2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.
 
 Re: Задачи на понимание
Сообщение03.10.2015, 00:49 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Anton_Peplov в сообщении #1058572 писал(а):
Было бы еще более очаровательно, если бы Вы взамен предложили свои задачи.
Это да :lol: , но видимо не судьба. Я как-то не знаю, как можно понимание в чём-то так взять просто и проверить.
Anton_Peplov в сообщении #1058572 писал(а):
"Доказать не получается, попробую-ка я опровергнуть. Поищем контрпримеры. Ясно, что если одно из слагаемых в левой части уже больше правой, то и от возведения в квадрат ничего не изменится. Поищем-ка примеры, когда оба слагаемых в левой части сами по себе меньше правой, но в сумме больше или равны. О! Нашел!"
Если "доказать не получается", то ещё нужна часть про "как я пытался доказать и не доказал".
Ну то есть хорошо, когда человек интуитивно понимает, что неравенство треугольника необходимо, а именно тут его нет. Что квадрат суммы не равен сумме квадратов, а потому всё сломано. Но вот если бы можно было это интуитивное понимание проверить способом, который не позволял бы прямого "тупого" вычисления, было бы замечательно.

Munin в сообщении #1058555 писал(а):
Для меня это верно, но я не знаю, может, кто-то именно так и думает.
Мне кажется какая-то интуиция всё равно есть. То бишь, может быть мысль вида "тут очевидно неравенство треугольника не выполняется, потому что квадрат, ла-ла, какой-то пример точно есть", но вот чтоб сразу начать с контрпримера.

(Оффтоп)

Дана модель $\langle \mathbb{N}; \vdots \rangle$, где "$a \vdots b$" есть предикат "$a$ кратно $b$". Выразимы ли в такой модели предикаты $x=0$, $x=1$, $x=2$? А то что мы всё про матан да про теорвер. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на понимание
Сообщение03.10.2015, 01:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Anton_Peplov в сообщении #1058623 писал(а):
Ага, за счет невежества в точных науках:)

Не берусь оценить по всем. Но по некоторым разделам математики вы меня тоже обгоняете, что и было показано.

По поводу выпуклых функций: выпуклыми вверх часто называют такие, что $f''(x)<0.$ Это естественно приводит к тем же интегральным свойствам, на интервале, на котором вторую производную можно дважды проинтегрировать. А вот если нет - тогда формулировать труднее, и над этим обычно не заморачиваются.

-- 03.10.2015 01:10:58 --

Nemiroff в сообщении #1058662 писал(а):
Мне кажется какая-то интуиция всё равно есть. То бишь, может быть мысль вида "тут очевидно неравенство треугольника не выполняется, потому что квадрат, ла-ла, какой-то пример точно есть", но вот чтоб сразу начать с контрпримера.

У меня мысль была вида "построим $f(\rho_1)+f(\rho_2),$ и сравним с $f(\rho_1+\rho_2)$". После чего я обнаружил, что $(\sqrt{\rho_1}+\sqrt{\rho_2})^2$ выше плоскости, а $\sqrt{\rho_1^2+\rho_2^2}$ - ниже неё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на понимание
Сообщение03.10.2015, 01:16 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

Nemiroff в сообщении #1058662 писал(а):
Дана модель $\langle \mathbb{N}; \vdots \rangle$, где "$a \vdots b$" есть предикат "$a$ кратно $b$". Выразимы ли в такой модели предикаты $x=0$, $x=1$, $x=2$?
Так, с 0 и 1 понятно моментально (только ноль кратен всему; только единица кратна себе, но не есть ноль). По идее, 2 никак, но забыл, как доказывать невыразимость. А! Мы можем поменять два любых простых числа местами во всех разложениях на множители, и под действием таких преобразований ни для одного числа $n$, выразимое таким образом, не имеющее у простых в разложении всех одинаковых степеней (а это только 1), предикат $x=n$ выразим не может быть. Что ж, что-то есть в задаче.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на понимание
Сообщение03.10.2015, 01:23 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1058667 писал(а):
только единица кратна себе, но не есть ноль
Любое число кратно себе. "$a$ кратно $b$ " --- это значит есть такое число $c$, что $bc=a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на понимание
Сообщение03.10.2015, 01:27 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

Ой. Чего это я так… Тогда надо «существует единственный $y$, не кратный $x$» или «$y$ кратно $x$ влечёт $y = 0$», где последнее уже выражено.

Стоп, я какую-то чепуху пишу. Сейчас соберусь с мыслями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на понимание
Сообщение03.10.2015, 01:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8976
Господа, а почему вы считаете, что это оффтоп? Это вполне в русле, я же еще в стартовом посте призывал предлагать свои задачи. Снимайте тег, пусть Гюльчатай откроет личико.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на понимание
Сообщение03.10.2015, 01:30 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Не могу, там следы моего позора. :lol:

P. S. А, ну Диэдр, всё же просто. Только единица кратна только себе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на понимание
Сообщение03.10.2015, 01:30 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
arseniiv в сообщении #1058671 писал(а):
«существует единственный $y$, не кратный $x$»
Это вот точно не единица. Потому что нуль кратен единице.
arseniiv в сообщении #1058671 писал(а):
«$y$ кратно $x$ влечёт $y = 0$»
А это нуль. Потому что никакое другое число ему точно не кратно, а сам нуль, как вы уже сказали "кратен всему".

