Интерпретация на фоне Петрова

[schekn]

Утундрий в сообщении #1046499 писал(а):

Это зависит от того, что Вы называете "отсутствием гравитации". Если нулевую кривизну, то конечно переходит. Но вообще-то решение не обязано на бесконечности переходить в случай "отсутствия гравитации".

Если на время забыть про космологический член, то имеется в виду нулевой тензор кривизны Римана. Это есть некая выделенная метрика.

epros в сообщении #1046501 писал(а):

А у меня желание комментировать отбивают слова "выберем плоский фон...".

Мне непонятно следующее , если Петров вводит фоновую метрику вдали от черной дыры, что в принципе позволяет решить часть проблем с получением точного равенства полной энергии и тяготеющей массы, то он должен использовать ее (фоновую метрику) и около горизонта событий, в противном случае, если вблизи горизонта другая фоновая метрика, это уже нелепица. Но Петров уходит от расчетов той энергии поля , которая меня интересует.

А вообще мне не очень понятно, как Вы предлагаете находить плотность энергии согласно вашему формализму. Если приведете пример, может будет яснее.

-- 20.08.2015, 18:46 --

Munin в сообщении #1046533 писал(а):

Я было начал отвечать, но тут такое началось... лучше я промолчу.

Ну что же Вы испугались, Вас никто не съест. К тому же мне интересны именно расчеты , а не интерпретация.

[Nirowulf]

schekn в сообщении #1046448 писал(а):

А так и в биметрических теориях, в том числе и в РТГ, есть согласие с экспериментом.

И как же, к примеру, РТГ согласуется с картиночкой? С учётом того, что кривая на картинке получена с помощью псевдотензора.

Ведь согласно Логунову с соратниками

Логунов, Денисов писал(а):

<..>псевдотензоры энергии- импульса в теории Эйнштейна не являются физическими характеристика­ми гравитационного поля и не имеют никакого смысла. <...>Поэтому все работы, в которых анализ гравитационных про­цессов основан на использовании любых псевдотензоров энергии-импульса, также лишены физического смысла.

[schekn]

Nirowulf в сообщении #1046600 писал(а):

И как же, к примеру, РТГ согласуется с картиночкой? С учётом того, что кривая на картинке получена с помощью псевдотензора.

Ведь согласно Логунову с соратниками

Я честно говоря не знаю, откуда взялась данная картинка, но в РТГ вместо псевдотензора появляется тензор гравитационного поля, и все расчеты можно проводить в любых координатах, просто там немного другие уравнения. А вот , что будет, если в ОТО изменить координатную систему для данной задачи, я уже и боюсь предположить. Скорее всего волны рассматривались на фоне плоской метрики в гармонических координатах.

[Munin]

schekn в сообщении #1046595 писал(а):

Ну что же Вы испугались, Вас никто не съест.

Я не испугался. Я пачкаться не хочу.

[Утундрий]

Munin
Не останавливайтесь! Вам почти удалось. Ещё немного и я поверю, что вам действительно есть что сказать.

[Nirowulf]

schekn в сообщении #1046605 писал(а):

Я честно говоря не знаю, откуда взялась данная картинка

Картинка вот отсюда. Так что точки там самые настоящие, экспериментальные. На эту статью тут уже как-то ссылался Someone.

[Munin]

Утундрий в сообщении #1046674 писал(а):

Ещё немного и я поверю, что вам действительно есть что сказать.

Зачем? Мне действительно нечего сказать рядом с такими полными изложениями, как у Петрова.

[Утундрий]

Munin в сообщении #1046684 писал(а):

Мне действительно нечего сказать рядом с такими полными изложениями, как у Петрова.

Спасибо, это я и хотел узнать.

[KVV]

Утундрий в сообщении #1046499 писал(а):

KVV в сообщении #1046419 писал(а):

прокомментируйте, пожалуйста, параграф 5.4 у Петрова
.

Если интересует моё мнение, то там написан какой-то болезненный бред, который даже комментировать не хочется.

Интересует. Можете более развернуто изложить.

-- 21.08.2015, 01:54 --

epros в сообщении #1046501 писал(а):

А у меня желание комментировать отбивают слова "выберем плоский фон...".

