Выбор координат в общей теории относительности.

[Munin]

Erleker в сообщении #1056673 писал(а):

(Сигнатуру я не знаю,правда...)

А между тем, это важнейшее понятие в данном контексте.

Метрика - это квадратичная форма от переменных $dx^\mu.$ При любых (допустимых) заменах координат $x^\mu,$ для метрической квадратичной формы в данной точке происходит линейная замена координат. Каких-то ограничений на такую замену нет.

Что сохраняется при таких заменах координат? Есть закон инерции квадратичных форм (Сильвестра), который означает следующее: если взять её собственные направления, то в этих направлениях она будет $p$ раз положительна, $q$ раз отрицательна, и $n-p-q$ раз нулевая. Заметьте, сами собственные направления при заменах координат меняются, но величины $p$ и $q$ сохраняются. Пару чисел $(p,q)$ и называют сигнатурой, или изображают её в более символическом виде, например, $(1,3)$ как $(+1,-1,-1,-1)$ или $({+}{-}{-}{-}).$

Для евклидовой метрики это означает, что она положительно определённая, и всегда таковая, какие бы координаты ни брать. Это значит, что в евклидовом пространстве все направления "пространственноподобные", нет ни изотропных, ни времениподобных. Сигнатура $(n,0).$

Метрики с другими сигнатурами называются псевдоевклидовыми. В ТО рассматривается одна такая сигнатура: $(1,3).$ Про неё обычно и говорят "псевдоевклидова", "метрика Минковского", "метрика пространства-времени". Важно то, что эта сигнатура не меняется ни при каких заменах координат. Не важно, какими именно будут величины коэффициентов $g_{00},g_{11},$ и так далее. Легко привести примеры, когда они все будут положительны, или все будут отрицательны, или даже все нулевые (именно такой пример я привёл с координатами $u,v$). Это ещё не меняет сигнатуру метрики.

Чтобы посчитать сигнатуру метрики, надо анализировать всю матрицу метрических коэффициентов. Надо найти её собственные числа: если из них будет $p$ положительных и $q$ отрицательных, то сигнатура $(p,q).$ Это вы можете проделать и с метрикой $ds^2=dt^2-dx^2,$ и с метрикой $ds^2=du\,dv,$ и с метрикой $ds^2=-dp^2+4dp\,dq-2q^2,$ и убедиться, что всё нормально.

-- 25.09.2015 22:31:44 --

schekn в сообщении #1056688 писал(а):

Не надо вранья. СТО никто не опровергает.

Было, было дело.

[Erleker]

Про сигнатуру вроде понял,но все равно ведь получается,что ($p$,$q$) - не нормированы в том плане,что "время"(при $q=const$) получается пространственноподобно.Пользоваться такими координатами можно,но физического смысла они не несут,нельзя,например,писать выражение для $T$.По ним не будет покоится никакие тела,реализующие свою СО.Так?
Можно же например метрику в виде:
$ds^2=c^2dt^2-dx^2$
Подставив:
$dt=(dx-dx'\sqrt{1-v^2/c^2})/v$(Использовать расстояние в другой СО из ПЛ)
И подставить в $ds$?
То есть 4-координатами могут быть любые 4 числа,дающие интервал?Но надо следить за нормированностью,когда ходим иметь дело с $T$,$l$?Верно?

[Someone]

Erleker в сообщении #1056710 писал(а):

Пользоваться такими координатами можно,но физического смысла они не несут,нельзя,например,писать выражение для $T$

Фраза внутренне противоречива: одновременно и "можно", и "нельзя". Если $T$ - это собственное время какой-то частицы, то оно вычисляется по одной и той же формуле в любой системе координат.

[manul91]

Erleker - слушать Munin заведомо правильно и нужно.

Erleker в сообщении #1056694 писал(а):

...СК,в которой четко выделено "время" $dx^0$,"расстояние" $dx^a$(я указал)...

