Задачи на понимание

[grizzly]

Red_Herring в сообщении #1058472 писал(а):

Нули, но разные! Это круто…

Понял, что Вы с таким пониманием шансов не согласны. А нули у невозможных событий от обычных нулей шансы способны отличить? (Это для случая, когда плотность на части множества нулевая.)

PS. Это не троллинг. Я спрашиваю Вашу точку зрения, чтобы попытаться сделать её своей -- я Вам больше доверяю.

[provincialka]

Anton_Peplov в сообщении #1058477 писал(а):

Вы сами об этом говорите

Говорю! Но не соображу, как сказать четко, но кратко... Примерно так: "Запишите каждое высказывание в виде верного утверждения, в котором множества $A$ и $B$ упоминаются по одному разу"? Хм... Саму эту фразу надо еще понять ...

Конечно, если задавать такую задачу устно, то студенты понимают, что требуется... И даже иногда решают

[Red_Herring]

grizzly в сообщении #1058479 писал(а):

А нули у невозможных событий от обычных нулей шансы способны отличить? (Это для случая, когда плотность на части множества нулевая.)

А зачем их отличать? Нас интересует ответ: чему равна вероятность.

Если говорить о вероятности, то я абсолютный сторонник того, чтобы понимать условия буквально (а то от фриков отбоя не будет).

Да, кстати, если говорить об области в евклидовом пространстве (или вообще любом множестве где есть "естественная" мера) вторая мера может быть атомарной (дискретная вероятность), абсолютно непрерывной (та, которая и называется непрерывной в обычных курсах) и сингулярной непрерывной (ну и, конечно, смесью всех).

[Anton_Peplov]

provincialka в сообщении #1058480 писал(а):

Но не соображу, как сказать четко, но кратко...

Давайте поставим задачу не так абстрактно. Например:
В группе студентов 25 человек. Пусть $A$ - множество студентов, любящих манную кашу и $B$ - множество студентов, любящих преподавателя философии. О множествах $A$ и $B$ известно, что:

provincialka в сообщении #1058474 писал(а):

а) $A\cup B =A$;
б) $A\setminus B =A$;
в) $A\setminus B =B$.

Сколько студентов любят манную кашу и сколько - преподавателя философии?

[provincialka]

Нет... ну "сколько" в смысле числа можно ответить только в п. в)...
Думаю, если решает студент, ему все эти навороты не нужны! Он и не подумает интерпретировать задачу как-то "криво"!

[Legioner93]

Anton_Peplov в сообщении #1058352 писал(а):

Задача 2. Доказать или опровергнуть, что для любой метрики $\rho(x,y)$ верны утверждения:
1) $\rho^2(x,y)$ - метрика.
2) $\sqrt{\rho(x,y)}$ - метрика.
3)$\rho(x,y) + 1$ - метрика.

Кому интересно, можете обобщить. Итак, находимся в классе функций, таких что
$f(0) = 0$
$f(t>0) > 0$
Интересуемся, когда $f(\rho(x,y))$ является метрикой для любой метрики $\rho(x,y)$

а) Достаточное условие: Выпуклость вверх. Получаем пункт 2)

б) В обратную сторону утверждение "почти верно" (контрпример есть, но крайне монструозный), а именно верно например такое более слабое утверждение: ЕСЛИ $f$ дифференцируема, ТО необходимо выполняется $|f'(t)|\leq|f'(0)|$. По этому необходимому условию пункт 1) как раз и не проходит.

[venco]

provincialka в сообщении #1058480 писал(а):

Запишите каждое высказывание в виде верного утверждения, в котором множества $A$ и $B$ упоминаются по одному разу

$C=A \Rightarrow C\cup B=C$

[provincialka]

venco
Ну вот! Я так и думала! Найдется к чему придраться...

А задачки-то неплохие, жалко их терять!

[Anton_Peplov]

provincialka в сообщении #1058491 писал(а):

Нет... ну "сколько" в смысле числа можно ответить только в п. в)...

Ах, так у Вас это разные подзадачи? А я думал, что условия выполняются одновременно (тогда оба множества пусты).

[grizzly]

Red_Herring в сообщении #1058487 писал(а):

А зачем их отличать? Нас интересует ответ: чему равна вероятность.

Да, Вы и здесь правы. Ладно, теперь подписываю безоговорочную капитуляцию

[arseniiv]

Задачи ТС неплохие. Что бы добавить… Рискнём:

Задача А1. Двоичное дерево высоты $h$ из $a$ вершин обнаружило, что один из его листьев стал корнем другого двоичного дерева высоты $h'$ из $a'$ (включая этот лист) вершин. Какова теперь может быть высота нового дерева?

Тут тоже критика приветствуется. (Нумерацию на всякий случай сквозную не беру.)

