и то и другое – математика.
2. Наш разум без ведома сознания структурирует опыт так, чтобы он объяснялся и предсказывался математически. Учитывая, что физика ныне может предсказать почти все в повседневном поведении неодушевленных предметов (почти – потому что есть проблема с хаотическими системами: не предскажешь погоду на три недели вперед или, скажем, в какую сторону будет вращаться вода в конвективной ячейке, которая возникнет – но еще не возникла – в данной точке кастрюли), мы сваливаемся прямо к точке зрения Канта: «все закономерности в наш опыт внесены разумом». То есть – то, что вода принимает форму сосуда, газ заполняет весь его объем, а твердое тело на перемену сосуда не реагирует – это нам кажется, потому что разум так упорядочивает наши чувства. То, что пробка плавает по поверхности воды, а гвоздь тонет – это тоже нам кажется, потому что разум так упорядочивает наши чувства. И т.д.

И, разумеется, нет никакой возможности рационально обосновать выбор между этими двумя вариантами.

Зачем ради этой банальности было исписывать сорок тысяч знаков – ведомо лишь Моррису Клайну. Впрочем, издатели ведь платят за количество страниц, а не идей.

-- 06.10.2015, 18:18 --

arseniiv в сообщении #1059451 писал(а):

Что мы можем рассматривать под эффективностью (особой; не связанной с тем, что она даёт точный язык описания) математики в приложениях?

Уважаемый arseniiv, кажется, смешал два вопроса: что такое эффективность и как мы можем ее измерять. Дальше он, насколько я могу судить, пишет о том, как мы можем (точнее не можем) ее измерять, но, поскольку мне не понятно, что именно он предлагает измерять, мне непонятно и все дальнейшее.

[arseniiv]

Возможно, смешал. Просто, так как нам интересно что-то измерить, можно, в принципе, определить эффективность как хоть что-то, что мы измерить можем, при этом согласующееся с интуитивным представлением об этой самой эффективности. А вроде ничего и не можем. Но это из согласующегося с моими представлениями, так что…

Anton_Peplov в сообщении #1059655 писал(а):

Зачем ради этой банальности было исписывать сорок тысяч знаков – ведомо лишь Моррису Клайну. Впрочем, издатели ведь платят за количество страниц, а не идей.

Почитайте теперь Вигнера.

[Anton_Peplov]

arseniiv в сообщении #1059681 писал(а):

Но это из согласующегося с моими представлениями, так что…

Вот я этих Ваших представлений и не понимаю. А хотел бы понять, чтобы понять, с чем Вы спорите. Что понимает под эффективностью математики Клайн, мне ясно. Он говорит, что:
1) можно, усвоив разумное количество текстов, вмещающееся в несколько лет образования, научиться предсказывать результаты широкого (потенциально - бесконечного) множества очень разнообразных опытов.
2) что особенно удивительно, математические модели порой подходят для предсказания явлений, о существовании которых создатели моделей не подозревали, как Галуа, выдумавший группы в связи с теорий чисел, едва ли мог помыслить о физике элементарных частиц.
Вам что-то не нравится в этих двух утверждениях Клайна? Или Вы принимаете их и пытаетесь идти дальше? И если так, то в какую сторону?

[Munin]

Anton_Peplov в сообщении #1059655 писал(а):

То есть – то, что вода принимает форму сосуда, газ заполняет весь его объем, а твердое тело на перемену сосуда не реагирует – это нам кажется, потому что разум так упорядочивает наши чувства.

Ну, это, простите, чушь. Это нам не кажется, а в самом деле так и есть.

От нашего разума здесь - выделять неким образом границу твёрдого тела или жидкости; вообще, задавать вопрос, а как поведут себя те или иные тела в тех или иных сосудах. Но раз уж задали - получайте ответ, который объективен.

Anton_Peplov в сообщении #1059655 писал(а):

И, разумеется, нет никакой возможности рационально обосновать выбор между этими двумя вариантами.

Ложная дихотомия. Если её проповедует Клейн - я невысокого мнения о его интеллекте.

[arseniiv]

Anton_Peplov
Да, можно сказать, что принимаю как импликации из нескольких неявных предположений, которые считаю в общем случае неверными.

Anton_Peplov в сообщении #1059699 писал(а):

1) можно, усвоив разумное количество текстов, вмещающееся в несколько лет образования, научиться предсказывать результаты широкого (потенциально - бесконечного) множества очень разнообразных опытов.

Э нет, потенциально бесконечного не получится, потому что надо добавлять дополнительные знания. Простой пример: механика Ньютона. Если мы не знаем, какие бывают силы, мы не сможем посчитать ничего, даже знай начальные условия. Начальные условия, так уж и быть, отцепим, как это обычно делается. Хотя это деление на законы природы и начальные условия более-менее условно.

Anton_Peplov в сообщении #1059699 писал(а):

2) что особенно удивительно, математические модели порой подходят для предсказания явлений, о существовании которых создатели моделей не подозревали, как Галуа, выдумавший группы в связи с теорий чисел, едва ли мог помыслить о физике элементарных частиц.

Вот тут, по-моему, недостаток ясности в утверждении. Насколько «порой» значимо? Насколько часто математические модели не подходят для предсказания <…>? Потому я и писал про cognitive bias — тут надо применить теорвер аккуратно, потому что неудивительно, что в случае равномерного распределения чисел на $[0;1]$, выбрав несколько сотен мы практически точно наткнёмся на несколько единиц.

P. S. Да, мне у Клейна тоже не понравилось, что он чуть ли (хотя явно не говоря) абсолютизирует влияние нашего восприятия на то, что мы видим. Мы не можем воспринимать вообще что угодно, как раз в том, что мы воспринимаем не что угодно, а что-то согласованное, несмотря на наблюдателей, и есть многократно упоминавшийся принцип (1), но он не относится к математике напрямую, он просто даёт нам выделять какие-то законы и по ним что-нибудь предсказывать. При этом в донаучной истории человечества подобных законов разной степени точности были найдены горы. Разве что они, кроме не такой большой точности (в то время просто неулучшаемой), были ещё и не очень систематическими. То, что математическая точность позволяет их улучшить в первом — вклад принципа (2) — ибо может статься, что мы не могли бы отделить влияния кучи разных факторов в эксперименте друг от друга. А то, что математика позволяет порой свести найденные законы в систему, может быть следствием нашего упорства. Как-то так.

-- Вт окт 06, 2015 21:45:26 --

Вот интересно, кто-нибудь может прокомментировать мой матлогический набор слов чуть выше?

[Anton_Peplov]

Munin в сообщении #1059709 писал(а):

Ну, это, простите, чушь. Это нам не кажется, а в самом деле так и есть.

Я с Вами солидарен. А вот Кант со мной и с Вами - нет. Ну и пусть его, Канта.