Лучше НЕ обзывать "временем" и "расстоянием" дифференциалов координат; даже и в кавычками.
Этого можно понять на простейшем примере - в сферических координат например угол $\theta$ - пространственноподобная координата - но разве имеет хоть какой-то смысл называть "расстоянием" дифференциал угла $d\theta$ (пусть и в кавычками)?
Аналогично, $\theta_1-\theta_2$ - это координатная разница угловой координаты (например, двух разных событий) - а не какое-нибудь "расстояние".
Так что лучше обзывать этих штук именно тем, чем они и являются - "дифференциалов координат".

Тем более что можно нарваться на всякие экзотические ("ненормальные" в вашей (или Логуновской?) терминологии) СК где "координатные линии" могут даже не обладать определенным пространственноподобным или времениподобным смыслом.
Например СК у которых одномерная "координатная линия" $x^2$ (с уравнением x^0=C_1,x^1=C_2,x^2=\mbox{any},x^3=C_3), где-то является времениподобной, где-то пространственноподобной, и где-то изотропной.
Частный случай - изотропная СК в Минковском - с координат $u,v$ про которой вам давал задачу Munin. Разве можно тут называть $du$ и/или $dv$ "временем" и/или "расстоянием", да хоть и в кавычками? Ведь они оба изотропные - и не имеют ни времениподобный, ни пространственноподобный смысл.

На двухмерном минковском многообразии определены в каждой точке (точнее, в каждом событии) пространственноподобные, времениподобные и изотропные направления - уже чисто изначально, геометрически (бескоординатно).
А далее на нем, координат можно "рисовать" какие угодно.
В разных координат, одни и те же неизменно-изначально-замороженные вещи на многообразии (события, мировые линии, контуры, направления) будут представляться/записываться по разному - но переход к разных координат, "изначальных вещей" не меняет.

Это не педантизм; прецизно выражаться помогает ясно мыслить и не путаться в смысле понятий.

[Erleker]

Я имел ввиду,что когда у нас есть пространственноподобные координаты(хоть углы) и времениподобная координата,выполняющая роль времени,то можно говорить о том,что в этой СК покоится,что движется.В случае с углом-можно говорить о координатной угловой скорости.А дальше имеет смысл для покоящихся(координатно) часов и линеек написать:
$dT=\sqrt{g_{00}}dx^0/c+g_{0a}dx^a/\sqrt{c^2g_{00}}$
$dl^2=(g_{0a}g_{0b}/g_{00}-g_{ab})dx^adx^b$
Но только в этом случае.
Если же у все координаты пространственноподобные или изотропные,то - нет,так сделать нельзя,согласен.
В случае с $p$,$q$ в этой СК не может быть реализована реальными часами и линейками.(если мы примем $p$ за время,$q$ за расстояние,то получим,что часы и линейки должны двигаться со скорость $2c$ в ИСО,а на деле у нас просто 2 координаты пространственные,мы не можем выделить время)
Это я правильно понимаю?

-- 26.09.2015, 13:30 --

Someone в сообщении #1056728 писал(а):

Фраза внутренне противоречива: одновременно и "можно", и "нельзя". Если $T$ - это собственное время какой-то частицы, то оно вычисляется по одной и той же формуле в любой системе координат.

Собственное время $c^2d\tau^2=ds^2=g_{ik}dx^idx^k$ можно вычислить в любой СК,через координаты которой можно выразить интервал,это очевидно.Но речь про реальные часы,по которым измеряется время между 2 произвольными событиями,не связанные с часами.Время $dT$ - это время по реальным часам этой СК,выраженное через $dx^0$ и $dx^a$.
Например есть вращающаяся СК(называть ее СО по терминологии,про которую писал Munin,нельзя?):
$ds^2=(1-w^2r^2/c^2)c^2dt^2-2wr^2dodt-r^2do^2-dz^2-dr^2$
Можно выразить(при $wr<c$):
$dT=\sqrt{1-w^2r^2/c^2}dt-wr^2do/\sqrt{1-w^2r^2/c^2}=(dt-wr/c^2dx)/\sqrt{1-w^2r^2/c^2}$
Это физическое время по реальным часам,время в МСИСО.

