Задачи на понимание

[Nemiroff]

Anton_Peplov в сообщении #1058572 писал(а):

Было бы еще более очаровательно, если бы Вы взамен предложили свои задачи.

Это да , но видимо не судьба. Я как-то не знаю, как можно понимание в чём-то так взять просто и проверить.

Anton_Peplov в сообщении #1058572 писал(а):

"Доказать не получается, попробую-ка я опровергнуть. Поищем контрпримеры. Ясно, что если одно из слагаемых в левой части уже больше правой, то и от возведения в квадрат ничего не изменится. Поищем-ка примеры, когда оба слагаемых в левой части сами по себе меньше правой, но в сумме больше или равны. О! Нашел!"

Если "доказать не получается", то ещё нужна часть про "как я пытался доказать и не доказал".
Ну то есть хорошо, когда человек интуитивно понимает, что неравенство треугольника необходимо, а именно тут его нет. Что квадрат суммы не равен сумме квадратов, а потому всё сломано. Но вот если бы можно было это интуитивное понимание проверить способом, который не позволял бы прямого "тупого" вычисления, было бы замечательно.

Munin в сообщении #1058555 писал(а):

Для меня это верно, но я не знаю, может, кто-то именно так и думает.

Мне кажется какая-то интуиция всё равно есть. То бишь, может быть мысль вида "тут очевидно неравенство треугольника не выполняется, потому что квадрат, ла-ла, какой-то пример точно есть", но вот чтоб сразу начать с контрпримера.

(Оффтоп)

Дана модель $\langle \mathbb{N}; \vdots \rangle$, где "$a \vdots b$" есть предикат "$a$ кратно $b$". Выразимы ли в такой модели предикаты $x=0$, $x=1$, $x=2$? А то что мы всё про матан да про теорвер.

[Munin]

Anton_Peplov в сообщении #1058623 писал(а):

Ага, за счет невежества в точных науках:)

Не берусь оценить по всем. Но по некоторым разделам математики вы меня тоже обгоняете, что и было показано.

По поводу выпуклых функций: выпуклыми вверх часто называют такие, что $f''(x)<0.$ Это естественно приводит к тем же интегральным свойствам, на интервале, на котором вторую производную можно дважды проинтегрировать. А вот если нет - тогда формулировать труднее, и над этим обычно не заморачиваются.

-- 03.10.2015 01:10:58 --

Nemiroff в сообщении #1058662 писал(а):

Мне кажется какая-то интуиция всё равно есть. То бишь, может быть мысль вида "тут очевидно неравенство треугольника не выполняется, потому что квадрат, ла-ла, какой-то пример точно есть", но вот чтоб сразу начать с контрпримера.

У меня мысль была вида "построим $f(\rho_1)+f(\rho_2),$ и сравним с $f(\rho_1+\rho_2)$". После чего я обнаружил, что $(\sqrt{\rho_1}+\sqrt{\rho_2})^2$ выше плоскости, а $\sqrt{\rho_1^2+\rho_2^2}$ - ниже неё.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Nemiroff в сообщении #1058662 писал(а):

Дана модель $\langle \mathbb{N}; \vdots \rangle$, где "$a \vdots b$" есть предикат "$a$ кратно $b$". Выразимы ли в такой модели предикаты $x=0$, $x=1$, $x=2$?

Так, с 0 и 1 понятно моментально (только ноль кратен всему; только единица кратна себе, но не есть ноль). По идее, 2 никак, но забыл, как доказывать невыразимость. А! Мы можем поменять два любых простых числа местами во всех разложениях на множители, и под действием таких преобразований ни для одного числа $n$, выразимое таким образом, не имеющее у простых в разложении всех одинаковых степеней (а это только 1), предикат $x=n$ выразим не может быть. Что ж, что-то есть в задаче.

[Nemiroff]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1058667 писал(а):

только единица кратна себе, но не есть ноль

Любое число кратно себе. "$a$ кратно $b$ " --- это значит есть такое число $c$, что $bc=a$.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Ой. Чего это я так… Тогда надо «существует единственный $y$, не кратный $x$» или «$y$ кратно $x$ влечёт $y = 0$», где последнее уже выражено.

Стоп, я какую-то чепуху пишу. Сейчас соберусь с мыслями.

[Anton_Peplov]

Господа, а почему вы считаете, что это оффтоп? Это вполне в русле, я же еще в стартовом посте призывал предлагать свои задачи. Снимайте тег, пусть Гюльчатай откроет личико.

[arseniiv]

Не могу, там следы моего позора.