Был бы вам признателен, если бы вы все-таки проделали над собой усилие и прошлись по аргументам Петрова в пользу фона.

epros в сообщении #1046368 писал(а):

Соображения очень простые. Раз $T^i_s dx^s$ оказывается вектором и возникает проблема с тем, что векторы в разных точках пространства-времени невозможно корректно просуммировать, значит нужно превратить его в чётвёрку скаляров, которые можно корректно просуммировать. И делается это с помощью четвёрки ковекторных полей $\xi^{(0)}_i, \xi^{(1)}_j, \xi^{(2)}_k, \xi^{(3)}_l$, которые и определяют "систему отсчёта".

С помощью этого метода решаются все проблемы, обычно упоминаемые при обсуждении псевдотензоров?

[manul91]

KVV в сообщении #1046690 писал(а):

Был бы вам признателен, если бы вы все-таки проделали над собой усилие и прошлись по аргументам Петрова в пользу фона.

Я не epros, но мне не совсем понятно следующее: если величины получены путем вычислений на некоем фиктивном плоском фоне - а на другом точно так же фиктивном (хотя и не-плоском) фоне получаются другие величины - то какие основания обозвать первый подход "решением" данной "методической проблемы"? Только из-за того что величины "выглядят лучше" ("естественный результат" $mc^2$)?
Под "фиктивность фона" я имею ввиду что при выделением плоского фона из метрического тензора есть точно такой же произвол, как и при выделением из него любого другого (не-плоского) фона - и вроде нет никаких естественных физических оснований предпочитать первого относно второго.
Реально-то пространство-время кривое, и в нем ИСО реальными физическими телами (часами и линейками + синхронизации как обычно в СТО) - построить нельзя?

[schekn]

Nirowulf в сообщении #1046678 писал(а):

schekn в сообщении #1046605 писал(а):

Я честно говоря не знаю, откуда взялась данная картинка

Картинка вот отсюда. Так что точки там самые настоящие, экспериментальные. На эту статью тут уже как-то ссылался Someone.

Мы как-то это уже обсуждали и я нашел несколько статей, из ссылок , чтобы понять , откуда растет формула для потери энергии на гравитационное излучение ( статью Peters and Matthews 1963). Надо смотреть, как получена кривая, а к экспериментальным точка у меня нет претензий.

-- 21.08.2015, 09:32 --

manul91 в сообщении #1046691 писал(а):

о мне не совсем понятно следующее: если величины получены путем вычислений на некоем фиктивном плоском фоне - а на другом точно так же фиктивном (хотя и не-плоском) фоне получаются другие величины - то какие основания обозвать первый подход "решением" данной "методической проблемы"?

+100. !

[Munin]

manul91 в сообщении #1046691 писал(а):

Реально-то пространство-время кривое

Дело в разнице между "пространство-время кривое" и "фон кривой".

[SergeyGubanov]

Nirowulf в сообщении #1046600 писал(а):

С учётом того, что кривая на картинке получена с помощью псевдотензора.

Вывод формулы Эйнштейна 1918 года описывающей потёрю энергии за счёт излучения гравитационных волн

$$ - \frac{d \mathcal{E}}{dt} = \frac{k}{45 c^5} \dddot{\bf D}^2 $$

может (и должен) быть проделан без использования такого антинаучного понятия как "псевдотензор энергии импульса".

Например, нам в университете (20 лет назад) на лекциях по ОТО эту формулу выводили как раз таки без псевдятинки.

[Утундрий]

SergeyGubanov в сообщении #1046728 писал(а):

нам в университете (20 лет назад) на лекциях по ОТО эту формулу выводили как раз таки без псевдятинки.

Напеть сможете?

[SergeyGubanov]

Утундрий в сообщении #1046745 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #1046728 писал(а):

нам в университете (20 лет назад) на лекциях по ОТО эту формулу выводили как раз таки без псевдятинки.

Напеть сможете?

Мы это два года назад здесь уже обсуждали:

SergeyGubanov в сообщении #703308 писал(а):

Пусть, значит, есть система сделанная из обычной материи с тензором энергии импульса $T_{\mu \nu}$. Она как-то там кувыркается, излучает волны гравитационные, энергия $E$ этой системы из-за этого зависит от времени. Надо найти чему равно $\frac{dE}{dt}$.