[Munin]

Erleker
Лучше вам вообще отучиться от того, что у координат есть физический смысл. Нету. И когда вы пишете расстояние или время, вы всегда должны пользоваться формулой $ds^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu.$ Всегда. Никогда никаких упрощений.

[Someone]

Erleker в сообщении #1056770 писал(а):

Собственное время $c^2d\tau^2=ds^2=g_{ik}dx^idx^k$ можно вычислить в любой СК,через координаты которой можно выразить интервал

То есть, просто в любой. Возможно, придётся использовать несколько карт, если мировая линия в одной карте не помещается.

Erleker в сообщении #1056770 писал(а):

Но речь про реальные часы,по которым измеряется время между 2 произвольными событиями,не связанные с часами.Время $dT$ - это время по реальным часам этой СК,выраженное через $dx^0$ и $dx^a$.

Нету никаких "реальных часов системы координат".

[Munin]

Вот именно. Есть отдельно реальные часы, и отдельно совершенно условные системы координат.

[Erleker]

Да отдельно,но есть же.Если у нас СК нормирована,можно свести локально для конкретной точки к виду $ds^2=c^2dT^2-dl^2$
$dl$ и $dT$ это показания приборов.
Например,для случая вращающейся СК это будут координаты в МСИСО.То есть это то,что измерят часы,покоящиеся по координатной скорости.Общее время $T$ - время по синхронизированным часам.
У вращающегося круга есть координатный периметр $2pr$ и физический периметр $l=2pr/\sqrt{1-w^2r^2/c^2}$(реальная длина рулетки),получающийся интегрированием выражением $dl$,аналогично для волны,двигающийся по кругу есть ее координатное время движения и есть время по физическому времени.Физическое время получается интегрированием выражения для $dT$.
В СК часы должны опережать друг друга на время $g_{0a}dx^a/g_{00}$.Само-собой получается,что синхронизация зависит от траектории "выстраивании часов" и получается разное физическое время для разных случаев.
Физическое время движения волны по контуру:$T=l/v$,оно одинаково.А координатное время $t$ получается разным,из-за разной синхронизации по и против вращения конечных и начальных физических часов,которые находятся в одной точке.
Возникает эффект Саньяка.Это описано в ЛЛ-2,но там используется понятие "собственное" время вместо "физического".
Но ведь это же не правильно,с моей точки зрения,потому что собственное время покоящихся часов - это частный случай физического времени,когда рассматриваются одни часы и считает промежуток времени между 2 событиями на них,как $cd\tau=\sqrt{g_{00}}dx^0$.
Физическое время $dT=\sqrt{g_{00}}dx^0/c+g_{0a}dx^a/\sqrt{c^2g_{00}}$ - это временная координата,пересчитанная из СК в галиееву метрику(МСИСО).Это время по синхронизированным часам(в СК они идут неодновременно).
Физическая длина - это длина в галилеевой метркие,то есть интервал $-ds=dl$ с $dT=0$.
А в СК этот интервал уже не определяется $dx^0=const$,из-за неодновременности.
Выражение для $dl$ выведено в ЛЛ-2.
Почему вы против этого?

-- 26.09.2015, 22:07 --

В СТО преобразования между одной и другой СО(по физическим временам):
(1)$dT=(dT'+v/c^2dX')/\sqrt{1-v^2/c^2}$
Собственное время движущихся часов:
(2)$d\tau=\sqrt{1-v^2/c^2}dT'$
Аналогия с ОТО:
Есть СК,которая нормированная(пространственноподобные и времениподобные координаты,обозначенные соответственно).
Тогда преобразования от координат к физическому времени(по покоящимся($dx^a/dx^0=0$) часам):
(1)$dT=\sqrt{g_{00}}dx^0/c+g_{0a}dx^a/\sqrt{g_{00}}$
Собственное время по покоящимся часам:
(2)$d\tau=\sqrt{g_{00}}dx^0/c$
Как видите,это совершенно разные частные случаи.