[Anton_Peplov]

Legioner93 в сообщении #1058492 писал(а):

Достаточное условие: Выпуклость вверх

Нагуглил, что такое выпуклая вверх функция (кстати, в каком учебнике про это по-человечески почитать можно?). Сказано, что функция выпукла вверх, если для любых $x_1, x_2$ выполняется $f(\frac{x_1 + x_2}{2})\geqslant \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$. Что-то тут не то. Нам нужно, чтобы функция $f(x)$ сохраняла неравенство треугольника, то есть если $x_1 + x_2 \geqslant x_3$, то $f(x_1) + f(x_2) \geqslant f(x_3)$. Для этого достаточно, чтобы, во-первых, если $x_1 + x_2 \geqslant x_3$, то $f(x_1 + x_2) \geqslant f(x_3)$ (такому условию удовлетворяет любая неубывающая функция), а во-вторых, $f(x_1) + f(x_2) \geqslant f(x_1 + x_2)$, а не наоборот. Так что тут скорее интересна функция, выпуклая вниз, для которой $f(\frac{x_1 + x_2}{2})\leqslant\frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$ (если я нигде не ошибся со знаком в неравенствах). И потом, вот этот знаменатель $2$ меня смущает. Я не вижу, как из $f(\frac{x_1 + x_2}{2})\leqslant\frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$ следует, что $f(x_1 + x_2)\leqslant f(x_1) + f(x_2)$. Скорее всего, никак, в аргумент функции никаким законным преобразованием не залезешь.

[Munin]

Anton_Peplov в сообщении #1058441 писал(а):

Для второй задачи - просто вспомните аксиомы метрики.

Вспомнить вспомнил, хотя и с трудом. Но дальше пришлось считать, а вы сказали, "с полтычка" и "на расчёты запрет".
В итоге, у меня получилось, что

Anton_Peplov в сообщении #1058352 писал(а):

1) $\rho^2(x,y)$ - метрика.
2) $\sqrt{\rho(x,y)}$ - метрика.
3)$\rho(x,y) + 1$ - метрика.

2 проходит, 1 и 3 не проходит.

Anton_Peplov в сообщении #1058441 писал(а):

Насчет железной локальности я, возможно, действительно переборщил. Пример функции, непрерывной и дифференцируемой только в одной точке, привести не так просто. Мне эти примеры известны и, наверное, поэтому кажутся очевидными.

Мне эти примеры не известны, но я помню, что когда-то их видел и даже строил. Но это было настолько давно, что "с полтычка" ну никак не получается.

-- 02.10.2015 18:40:53 --

grizzly в сообщении #1058479 писал(а):

Понял, что Вы с таким пониманием шансов не согласны. А нули у невозможных событий от обычных нулей шансы способны отличить? (Это для случая, когда плотность на части множества нулевая.)
PS. Это не троллинг.

Возможно, ваши мысли направлены куда-нибудь в сторону нестандартного анализа?

[Anton_Peplov]

Munin в сообщении #1058525 писал(а):

Но дальше пришлось считать, а вы сказали, "с полтычка" и "на расчёты запрет".

1)$\rho^2(x,y)$ - не обязательно метрика. Контрпример: пусть $\rho(x,y) = \rho(y,z) = 1$ и $\rho(x,z) = 2$. Тогда $\rho^2(x,y)$ не сохраняет неравенство треугольника, ибо $\rho^2(x,y) + \rho^2(y,z) < \rho^2(x,z)$.
2)$\sqrt{\rho(x,y)}$ - метрика. Достаточно доказать, что из неравенства $\rho(x,y) + \rho(y,z) \geqslant \rho(x,z)$ следует, что $\sqrt{\rho(x,y)} + \sqrt{\rho(y,z)} \geqslant \sqrt{\rho(x,z)}$. Для этого достаточно показать, что $\sqrt{a} + \sqrt{b} \geqslant \sqrt{a+b}$. Последнее неравенство доказывается возведением обеих частей в квадрат.
Если пункты 1) и 2) не подходят под формулировку "с полтычка", я готов признать, что погорячился, и снять эти задачи.
3) опровергается просто тем, что при $x = y$ метрика от $(x,y)$ должна быть равна нулю, что в данном случае не выполнено.

[Nemiroff]

Мне и задачи из цитаты не очень-то нравились, не пойму восхищения, ну да ладно.
А тут.
2. какие-то аксиомы надо помнить, а ещё свойства, а ещё считать в уме — а понимать что надо? википедии хватит без всяких пониманий
3. три определения, причем совершенно неясен смысл их названий и так же неясно наличие/отсутсвие связи между ними; обычно если уж одно и то же слово употребляется в названии термина, то прослеживается связь между понятиями, опять же неясно, что именно нужно понимать, а к чему привести пример
7. опять же: что нужно понимать? я встречал людей, которые просто помнят "ну там рациональные, там значит $0$, а если нет, то там $1$"; на вопрос "где там" и "что именно $0$" получаешь молчание — задачка не позволяет оценить какое-то понимание, это просто знание/незнание факта
1. 4. 5. это стандартные задачи из соответствующих курсов, не знаю, насколько они способствуют "пониманию"
вот 6. мне нравится

-- Пт окт 02, 2015 18:59:39 --

Anton_Peplov в сообщении #1058530 писал(а):

)$\rho^2(x,y)$ - не обязательно метрика. Контрпример: пусть $\rho(x,y) = \rho(y,z) = 1$ и $\rho(x,z) = 2$. Тогда $\rho^2(x,y)$ не сохраняет неравенство треугольника, ибо $\rho^2(x,y) + \rho^2(y,z) < \rho^2(x,z)$.

Это не процесс решения, это запись ответа. В процессе решения люди так не думают.