-- Сб окт 03, 2015 01:36:43 --

arseniiv в сообщении #1058674 писал(а):
Только единица кратна только себе.
Ну тогда давайте равенство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на понимание
Сообщение03.10.2015, 01:41 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Чего равенство? Формулу? $\forall y.\,(x\mathrel{\raisebox{-1.5}{\vdots}}y \to x = y)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на понимание
Сообщение03.10.2015, 01:43 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
arseniiv в сообщении #1058679 писал(а):
Чего равенство? Формулу? $\forall y.\,(x\mathrel{\raisebox{-1.5}{\vdots}}y \to x = y)$.
Во-первых, это неправда, потому что опять же нуль кратен любом числу. Во-вторых, вы описали не предикат, а связь между двумя предикатами. А равенства у меня в модели не было.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на понимание
Сообщение03.10.2015, 01:49 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Nemiroff в сообщении #1058681 писал(а):
потому что опять же нуль кратен любом числу
Ой, я сначала сделал $\leftrightarrow$, а потом почему-то ослабил.

Nemiroff в сообщении #1058681 писал(а):
Во-вторых, вы описали не предикат, а связь между двумя предикатами.
Вот это не понял. Предикат ведь это вообще не формула, а подмножество в данном случае $\mathbb N$. Выразимость предиката означает, что какая-нибудь формула истина тогда и только тогда, когда значение в данном случае одной её свободной переменной принадлежит предикату.

Nemiroff в сообщении #1058681 писал(а):
А равенства у меня в модели не было.
А-а-а. Ясно. И ужасно, потому что равенство тут не выразимо ввиду того, что я выше говорил про обмен простых. Теперь надо доказывать, что единицу нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на понимание
Сообщение03.10.2015, 01:53 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Да ладно вам, почему равенство невыразимо? Обмен простых понятно --- но если вы простые поменяете, равенство между двумя числами же не изменится, просто сами числа будут другие, ну и что.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на понимание
Сообщение03.10.2015, 02:57 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
А. Что-то я сегодня особенно невнимателен. Подумаю.

-- Сб окт 03, 2015 05:05:19 --

Я забыл про экстенсиональность, какой бессовестный. $\forall s\forall t.\,((s\mathrel{\raisebox{-1.5}{\vdots}}x \leftrightarrow s\mathrel{\raisebox{-1.5}{\vdots}}y) \wedge (x\mathrel{\raisebox{-1.5}{\vdots}}t \leftrightarrow y\mathrel{\raisebox{-1.5}{\vdots}}t))$ выражает $x = y$.

-- Сб окт 03, 2015 05:07:23 --

Хотя маленько перебор. Хватит и правой половины конъюнкции.

-- Сб окт 03, 2015 05:10:14 --

Итого, $\forall y.\,(x\mathrel{\raisebox{-1.5}{\vdots}}y \leftrightarrow \forall s\forall t.\,(x\mathrel{\raisebox{-1.5}{\vdots}}t \leftrightarrow y\mathrel{\raisebox{-1.5}{\vdots}}t))$ выражает $x = 1$. Лепо? :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на понимание
Сообщение03.10.2015, 14:48 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
arseniiv в сообщении #1058701 писал(а):
Итого, $\forall y.\,(x\mathrel{\raisebox{-1.5}{\vdots}}y \leftrightarrow \forall s\forall t.\,(x\mathrel{\raisebox{-1.5}{\vdots}}t \leftrightarrow y\mathrel{\raisebox{-1.5}{\vdots}}t))$
Во-первых, выкидываем $s$ (просто для красоты). Во-вторых, лепо. В третьих, предикат равенства выражается как $a\mathrel{\raisebox{-1.5}{\vdots}}b \wedge b\mathrel{\raisebox{-1.5}{\vdots}}a$, а характерное свойство единицы: ей кратны все числа, потому $\forall y\; y\mathrel{\raisebox{-1.5}{\vdots}}x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на понимание
Сообщение03.10.2015, 15:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Nemiroff в сообщении #1058662 писал(а):
Дана модель $\langle \mathbb{N}; \vdots \rangle$, где "$a \vdots b$" есть предикат "$a$ кратно $b$". Выразимы ли в такой модели предикаты $x=0$, $x=1$, $x=2$? А то что мы всё про матан да про теорвер. :mrgreen:

Не знаю, что это такое, и вообще абсолютно ничего не понимаю, ни в этой задаче, ни в вашем разговоре. Даже не знаю, какой это раздел математики, и под каким названием изучается.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 113 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group