Ведём векторнозначную 1-форму:

$$P_{\mu} = T_{\mu \nu} \, dx^{\nu} \eqno(1)$$

дуальная ей векторнозначная 3-форма:

$$\star P_{\mu} = T_{\mu \nu} g^{\nu \alpha} \, \frac{1}{3!} \varepsilon_{\alpha \beta \gamma \delta} \, dx^{\beta} \wedge dx^{\gamma} \wedge dx^{\delta}, \quad \varepsilon_{0123} = \sqrt{-g} \eqno(2)$$

Энергия зависит от системы отсчёта. Фиксируем систему отсчёта, вот она: $e^{\mu}_{(a)}$. Для краткости времениподобный вектор $e^{\mu}_{(0)}$ обозначим $\tau^{\mu}$. В выбранной системе отсчёта энергия равна следующему интегралу:

$$E = \int \tau^{\mu} \, \star P_{\mu} \eqno(3)$$

Энергия сохраняется если $\tau^{\mu}$ вектор Киллинга ($\nabla_{\mu} \tau_{\nu} + \nabla_{\nu} \tau_{\mu} = 0$), что демонстрируется следующими выкладками:

$$ \int\frac{dE}{dt} dt = \oint \tau^{\mu} \, \star P_{\mu} = \int \nabla_{\mu} \left( T^{\mu \nu} \tau_{\nu}\right) \sqrt{-g} \, d_4 x = \frac{1}{2} \int T^{\mu \nu} \left( \nabla_{\mu} \tau_{\nu} + \nabla_{\nu} \tau_{\mu} \right) \sqrt{-g} \, d_4 x = 0 \eqno(4)$$

Чтобы вычисление $\frac{dE}{dt}$ напрямую дало потерю энергии связанную именно с гравитационными волнами надо считать, что в отсутствии этих волн энергия сохраняется $\frac{dE}{dt} = 0$, то есть $\tau^{\mu}$ вектор Киллинга исходного гравитационного поля $g_{\mu \nu}$ без гравитационной волны.

Пусть теперь на фоне $g_{\mu \nu}$ пробежала слабенькая гравитационная волна $h_{\mu \nu}$

$$g'_{\mu \nu} = g_{\mu \nu} + h_{\mu \nu} \eqno(5)$$

Вектор $\tau^{\mu}$ был вектором Киллинга для метрики $g_{\mu \nu}$, а для метрики $g'_{\mu \nu}$ он никакой не вектор Киллинга:

$$\nabla'_{\mu} \tau_{\nu} + \nabla'_{\nu} \tau_{\mu} = \partial_{\mu} \tau_{\nu} + \partial_{\nu} \tau_{\mu} - 2 \Gamma'^{\alpha}_{\mu \nu} \tau_{\alpha} \ne 0 \eqno(6)$$

Ну, что, пусть фоновая метрика была метрикой Минковского, тогда $\tau^{\mu} = (1, 0, 0, 0)$

$$\nabla'_{\mu} \tau_{\nu} + \nabla'_{\nu} \tau_{\mu} = - 2 \Gamma'^{0}_{\mu \nu} \eqno(7)$$

$$\Gamma'^{0}_{\mu \nu} \approx \frac{1}{2 c} \dot h_{\mu \nu} \eqno(8)$$

Подставляем это дело в формулу (4), в которой заменяем $d_4 x$ на $d_3 x \, c dt$ получаем:

$$\int \frac{dE}{dt} dt \approx \frac{1}{2c} \int T^{\mu \nu} \dot h_{\mu \nu} \, \sqrt{-g} \, d_3 x \, c dt\eqno(9)$$

значит:

$$\frac{dE}{dt} \approx \frac{1}{2} \int T^{\mu \nu} \dot h_{\mu \nu} \, \sqrt{-g} \, d_3 x\eqno(10)$$

Ну вот почти что и всё, дальше я на словах опишу ибо очень утомительно. Теперь вместо $T^{\mu \nu}$ в формулу (10) надо подставить левую часть линеаризованных уравнений Эйнштена и аккуратно просуммировать по всем поляризациям гравитационной волны. Правая часть формулы (10) распадётся на два члена: первый в виде производной по времени от интеграла по 3D-объёму, а второй в виде интеграла по 2D-поверхности. Первым можно пренебречь (энергия $E$ много больше). За гравитационную волну отвечает второй член.