P. S. А, ну Диэдр, всё же просто. Только единица кратна только себе.

[Nemiroff]

arseniiv в сообщении #1058671 писал(а):

«существует единственный $y$, не кратный $x$»

Это вот точно не единица. Потому что нуль кратен единице.

arseniiv в сообщении #1058671 писал(а):

«$y$ кратно $x$ влечёт $y = 0$»

А это нуль. Потому что никакое другое число ему точно не кратно, а сам нуль, как вы уже сказали "кратен всему".

-- Сб окт 03, 2015 01:36:43 --

arseniiv в сообщении #1058674 писал(а):

Только единица кратна только себе.

Ну тогда давайте равенство.

[arseniiv]

Чего равенство? Формулу? $\forall y.\,(x\mathrel{\raisebox{-1.5}{\vdots}}y \to x = y)$.

[Nemiroff]

arseniiv в сообщении #1058679 писал(а):

Чего равенство? Формулу? $\forall y.\,(x\mathrel{\raisebox{-1.5}{\vdots}}y \to x = y)$.

Во-первых, это неправда, потому что опять же нуль кратен любом числу. Во-вторых, вы описали не предикат, а связь между двумя предикатами. А равенства у меня в модели не было.

[arseniiv]

Nemiroff в сообщении #1058681 писал(а):

потому что опять же нуль кратен любом числу

Ой, я сначала сделал $\leftrightarrow$, а потом почему-то ослабил.

Nemiroff в сообщении #1058681 писал(а):

Во-вторых, вы описали не предикат, а связь между двумя предикатами.

Вот это не понял. Предикат ведь это вообще не формула, а подмножество в данном случае $\mathbb N$. Выразимость предиката означает, что какая-нибудь формула истина тогда и только тогда, когда значение в данном случае одной её свободной переменной принадлежит предикату.

Nemiroff в сообщении #1058681 писал(а):

А равенства у меня в модели не было.

А-а-а. Ясно. И ужасно, потому что равенство тут не выразимо ввиду того, что я выше говорил про обмен простых. Теперь надо доказывать, что единицу нельзя.

[Nemiroff]

Да ладно вам, почему равенство невыразимо? Обмен простых понятно --- но если вы простые поменяете, равенство между двумя числами же не изменится, просто сами числа будут другие, ну и что.

[arseniiv]

А. Что-то я сегодня особенно невнимателен. Подумаю.

-- Сб окт 03, 2015 05:05:19 --

Я забыл про экстенсиональность, какой бессовестный. $\forall s\forall t.\,((s\mathrel{\raisebox{-1.5}{\vdots}}x \leftrightarrow s\mathrel{\raisebox{-1.5}{\vdots}}y) \wedge (x\mathrel{\raisebox{-1.5}{\vdots}}t \leftrightarrow y\mathrel{\raisebox{-1.5}{\vdots}}t))$ выражает $x = y$.

-- Сб окт 03, 2015 05:07:23 --

Хотя маленько перебор. Хватит и правой половины конъюнкции.

-- Сб окт 03, 2015 05:10:14 --

Итого, $\forall y.\,(x\mathrel{\raisebox{-1.5}{\vdots}}y \leftrightarrow \forall s\forall t.\,(x\mathrel{\raisebox{-1.5}{\vdots}}t \leftrightarrow y\mathrel{\raisebox{-1.5}{\vdots}}t))$ выражает $x = 1$. Лепо?

[Nemiroff]

arseniiv в сообщении #1058701 писал(а):

Итого, $\forall y.\,(x\mathrel{\raisebox{-1.5}{\vdots}}y \leftrightarrow \forall s\forall t.\,(x\mathrel{\raisebox{-1.5}{\vdots}}t \leftrightarrow y\mathrel{\raisebox{-1.5}{\vdots}}t))$

Во-первых, выкидываем $s$ (просто для красоты). Во-вторых, лепо. В третьих, предикат равенства выражается как $a\mathrel{\raisebox{-1.5}{\vdots}}b \wedge b\mathrel{\raisebox{-1.5}{\vdots}}a$, а характерное свойство единицы: ей кратны все числа, потому $\forall y\; y\mathrel{\raisebox{-1.5}{\vdots}}x$.

[Munin]

Nemiroff в сообщении #1058662 писал(а):

Дана модель $\langle \mathbb{N}; \vdots \rangle$, где "$a \vdots b$" есть предикат "$a$ кратно $b$". Выразимы ли в такой модели предикаты $x=0$, $x=1$, $x=2$? А то что мы всё про матан да про теорвер. :mrgreen:

Не знаю, что это такое, и вообще абсолютно ничего не понимаю, ни в этой задаче, ни в вашем разговоре. Даже не знаю, какой это раздел математики, и под каким названием изучается.